\documentclass[11pt]{article}
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\newcommand{\e}{\textrm{e}}
\newcommand{\dx}{\textrm{d}x}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\begin{document}
\title{Baccalauréat Série ES\\Amérique du Nord - Mai 2011}

\head

\paragraph*{Exercice 1 (4 points)} \textit{Commun à tous les candidats} 

\medskip
 
\emph{L'exercice suivant est un Q.C.M. (questionnaire à choix multiples). Pour chaque proposition, choisir l'unique bonne réponse sachant qu'une bonne réponse rapporte un point et que l'absence de réponse ou une réponse fausse ne rapporte rien ni n'enlève aucun point.\\Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=x\e^{-x}$.

\medskip

La courbe représentative de $f$ est tracée dans le repère ci-dessous :

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray!50,dotted] (-1,-2) grid[step=.5] (5,1);
\draw[->,>=stealth'] (-1,0) -- (5.5,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-2) -- (0,1.5);
\foreach \x in {-1,1,2,3,4,5}
{
	\draw (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {$\x$};
}
\foreach \y in {-2,-1,1}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\node[below left] at (0,0) {$0$};
\clip (-1.5,-2) rectangle +(7,2.5);
\draw[blue] plot[domain=-1:5] (\x,{\x*exp(-\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, $f'(x)$ est égale à :

\begin{inparaenum}
\item $-\e^{-x}$ \hfill
\item $\e^{-x}$\hfill
\item $(1-x)\e^{-x}$
\end{inparaenum}

\item La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 a pour équation :

\begin{inparaenum}
\item $y=x$\hfill
\item $y=2x$\hfill
\item $y=-x$
\end{inparaenum}

\item Une primitive $F$ de $f$ est définie sur $\R$ par :

\begin{inparaenum}
\item $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2\e^{-x}$\hfill
\item $F(x)=-(1+x)\e^{-x}$\hfill
\item $F(x)=-x\e^{-x}$
\end{inparaenum}

\item La valeur de $\displaystyle\int_0^2 f(x)\dx$ est :

\begin{inparaenum}
\item Négative\hfill
\item Inférieure à 1\hfill
\item Supérieure à 3
\end{inparaenum}
\end{enumerate}

\newpage

\paragraph*{Exercice 2 (5 points)} \textit{Commun à tous les candidats)}

\medskip

\begin{minipage}{.75\textwidth}
Le \textbf{glacier d'Aletsch}, classé à l'UNESCO, est le plus grand glacier des Alpes, situé dans le sud de la Suisse, il alimente la vallée du Rhône.

\medskip

Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années, une première mesure a été effectuée \textbf{en 1900 : ce glacier mesurait alors 25,6 km.}

\medskip

Des relevés ont ensuite été effectués tous les 20 ans : le recul du glacier est mesuré par rapport à la position où se trouvait initialement le pied du glacier en 1900 (voir dessin ci-contre).
\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}
\centering \includegraphics[scale=.33]{2011AN.png}
\end{minipage}

\medskip

Les mesures successives ont été relevées dans le tableau ci-dessous.

\medskip

On note $t$ la durée, en années, écoulée depuis 1900, et $r$ le recul correspondant, mesuré en kilomètres.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Année de mesure : & 1900 & 1920 & 1940 & 1960 & 1980 & 2000\\
\hline
Durée $t$ écoulée (depuis 1900) : & 0 & 20 & 40 & 60 & 80 & 100\\
\hline
Recul $r$ (en km) : & 0 & 0,3 & 0,6 & 1 & 1,6 & 2,3\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{flushright}
\emph{Mesures déduites de : The Swiss Glaciers,\\Yearbooks of the Glaciological Commission of the Swiss}
\end{flushright}

Par exemple, en 1940 ($t=40$), le recul du glacier par rapport à 1900 a été de 0,6 km : la longueur du glacier était donc de $25,6-0,6=25$ km.

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10$^{-3}$ près.}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie A : Etude d'un modèle affine
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Tracer le nuage de points dans le repère donné en \textbf{annexe} (Durée $t$ en abscisse, distance $r$ en ordonnée).
\item A l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $r$ en fonction de $t$, puis tracer cette droite dans le repère précédent.
\item A partir du modèle affine obtenu précédemment, estimer par le calcul :

\begin{enumerate}
\item Le recul puis la longueur du glacier en 2011.
\item L'année de disparition du glacier (arrondie à l'unité).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie B : Utilisation d'un modèle exponentiel
\end{center}

Le résultat du 3.b) de la partie A étant peu en accord avec la plupart des autres études, les glaciologues considèrent un autre modèle : le modèle exponentiel.

