\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On a : $\begin{aligned}[t]
u_2 & = u_1\times\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\\
& = \numprint{10000}\times1,02\\
& = \numprint{10200}.
\end{aligned}$

\medskip

\uline{Les ventes de la deuxi\`eme semaine s'\'el\`event donc \`a \numprint{10200}}.

\item Pour d\'eterminer $u_n$, on doit le multiplier par 1,02 car $u_n$ subit une augmentation de \pourcent{2} chaque semaine. Ainsi,
\[ u_{n+1}=1,02u_n.\]
\uline{La suite est donc g\'eom\'etrique de premier terme $u_1=\numprint{10000}$ et de raison $q=1,02$.}

\item La suite \suite{u}{n}{n\geqslant1} est g\'eom\'etrique donc :
\begin{align*}
u_n & = u_1\times q^{n-1}\\
\Aboxed{u_n & = \numprint{10000}\times(1,02)^{n-1}}
\end{align*}

\item Les ventes totales au cours des 10 premi\`eres semaines sont :
\begin{align*}
u_1+u_2+\cdots+u_{10} & = \numprint{10000}\times\dfrac{1-(1,02)^{10}}{1-1,02}\\
& \approx \numprint{109497,209997379}.
\end{align*}

\uline{Le nombre total de ventes s'\'el\`eve donc \`a environ \numprint{109497}}.
\end{enumerate}

\medskip

\item
\begin{enumerate}
\item On a : $\begin{aligned}[t]
v_2 & =v_1+500\\
 & =\numprint{10500}.
\end{aligned}$

\underline{Le nombre de ventes au cours de la deuxi\`eme semaine est \numprint{10500}}.

\item Chaque semaine, le nombre de ventes augmente de 500.

\uline{La suite \suite{v}{n}{n\geqslant1} est donc arithm\'etique de premier terme $v_1=\numprint{10000}$ et de raison $r=500$.}

\item D'apr\`es le cours, on a :
\begin{align*}
v_n & = v_1+(n-1)r\\
v_n & =\numprint{10000}+500(n-1)\\
v_n & = \numprint{10000}+500n-500\\
\Aboxed{v_n & =\numprint{9500}+500n}
\end{align*}

\item Les ventes totales au cours des 10 premi\`eres semaines sont :
\begin{align*}
v_1+v_2+\cdots+v_{10} & = 10\times\dfrac{u_0+u_{10}}{2}\\
& = 10\times\dfrac{\numprint{10000}+(\numprint{9500}+500\times10)}{2}\\
& = 10\times\dfrac{\numprint{19500}+\numprint{5000}}{2}\\
& = \numprint{122500}.
\end{align*}

\uline{Au cours des 10 premi\`eres semaines, le livre s'est vendu \`a \numprint{122500} exemplaires.}
\end{enumerate}

\item Pour savoir s'il existe un entier $n$ \`a partir duquel $u_n\geqslant v_n$, on doit tenter de r\'esoudre l'in\'equation :
\[ \numprint{10000}\times(1,02)^{n-1} \geqslant \numprint{9500}+500n.\]
On ne peut pas la r\'esoudre alg\'ebriquement donc on s'aide de la calculatrice ou d'un tableur pour afficher les termes successifs de $u_n$ et $v_n$.

On s'aper\c{c}oit alors que :
\begin{itemize}
\item pour $n=82$, $u_{82}\approx\numprint{50724}$ et $v_{82}=\numprint{51000}$;
\item pour $n=83$, $u_{83}\approx\numprint{51738}$ et $v_{83}=\numprint{51500}$.
\end{itemize}
\uline{Ainsi, \`a partir de $n=83$, $u_n\geqslant v_n$.}
\end{enumerate}