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\newcommand{\A}{$\mathcal{A}$\:}
\newcommand{\partie}[1]{\begin{center}\scshape\bfseries Partie #1\end{center}}
\begin{document}
\title{Baccalauréat Série ES\\Liban - Mai 2011}

\head

\paragraph*{Exercice 1 (4 points)} \textit{Commun à tous les candidats} 

\medskip
 
\emph{Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse exacte.\\Barème : Une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln\left(1-x^2\right)$. On note \Cf la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item L'ensemble de définition de la fonction $f$ est :

\begin{minipage}{.25\textwidth}$]0;+\infty[$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$[-1;1]$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$]-1;1[$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$]1;+\infty[$\end{minipage}

\item Le point de \Cf d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ a pour ordonnée :


\begin{minipage}{.25\textwidth}$\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$\ln 1-\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$\ln 3-2\ln 2$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$-0,2876820725$\end{minipage}
\end{enumerate}

\item On considère à présent la fonction $g$ définie sur $]1;+\infty[$ par $g(x)=\ln\left(\ln x\right)$.

\begin{enumerate}
\item Sur $]1;+\infty[$, l'inéquation $g(x)>0$ admet comme ensemble de solutions :


\begin{minipage}{.25\textwidth}$]1;\e[$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$]1;+\infty[$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$]\e;+\infty[$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$[\e;+\infty[$\end{minipage}

\item Sur $]1;+\infty[$, l'expression de la dérivée de la fonction $g$ est égale à :

\begin{minipage}{.25\textwidth}$\dfrac{1}{\ln x}$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1}{x}$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$x$\end{minipage}
\begin{minipage}{.25\textwidth}$\dfrac{1}{x\ln x}$\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2 (6 points)} \textit{Commun à tous les candidats}

\medskip

On rappelle que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Le taux d'emploi d'une classe d'individus est calculé en rapportant le nombre d'individus de la classe ayant un emploi au nombre total d'individus dans la classe.
\item[$\bullet$] Un individu âgé de 55 ans à 64 ans est appelé un \og sénior \fg.
\item[$\bullet$] UE désigne l'Union européenne.
\end{itemize}

\medskip

Selon un rapport de l'INSEE :\\
\og Le taux d'emploi des personnes âgées de 55 à 64 ans est considéré comme un levier privilégié pour limiter l'exclusion de ces personnes du marché du travail et maîtriser les dépenses de retraites. En 2008, il est de 45,6 \% dans l'UE, mais seulement de 38,3 \% en France alors que l'objectif de l'UE comme de la France est d'atteindre 50 \% en 2010.\fg

\medskip

Le but de l'exercice est de vérifier si la France a atteint l'objectif visé par l'UE.

\medskip

Dans tout l'exercice, le taux d'emploi sera exprimé en pourcentage. Les valeurs approchées seront arrondies au dixième.

\partie{A : Etude statistique et interpolation de données}

Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 1992 et 1998 :

\valeurs*{1992/0/29.8,1993/1/29.7,1994/2/29.6,1995/3/29.6,1996/4/29.4,1997/5/29,1998/6/28.3}

\begin{center}
\tabval*{Année/Rang de l'année $x_i$/Taux d'emploi des séniors en \% $y_i$}
\end{center}
\begin{flushright}
\emph{Source : INSEE, Eurostat}
\end{flushright}

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
\item Selon cet ajustement, déterminer le taux d'emploi des séniors en 1999.
\item Selon cet ajustement, déterminer si la France a atteint l'objectif fixé en 2010.
\end{enumerate}

\partie{B : Interpolation de données à l'aide d'un second modèle}

Le taux d'emploi des séniors en France est en réalité de 28,8 \% en 1999 et on admet qu'à partir de l'année $2000+n$, il est donné par l'expression $29,9\times 1,037^n$ où $n$ désigne un entier naturel. Selon ce modèle, déterminer :

\begin{enumerate}
\item Le taux d'emploi des séniors en 2010.
\item A partir de quelle année la France aura atteint son objectif.
\end{enumerate}

\partie{C : Extrapolation de données selon un troisième modèle}

Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des séniors en France entre 2001 et 2009 :

\valeurs*{2001/9/31.9,2002/10/34.7,2003/11/37,2004/12/37.8,2005/13/38.5,2006/14/38.1,2007/15/38.2,2008/16/38.2,2009/17/38.9}

\begin{center}
\tabval*{Année/Rang de l'année $x_i$/Taux d'emploi des séniors en \% $y_i$}
\end{center}
\begin{flushright}
\emph{Source : INSEE, Eurostat}
\end{flushright}

Désormais, à partir de 2001, on choisit un modèle logarithmique et on admettra qu'à partir de 2001, le taux d'emploi des séniors est donné par la fonction $f$ définie sur $[9;+\infty[$ par $f(x)=a\ln(x+1)+b$, où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.

\begin{enumerate}
\item En considérant les années 2001 et 2006, écrire le système d'équations que doivent vérifier $a$ et $b$.
\item En déduire que $a=\dfrac{6,2}{\ln 1,5}$.