\medskip

On pose $y=\ln(r)$. On rappelle que $\ln(r)$ désigne le logarithme népérien du recul $r$.

\begin{enumerate}
\item Recopier puis compléter le tableau suivant sur votre copie (pour permettre le calcul de $y$, la durée 0 de l'année 1900 a été exclue du tableau).

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
Durée $t$ (à partir de 1920) & 20 & 40 & 60 & 80 & 100\\
\hline
$y=\ln(r)$ &  & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $y$ en fonction de $t$.
\item En déduire que $r(t)=\e^{0,025t-1,599}$.
\end{enumerate}
\item En utilisant le modèle obtenu précédemment, estimer par le calcul :
\begin{enumerate}
\item Le recul puis la longueur du glacier en 2011.
\item L'année de disparition du glacier (arrondir à l'unité).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 3 (5 points)} \textit{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.

\medskip

On rappelle que si A et B sont deux événements d'un ensemble probabiliste, avec a de probabilité non nulle, la probabilité de B sachant A est le réel noté $P_A(B)$.

\medskip

\emph{L'asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation.\\En France, les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ $4\%$ des hommes et $5\%$ des femmes sont asthmatiques.}

\medskip

Dans la population française, on considère l'ensemble des couples homme-femme.

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie A : Etude de l'état d'asthme du couple
\end{center}

On note : H l'événement \og L'homme est asthmatique \fg\ et F l'événement \og La femme est asthmatique \fg.\\
On admet que les événements h et F sont indépendants.

\begin{minipage}{.8\textwidth}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre.
\item On note les événements :\\
A : \og Aucun des deux adultes du couple n'est asthmatique \fg\\
B : \og Un seul des deux adultes du couple est asthmatique \fg\\
C : \og Les deux adultes du couple sont asthmatiques \fg\\
Montrer que : $P(A)=0,912$ ; $P(B)=0,086$ ; $P(C)=0,002$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.2\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[
grow=right,%
level distance=20mm,%
every node/.style={draw,circle},
level 1/.style={sibling distance=30mm,->,>=stealth'},%
level 2/.style={sibling distance=15mm},%
]
\node[draw=white,inner sep=0pt,outer sep=0pt] {} 
	child { node {$\overline{H}$}	
				child { node {$\overline{F}$} } 
				child { node {$F$} }
		  }
	child { node {$H$} 
				child { node {$\overline{F}$} }
				child { node {$F$} }	
		  };
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie B : Etude de la transmission de l'asthme au premier enfant
\end{center}

Les études actuelles sur cette maladie montrent :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Si aucun des parents n'est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,1.
\item[$\bullet$] Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,3.
\item[$\bullet$] Si le deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,5.
\end{itemize}

On note E l'événement : \og Le premier enfant du couple est asthmatique \fg

\begin{minipage}{.8\textwidth}
\begin{enumerate}
\item Reproduire sur votre copie puis compléter l'arbre de probabilités ci-contre.
\item Montrer que $P(E)=0,118$.
\item Calculer $P_E(A)$ et interpréter ce résultat.\\
Déduire $P_E\left(\overline{A}\right)$ et interpréter le résultat.
\item Quelle est la probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques ?\\
(\underline{Indication :}on pourra chercher à calculer l'événement contraire)
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.2\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[
grow=right,%
level distance=20mm,%
every node/.style={draw,circle},
level 1/.style={sibling distance=30mm,->,>=stealth'},%
level 2/.style={sibling distance=15mm},%
]
\node[draw=white,inner sep=0pt,outer sep=0pt] {} 
	child { node {$C$}	
				child { node {$\overline{E}$} } 
				child { node {$E$} }
		  }
	child { node {$B$} 
				child { node {$\overline{E}$} }
				child { node {$E$} }	
		  }
	child { node {$A$} 
				child { node {$\overline{E}$} }
				child { node {$E$} }	
		  };
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\paragraph*{Exercice 3 (5 points)} \textit{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie A : Etude d'un site
\end{center}

