\exercice[style=R,N=3]{Suite arithm\'etique et suite g\'eom\'etrique}

On souhaite comparer l'\'evolution de deux capitaux.

Sophie poss\`ede 800 \euro{} d'\'economies d\'ebut janvier \number\year; ce capital augmente de \pourcent{10} \`a la fin de chaque mois.

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Yves poss\`ede, lui, \numprint{1000} \euro{} d'\'economies d\'ebut janvier \number\year. Ce capital augmente de 50 \euro{} \`a la fin de chaque mois.

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\begin{enumerate}
\item \textbf{\'Etude du capital de Sophie.}

On note $u_0=800$ le capital initial d\'ebut janvier \number\year.

On note $u_n$ le capital disponible au d\'ebut du $n$-i\`eme mois apr\`es janvier \number\year ($n$ entier naturel non nul).

\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} est g\'eom\'etrique de raison 1,1 et de premier terme 800.
\item Calculer la somme dont dispose Sophie au d\'ebut du mois de janvier de l'ann\'ee suivante (au centime d'euro pr\`es).
\item Calculer le pourcentage d'augmentation de son capital au bout d'une ann\'ee compl\`ete (arrondi \`a l'entier).
\end{enumerate}

\item \textbf{\'Etude du capital d'Yves.}

On note $v_0$ le capital initial de Yves au d\'ebut de janvier \the\year.

On note $v_n$ son capital disponible au d\'ebut du $n$-i\`eme mois apr\`es janvier \the\year ($n$ entier naturel non nul).

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite \suite{v}{n}{n\geqslant0} ? Quel est son premier terme ? Quelle est sa raison ?
\item Calculer la somme dont dispose Yves au d\'ebut du mois de janvier de l'ann\'ee suivante (au centime d'euro pr\`es).
\item Calculer le pourcentage d'augmentation de son capital au bout d'une ann\'ee compl\`ete (arrondi \`a l'entier).
\end{enumerate}

\item D\'eterminer, \`a l'aide de la calculatrice, \`a partir de quel mois les \'economies de Sophie deviennent sup\'erieures \`a celles de Yves. 
\end{enumerate}