\medskip

Dans la suite, on admettra que $a=15,3$ et $b=-3,3$.

\medskip

\item Selon ce modèle, déterminer à partir de quelle année la France aura atteint son objectif.
\end{enumerate}

\newpage

\paragraph*{Exercice 3 (5 points)} \textit{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ par $f(x)= \e^{-x}$, $g(x)=-x+1$ et $h(x)=f(x)-g(x)$.\\
On note \Cf la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Delta$ la droite représentant la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.

\partie{A : Position relative de \Cf et de l'une de ses tangentes}

\begin{enumerate}
\item Vérifier, par le calcul, que la tangente à \Cf au point d'abscisse 0 est la droite $\Delta$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in \R$, $h'(x)=1-\e^{-x}$.
\item Etudier le signe de $h'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $h$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\item En utilisant les questions 1) et 2), étudier la position relative de la courbe \Cf et de sa tangente au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}

\partie{B : Calcul d'aire}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle\int_0^1 h(x)\dx=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\e}$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
Soit $a$ un nombre réel vérifiant $a>1$. On appelle D le domaine colorié sur le graphique en \textbf{annexe}. \\
On note \A l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine D.

\begin{enumerate}
\item Déterminer en fonction de $a$ la valeur de \A.
\item Déterminer la limite de \A lorsque $a$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\bfseries\scshape\large Annexe
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=4]
\fill[gray!50] (1,0) -- (0,1) plot[domain=0:2.8] (\x,{exp(-\x)}) -- (2.8,0) -- (1,0);
\draw plot[domain=-0.5:4] (\x,{exp(-\x)});
\node[above] at (-.25,1.5) {\Cf};
\draw plot[domain=-0.6:1.5] (\x,-\x+1);
\node at (-0.5,1.3) {$\Delta$};
\draw (-1,-.5) rectangle +(5,2.2);
\node[below] at (2.8,0) {$a$};
\draw[->,>=stealth'] (-1,0) -- (4,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-.3) -- (0,1.5);
\foreach \x in {-0.5,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5}
{
	\draw (\x,0) -- (\x,-.02) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {-0.2,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4}
{
	\draw (0,\y) -- (-.02,\y) node[left] {\y};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\paragraph*{Exercice 4 (5 points)} \textit{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On rappelle que pour tout événement A et B d'un univers :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] l'événement \og A et B \fg\ est noté A$\cap$B,
\item[$\bullet$] la probabilité de l'événement A est noté $P(A)$,
\item[$\bullet$] si $P(A)\neq 0$, alors la probabilité conditionnelle de B sachant A est notée $P_A(B)$.
\end{itemize}

\medskip

Lors de l'année de terminale ES, les trois quarts des élèves travaillent sérieusement tout au long de l'année scolaire.\\
Un candidat au baccalauréat ES a une probabilité de 0,9 d'obtenir son bac s'il a travaillé sérieusement et une probabilité de 0,2 s'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.\\
Un candidat est dit surpris s'il est admis alors qu'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire ou bien s'il est refusé et qu'il a travaillé sérieusement pendant l'année scolaire. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] T l'événement \og le candidat a travaillé sérieusement \fg
\item[$\bullet$] A l'événement \og le candidat est admis au baccalauréat ES \fg
\item[$\bullet$] S l'événement \og le candidat est surpris \fg
\end{itemize}

On interroge au hasard un candidat au baccalauréat ES.\\
Dans tout l'exercice, on donnera des valeurs approchées au millième.

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé.
\item Déterminer la probabilité des événements suivants :

\begin{enumerate}
\item $T\cap A $
\item $T\cap\overline{A}$
\item $\overline{T}\cap A$
\item $\overline{T}\cap\overline{A}$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que le candidat interrogé soit admis.
\item Le candidat est admis. Déterminer la probabilité que ce candidat ait travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
\end{enumerate}

\item Démontrer que la probabilité de l'événement S est 0,125.
\item On interroge trois élèves au hasard. Calculer la probabilité qu'au moins un élève soit surpris.
\end{enumerate}

\newpage

\paragraph*{Exercice 4 (5 points)} \textit{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

En 2010, les clients d'une banque nationale se répartissent en deux catégories distinctes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Catégorie A, composée des clients d'agence
\item[$\bullet$] Catégorie B, composée des clients internet
\end{itemize}

En 2010, 92 \% des clients sont des clients d'agence et 8 \% des clients sont des clients internet. \\
On admet que chaque année, 5 \% des clients d'agence deviennent clients internet et inversement 1 \% des clients internet deviennent clients d'agence. \\
On suppose que le nombre de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu'un client ne peut faire partie des deux catégories.

\medskip

On s'intéresse à l'évolution de la répartition des clients de cette banque dans les années à venir.