\begin{minipage}{.7\textwidth}
Un site internet comporte 8 pages, notées A, B, C, D, E, F, G, H, reliées entre elles suivant le graphe ci-contre.\\
Ainsi, par exemple, à partir de la page A, on peut directement accéder aux pages  B, C et D.\\
Par contre, la page A ne permet pas d'accéder directement à la page F.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={draw,circle},scale=1.5]
\node (C) at (0,0) {C};
\node (D) at (1,.5) {D};
\node (A) at (0,1) {A};
\node (B) at (-1,.5) {B};
\node (E) at (-1.3,-.4) {E};
\node (G) at (-.5,-1) {G};
\node (H) at (0.5,-1) {H};
\node (F) at (1,-.5) {F};
\draw (A)--(B)--(E)--(G)--(H)--(F)--(D)--(A)--(C)--(E)--(F)--(G);
\draw (B)--(C)--(D);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Le technicien souhaite tester les liens de pages. En partant de la page A, est-il possible de trouver un parcours passant une seule fois par tous les liens de pages ? Justifier la réponse.

\item Pour marquer les changements de page, l'administrateur du site souhaite que deux pages reliées aient des couleurs différentes.\\
On note N le nombre minimum de couleurs nécessaires.
\begin{enumerate}
\item Donner un sous-graphe complet d'ordre maximal.
\item En utilisant la question 2.a) et à l'aide d'un algorithme, montrer que N=3.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie B : Etude de Propagation d'un virus d'un site à l'autre
\end{center}

Le site précédent, appelé site N°1, propose un unique lien vers un site partenaire, appelé site N°2, sans retour possible. De même, le site N°2 propose un unique lien vers un site N°3, sans retour possible et ainsi de suite ... (voir le schéma ci-dessous) :

\begin{center}
site N°1 $\to$ site N°2 $\to$ site N°3 $\to\quad\cdots\quad\to$ site N° $n$ $\to$ site N°$n+1$ $\to\quad\cdots$
\end{center}

Le site N°1 vient d'être infecté par un virus informatique qui utilise les liens entre les sites pour essayer de se propager, les autres sites n'étant pas encore touchés.\\
Face à ce nouveau virus, les antivirus ne sont efficaces qu'à 80 \%.\\
On note : V l'état \og le site est infecté par le virus \fg et S l'état \og le site est sain (non infecté par le virus \og.\\
On a dessiné ci-dessous le graphe probabiliste traduisant les risques de \underline{propagation du virus d'un site au suivant} :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={draw,circle}]
\node (V) at (0,0) {V};
\node (S) at (2,0) {S};
\draw[->,>=stealth'] (V.north east) to[bend left=60] (S.north west);
\draw[->,>=stealth'] (S.south west) to[bend left=60] (V.south east);
\node[draw=white] at (1,-1) {0};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (V.west) to[loop left] (V.west);
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (S.east) to[loop right] (S.east);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier la valeur 0 indiquée sur le graphe probabiliste précédent, puis recopier et compléter ce graphe sur votre copie.
\item Préciser la matrice de transition M de ce graphe (première ligne pour V ; deuxième ligne pour S).

\medskip

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $P_n$ la probabilité que le $n$-ième site soit infecté, $Q_n$ la probabilité pour que le $n$-ième site soit sain et $X_n=(P_n\quad Q_n)$.\\
On a donc $X_1=(1\quad 0)$ (traduisant que le site N°1 est infecté) et $X_{n+1}=X_nM$.

\medskip

\item 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la relation $X_{n+1}=X_nM$, montrer que $P_{n+1}=0,2P_n$.
\item En déduire $P_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $(P_n)$ lorsque $n$ tend vers plus l'infini.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 4 (6 points)} \textit{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un supermarché souhaite acheter des fruits à un fournisseur.\\
Ce fournisseur propose des prix au kilogramme, dégressifs en fonction du poids de fruits commandé.\\
Pour une commande de $x$ kilogrammes de fruits, le prix $P(x)$ en euros du kilogramme de fruits est donné par la formule : $P(x)=\dfrac{x+300}{x+100}$ pour $x \in [100;+\infty[$.\\
Par exemple, si le supermarché achète 300 kilogrammes de fruits, ces fruits lui sont vendus $P(300)=\dfrac{300+300}{300+100}=1,5$ euros le kilogramme.\\
Dans ce cas, le supermarché devra payer $300 \times 1,5=450$ euros au fournisseur pour cette commande.

