\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Nous avons le graphique suivant, o\`u l'unit\'e est le carreau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
\draw[dotted,gray!50] (-1,-1) grid (12,6);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1,0) -- (12,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,6);
\clip (-1,-1) rectangle (12,6);
\draw[red] (-1,-1) -- (6,6) node[below] {$\Delta$};
\draw[blue] (-1,2.75) -- (12,6) node[below left] {$\mathcal{D}$};
\draw[dashed] (1,0) node[below] {$u_0$} -- (1,3.25) -- (3.25,3.25) -- (3.25,{3.25/4+3}) -- ({3.25/4+3},{3.25/4+3});

\draw[dotted] (3.25,0) node[below] {$u_1$} -- (3.25,3.25);
\draw[dotted] ({3.25/4+3},0) node[below] {$u_2$} -- ({3.25/4+3},{3.25/4+3});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Voir graphique pr\'ec\'edent.
\item Nous pouvons conjecturer que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ est l'abscisse du point d'intersection des droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, soit ici $x=4$.
\end{enumerate}
\item

\begin{enumerate}
\item 
\begin{multicols}{2}
$\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = {\color{red}u_{n+1}}-4\\
        & = {\color{red}\dfrac{1}{4}u_n+3} - 4\\
		& = \dfrac{1}{4}u_n-1\\
		& = \dfrac{1}{4}\left(u_n-\dfrac{1}{\frac{1}{4}}\right)\\
		& = \dfrac{1}{4}(u_n-4)\\
		& = \dfrac{1}{4}v_n.
\end{aligned}$

\columnbreak

La suite $(v_n)$ est donc g\'eom\'etrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $v_0=u_0-4=-3$.
\end{multicols}

\item La suite $(v_n)$ est g\'eom\'etrique donc $v_n=v_0\times q^n$, donc $v_n=-3\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$.

\medskip

Or, $v_n=u_n-4$, donc $u_n=v_n+4$, soit $\boxed{u_n=4-3\left(\dfrac{1}{4}\right)^n}$

\item $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$ car $0<\dfrac{1}{4}<1$, donc $\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage