\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{aligned}[t]
u_1 & = 0,95u_0+500\\
& = 0,95\times\numprint{100000}+500\\
& = \numprint{95500}.
\end{aligned}$

\columnbreak

$\begin{aligned}[t]
u_2 & = 0,95u_1+500\\
& = 0,95\times\numprint{95500}+500\\
& = \numprint{91225}.
\end{aligned}$
\end{multicols}

\item Chaque ann\'ee, on perd \pourcent{5} des habitants ; donc \`a ce stade, $u_{n+1}=0,95u_n$. 

Mais on ajoute 500 habitants donc : \underline{$u_{n+1}=0,95u_n+500$}.

\item D'apr\`es la d\'efinition de $v_n$, on a :
\begin{align*}
v_{n+1} & = {\color{red}u_{n+1}}-\numprint{10000}\\
& = {\color{red}0,95u_n+500}-\numprint{10000}\\
& = 0,95u_n-\numprint{9500}\\
& = 0,95\left(u_n-\dfrac{\numprint{9500}}{0,95}\right)\\
& = 0,95(u_n-\numprint{10000})\\
& = 0,95v_n.
\end{align*}

\uline{Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite g\'eom\'etrique de raison $q=0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-\numprint{10000}$, soit $v_0=\numprint{90000}$.}

\item \suite{v}{n}{} est une suite g\'eom\'etrique de raison 0,95 donc :
\[ v_n=v_0\times q^n=\numprint{90000}\times(0,95)^n.\]
Or, 
\[ v_n=u_n-\numprint{10000}\, ,\]
donc :
\[ u_n=v_n+\numprint{10000}.\]
On a alors :
\[ \boxed{u_n=\numprint{90000}\times(0,95)^n+\numprint{10000}}\]

\item $0<0,95<1$ donc $\limite{n}{+\infty}{(0,95)^n}=0$.

Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{\left(\numprint{90000}\times(0,95)^n\right)}=0$ et donc $\boxed{\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\numprint{10000}}$.

\medskip

Ceci signifie que si rien ne change au fil du temps, la population de cette ville se rapprochera de\linebreak\numprint{10000}~habitants.
\end{enumerate}