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie A : Etude du prix P proposé par le fournisseur
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} P(x)$.
\item Montrer que $P'(x)=-\dfrac{200}{(x+100)^2}$ sur $[100;+\infty[$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction P.
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie B : Etude de la somme S à dépenser par le supermarché
\end{center}

On appelle $S(x)$ la somme en euros à dépenser par le supermarché pour une commande de $x$ kilogrammes de fruits (ces fruits étant vendus par le fournisseur au prix de $P(x)$ euros par kilogramme).\\
Cette somme est donc égale à $S(x)=xP(x)$ pour $x \in [100;+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} S(x)$.
\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[100;+\infty[$ : $S'(x)=\dfrac{x^2+200x+\np{30000}}{(x+100)^2}$.
\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[100;+\infty[$ : $S(x)=x+200-\np{20000}\times\dfrac{1}{x+100}$.
\item En déduire une primitive $T$ de $S$ sur $[100;+\infty[$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie C : Etude de différentes situations
\end{center}

Les questions suivantes peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

\begin{enumerate}
\item Le magasin dispose d'un budget de 900 euros pour la commande de fruits :\\
Préciser, au kilogramme près, le poids maximum de fruits que le magasin peut commander sans dépasser son budget. On justifiera la réponse.

\item On rappelle que la valeur moyenne M d'une fonction $f$ définie et continue sur un intervalle $[a;b]$ est donnée par la formule M$=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\dx$.\\
Le supermarché estime acheter régulièrement entre 400 et 600 kilogrammes de fruits à ce fournisseur.\\
Déterminer la valeur moyenne de S sur $[400;600]$ et donner le résultat arrondi à l'unité.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\scshape\bfseries\Large Correction
\end{center}

\paragraph*{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=\e^{-x}+x(-\e^{-x})=(1-x)\e^{-x}$. \textbf{Réponse (c)}.
\item La tangente semble passer par le point de coordonnées $(1;1)$ donc a pour coefficient directeur 1.Son équation ne peut être que $y=x$. \textbf{Réponse (a)}.
\item Si on dérive chaque fonction donnée, on voit que la dérivée de la réponse (b) est la fonction $f$. \textbf{Réponse (b)}.
\item $\displaystyle\int_0^2f(x)\dx=F(2)-F(0)=-3\e^{-2}+1\approx 0,59$. \textbf{Réponse (b)}.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie A : Etude d'un modèle affine
\end{center}

\valeurs{0/0,20/0.3,40/0.6,60/1,80/1.6,100/2.3}

\begin{enumerate}
\item On a le nuage de points dessiné en fin de cette partie.
\item La calculatrice nous donne l'équation suivante :\RegLin \[ \boxed{r(t)=\a t\b}\]
\item 
\begin{enumerate}
\item Le recul est calculé par : $r(111)=0,023\times 111-0,183=\underline{2,37}$.\\
La longueur du glacier est donc : $\ell=25,6-2,37=\underline{23,23}$.
\item L'année de disparition du glacier est la valeur de $1900+t$ telle que $r(t)=25,6$, soit $0,023t-0,183=25,6$, soit $0,023t=25,6+0,183=25,783$, d'où $t=\dfrac{25,783}{0,023}=\np{1121}$.\\
Ainsi, l'année de disparition serait $1900+1121=\underline{3021}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\repere[xmin=0,ymin=0,xmax=100,ymax=3,xstep=20,ystep=1,subgrid]
\nuage[couleur=blue,dim=2pt]
\drawRegLine[couleur=red]
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\bfseries Partie B : Utilisation d'un modèle exponentiel
\end{center}

