\sectionnn{Limites}

\exercice[style=R,N=3,verif]{Limite et graphique}

Soit \suite{u}{n}{} la suite d\'efinie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+3$.

\begin{enumerate}
\item On se propose de conjecturer graphiquement la limite de la suite \suite{u}{n}{}.
\begin{enumerate}
\item Le plan \'etant muni d'un rep\`ere orthonorm\'e, tracer, pour $x$ appartenant \`a l'intervalle $\intervFF{0}{12}$, les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ d'\'equations respectives : \[ y = \dfrac{1}{4}x+3 \quad \text{et} \quad y= x. \]
\item Placer les 3 premiers termes de $(u_n)$ sur l'axe des abscisses.
\item Que peut-on conjecturer pour la limite de la suite \suite{u}{n}{} ?
\end{enumerate}
\item Soit \suite{v}{n}{} la suite d\'efinie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = u_n - 4$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. En d\'eduire la nature de la suite \suite{v}{n}{}.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En d\'eduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=4-3\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$.
\item D\'eterminer la limite de la suite \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
