\begin{enumerate}
\item \textbf{\'Etude du capital de Sophie.}
\begin{enumerate}
\item Le premier terme est le capital initial, soit $u_0=800$.

Le capital augmente de \pourcent{10} par mois, donc $u_{n+1}=1,1u_n$.

\underline{La suite \suite{u}{n}{} est donc g\'eom\'etrique de premier terme 800 et de raison 1,1.}

\item $u_1$ est la somme disponible en f\'evrier \number\year, $u_2$ est la somme disponible d\'ebut mars \number\year, etc. Donc la somme dont dispose Sophie d\'ebut janvier de l'ann\'ee $\number\year+1$ est $u_{12}$ car il s'est \'ecoul\'e 12 mois entre temps : 
\[u_{12}=u_0\times q^{12}=800\times(1,1)^{12}\approx\numprint{2510,74}.\]
\underline{Sophie dispose donc de \numprint{2510,74}~\euro{} d\'ebut janvier de l'ann\'ee suivante.}

\item Le pourcentage d'augmentation est :
\[
\dfrac{2510,74-800}{800}\times100\approx\pourcent{213,84}.
\]
\end{enumerate}

\item \textbf{\'Etude du capital de Yves.}
\begin{enumerate}
\item Le capital initial est $v_0=\numprint{1000}$ et il ajoute 50 \euro{} chaque mois, donc $v_{n+1}=v_n+50$.

\underline{Ainsi, la suite \suite{v}{n}{} est arithm\'etique de raison $r=50$ et de premier terme $v_0=\numprint{1000}$.}

\item $v_{12}=v_0+12r=\numprint{1000}+12\times50=\numprint{1600}$.

\underline{Ainsi, Yves disposera de \numprint{1600} euro dans 1 an.}

\item Le pourcentage d'augmentation sur un an est :
\[ 
\dfrac{\numprint{1600}-\numprint{1000}}{\numprint{1000}}\times100=\pourcent{6}.
\]
\end{enumerate}

\item Les \'economies de Sophie sont sup\'erieures \`a celles de Yves quand :
\begin{align*}
& 800\times(1,1)^n>\numprint{1000}+50n\\
\iff\ & 800\times(1,1)^n-\numprint{1000}-50n>0
\end{align*}
On construit alors un tableau de valeurs de l'expression $800\times(1,1)^n-\numprint{1000}-50n$ afin de savoir la premi\`ere valeur de $n$ pour laquelle elle est strictement positive.

On trouve $n=5$.

\underline{Ainsi, au mois de juin \the\year, les \'economies de Sophie seront sup\'erieures \`a celles de Yves.}
\end{enumerate}