\valeurs{20/0.3,40/0.6,60/1,80/1.6,100/2.3}

\begin{enumerate}
\item \tabvalexp{Durée $t$ (à partir de 1920)/$y=\ln(r)$}

\item \valeurs{20/-1.204,40/-0.511,60/0,80/0.47,100/0.833}
\begin{enumerate}
\item La calculatrice nous donne : \RegLin : \[ \boxed{y=\a t\b}\]
\item On sait que $y=\ln(r)$ donc $\e^y=r$, soit $r=\e^{0,025t-1,599}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Le recul est donnée par : $r(t)=\e^{0,025\times 111 -1,599} \approx \underline{3,241}$, soit une longueur de glacier de $\ell=25,6-3,241=\underline{22,359}$.
\item Cherchons $t$ tel que $r(t)=25,6$, soit $0,025t-1,599=\ln 25,6$, d'où $t=\dfrac{\ln 25,6+1,599}{0,025}\approx 194$.\\
\underline{Ainsi, l'année de disparition du glacier serait $1900+194=2094$}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 3} \textit{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie A
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'arbre est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[
grow=right,%
level distance=30mm,%
every node/.style={draw,circle},
level 1/.style={sibling distance=30mm,->,>=stealth'},%
level 2/.style={sibling distance=15mm},%
]
\node[draw=white,inner sep=0pt,outer sep=0pt] {} 
	child { node {$\overline{H}$}	
				child { node {$\overline{F}$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,95}} 
				child { node {$F$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,05}}
			edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,96}
		  }
	child { node {$H$} 
				child { node {$\overline{F}$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,95}}
				child { node {$F$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,05}}	
			edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,04}
		  };
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On a :
\begin{itemize}
\item[\starredbullet] $P(A)=P\left(\overline{H} \cap \overline{F}\right)=0,96\times 0,95=\underline{0,912}$.

\item[\starredbullet] $P(B)=P\left(H\cap\overline{F}\right)+P\left(\overline{H}\cap F\right)=0,04\times 0,95+0,96\times 0,05=\underline{0,086}$.

\item[\starredbullet] $P(C)=P\left(H \cap F\right)=0,04\times 0,05=\underline{0,002}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie B
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On a l'arbre suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[
grow=right,%
level distance=20mm,%
every node/.style={draw,circle},
level 1/.style={sibling distance=30mm,->,>=stealth'},%
level 2/.style={sibling distance=15mm},%
]
\node[draw=white,inner sep=0pt,outer sep=0pt] {} 
	child { node {$C$}	
				child { node {$\overline{E}$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,5}} 
				child { node {$E$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,5}}
			edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,002}
		  }
	child { node {$B$} 
				child { node {$\overline{E}$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,7}}
				child { node {$E$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,3}}	
			edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,086}
		  }
	child { node {$A$} 
				child { node {$\overline{E}$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,9}}
				child { node {$E$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,1}}	
			edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,912}
		  };
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après la formule des probabilités totales: \[P(E)=P_A(E)\times P(A)+P_B(E)\times P(B)+P_C(E)\times P(C)=0,912\times 0,1+0,086\times 0,3+0,002\times 0,5=\underline{0,118}\]

\item $P_E(A)=\dfrac{P(E\cap A}{P(E)}=\dfrac{0,0912}{0,118}=\underline{0,773}$ à $10^{-3}$ près.\\
Ceci signifie que la probabilité pour que les deux adultes ne soient pas asthmatiques sachant que leur enfant l'est est 0,773.

\medskip
On en déduit que $P_E\left(\overline{A}\right)=1-P_E(A)=1-0,773=\underline{0,227}$.\\
Ceci signifie que la probabilité pour que l'un des deux adultes ou les deux adultes à la fois soi(en)t asthmatiques sachant que leur enfant l'est est 0,227.

\item On cherche à calculer $P_{\overline{E}}\left(\overline{A}\right)$.\\
On sait que $P_{\overline{E}}\left(A\right)=\dfrac{P\left(\overline{E}\cap A\right)}{P\left(\overline{E}\right)}=\dfrac{0,912\times 0,9}{1-P(E)}=\dfrac{0,8208}{0,882}=\underline{0,931}$.

\medskip

Ainsi, $P_{\overline{E}}\left(\overline{A}\right)=1-P_{\overline{E}}\left(A\right)=1-0,931=\underline{0,069}$
\end{enumerate}

%\paragraph*{Exercice 3} \textit{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\begin{center}
%\bfseries\scshape Partie A
%\end{center}

%\begin{enumerate}
%\item Le graphe est connexe car il n'y a pas de sommet isolé.\\
%La question revient à savoir s'il existe un cycle eulérien dans le graphe. Or, d'après le théorème d'Euler, \og un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous les sommets sont de degré pair \fg. Or, le degré de A est égal à 3 ; donc le graphe n'admet aucun cycle eulérien.\\
%Par conséquent, il est impossible de trouver un parcours passant par tous les liens une seule fois.
%\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 4}

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie A
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $P(x)$ est une fraction rationnelle ; par conséquent, sa limite en $+\infty$ est celle du rapport des termes de plus haut degré :
\[ \lim\limits_{x\to +\infty} P(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{x}=\underline{1}\]
\item $P=\dfrac{u}{v}$ où $u(x)=x+300$ et $v(x)=x+100$. Donc : \[P'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{x+100-(x+300)}{(x+100)^2}=\boxed{-\frac{200}{(x+100)^2}}\]
\item On voir que $P'(x)<0$ sur $[100;+\infty[$ car $(x+100)^2>0$ et $-200<0$. D'où :

\medskip

\begin{minipage}{.5\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/.5,$P'(x)$/.5,$P(x)$/1}{100,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,}
\tkzTabVar{+/$2$,-/$1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\textwidth}
$P(100)=\dfrac{100+300}{100+100}=2$
\end{minipage}
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie B
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $S(x)$ est une fraction rationnelle donc sa limite en $+\infty$ est celle du rapport des termes de plus haut degré donc :
\[ \lim\limits_{x\to +\infty} S(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty} (x)=\underline{+\infty}\]

\item $S(x)=xP(x)$, donc $S'(x)=(x)'P(x)+xP'(x)$ d'où :
\[S'(x)=\frac{x+300}{x+100}-\frac{200x}{(x+100)^2}\]
\[ S'(x)=\frac{(x+300)(x+100)-200x}{(x+100)^2}\]
\[ S'(x)=\frac{x^2+100x+300x+\np{30000}-200x}{(x+100)^2}\]
\[ \boxed{S'(x)=\frac{x^2+200x+\np{30000}}{(x+100)^2}}\]

\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\item On a :
\[ 
\begin{array}{rl}
x+200-\np{20000}\times\dfrac{1}{x+100} & = \dfrac{(x+200)(x+100)-\np{20000}}{x+100}\\
& = \dfrac{x^2+200x+100x+\np{20000}-\np{20000}}{x+100} \\
& = \dfrac{x^2+300x}{x+1}\\
& = \dfrac{x(x+300)}{x+100}\\
& = x\times\dfrac{x+300}{x+100}\\
& = \underline{xP(x)}
\end{array}
\]

\item De l'expression précédente, on déduit qu'une primitive de $S(x)$ est : \[ \boxed{T(x)=x^2+200x-\np{20000}\ln(x+100)} \]
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries\scshape Partie C
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On veut ici : $S(x)\leq 900$, soit $\dfrac{x^2+300x}{x+100}\leq 900$. On en déduit alors :
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\[ 
\begin{array}{rl}
S(x)\leq 900 & \Leftrightarrow \dfrac{x^2+300x}{x+100}-900\leq 0\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x^2+300}{x+100}-\dfrac{900(x+100)}{x+100}\leq 0\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x^2+300-900x-\np{90000}}{x+100}\leq 0\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x^2-600x-\np{90000}}{x+100}\leq 0
\end{array}
\]
Le discriminant du numérateur est : $\Delta = (-600)^2-4\times 1\times (-\np{90000})=\np{360000}+\np{360000}=\np{720000}$.\\
Il y a donc deux racines :
\[ x_1=\dfrac{600-\sqrt{\np{720000}}}{2}<0 \qquad ; \qquad x_2=\dfrac{600+\sqrt{\np{720000}}}{2} \approx 724,26\]
\underline{Ainsi, le magasin peut commander au maximum 724 kilogrammes de fruits à ce fournisseur.}

\item La valeur moyenne de S sur $[400;600]$ est :
\[ 
\begin{array}{rl}
\dfrac{1}{600-400}\displaystyle\int_{400}^{600}S(x)\dx & =\dfrac{1}{200}\left(T(600)-T(400)\right)\\
& = \dfrac{1}{200}\left(600^2+200\times 600-\np{20000}\ln(600+100)-400^2-200\times 400 +\np{20000}\ln(400+100) \right)\\
& \approx \underline{\np{1166}}
\end{array}
\]
\end{enumerate}
\end{document}