\medskip

On note pour tout entier naturel $n$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $a_n$ la probabilité qu'un client de la banque, pris au hasard, soit un client d'agence à l'année $2010+n$,
\item[$\bullet$] $i_n$ la probabilité qu'un client de la banque, pris au hasard, soit un client internet à l'année $2010+n$,
\item[$\bullet$] $P_n=\left(a_n\quad i_n\right)$ la matrice correspondant à l'état probabiliste pour l'année $2010+n$.
\end{itemize}

\medskip

On note $M$ la matrice de transition, telle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n\times M$.

\partie{A : Etat stable d'un graphe probabiliste}

Dans cette partie, on donnera des valeurs approchées arrondies au centième.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation.
\item Donner $P_0$ la matrice traduisant l'état probabiliste initial.

\medskip

On admettra que $M=\begin{pmatrix}0,95 & 0,05\\0,01 & 0,99\end{pmatrix}$

\medskip

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la matrice $P_1$.
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la répartitions des clients de la banque en 2015.
\end{enumerate}

\item Déterminer, par le calcul, l'état stable de la répartition des clients.\\
Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\partie{B : Etude de la limite d'une suite récurrente}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la relation $P_{n+1}=P_n\times M$, exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $i_n$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,94a_n+0,01$.
\end{enumerate}

\item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=a_n-\dfrac{1}{6}$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n=\dfrac{113}{150}\times 0,94^n + \dfrac{1}{6}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\Large\bfseries\scshape Correction
\end{center}

\paragraph*{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f$ est définie si $1-x^2>0$. Les racines de $1-x^2$ sont 1 et $-1$ et le polynôme est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur des racines.\\ \underline{Donc le domaine de définition est $]-1;1[$.}

\item L'ordonnée du point de \Cf d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(1-\frac{1}{4}\right)=\ln\frac{3}{4}=\ln 3- \ln4 = \underline{\ln3 - 2\ln2}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $g(x)>0 \Leftrightarrow \ln\left(\ln x\right)>0 \Leftrightarrow \ln x > 1 \Leftrightarrow x > \e$. \\
\underline{Donc l'ensemble des solutions à cette inéquation est $]\e;+\infty[$.}

\item $g(x)=\ln u$, avec $u(x)=\ln x$, donc $g'(x)=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{\frac{1}{x}}{\ln x}=\boxed{\dfrac{1}{x\ln x}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 2}

\partie{A}

\valeurs*{1992/0/29.8,1993/1/29.7,1994/2/29.6,1995/3/29.6,1996/4/29.4,1997/5/29,1998/6/28.3}

\begin{enumerate}
\item \RegLin[round=2] La calculatrice nous donne : \[ \boxed{y=\a x + \b}\]
\item Selon cet ajustement, le taux d'emploi des séniors en 1999 est : \[y = -0,22\times 7+30=\underline{28,46}\]

\item Selon cet ajustement, le taux d'emploi des séniors en 2010 est : \[y = -0,22\times 18+30=\underline{26,04}\]
Manifestement, en 2010, le taux d'emploi n'atteindra pas 50 \% ; l'objectif ne sera donc pas atteint.
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item Selon la formule donnée, en 2010, le taux d'emploi des séniors est : \[ 29,9\times 1,037^0=\underline{30,9}\]
\item Cherchons $n$ tel que $29,9\times 1,037^n \geq 50$ :
\[ 
\begin{array}{rl}
29,9\times 1,037^n \geq 50 & \Leftrightarrow 1,037^n \geq \dfrac{50}{29,9}\\
& \Leftrightarrow \ln\left(1,037^n\right) \geq \dfrac{50}{29,9}\\
& \Leftrightarrow n\ln 1,037 \geq \dfrac{50}{29,9}\\
& \Leftrightarrow n \geq \dfrac{\frac{50}{29,9}}{\ln 1,037}\\
& \Leftrightarrow n \geq 46,027
\end{array}
\]
\underline{Il faudra donc, selon ce modèle, attendre 2047 pour que la France atteigne son objectif.}
\end{enumerate}

\newpage

\partie{C}

\begin{enumerate}
\item On souhaite que $f(2001)=31,9=a\ln(9+1)+b$ et $f(2006)=38,1=a\ln(14+1)+b$.\\
Ainsi, on a le système suivant :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
a\ln 10+b=31,9 & (1)\\
a\ln 15+b=38,1 & (2)
\end{array}
\right.
\]

\item Du système précédent, on déduit (en faisant $(2)-(1)$) :
\[ a\left(\ln 15-\ln 10\right)=38,1-31,9\]
Soit : \[ a=\frac{6,2}{\ln 15 - \ln 10}\approx \underline{15,3}\]

\item On a $f(x)=15,3\ln (x+1) -3,3$ et on souhaite déterminer $x$ tel que $f(x)\geq 50$ d'où :
\[
\begin{array}{rl}
f(x)\geq 50 & \Leftrightarrow 15,3\ln(x+1)-3,3\geq 50\\
& \Leftrightarrow 15,3\ln(x+1) \geq 53,3\\
& \Leftrightarrow \ln(x+1)\geq\dfrac{53,3}{15,3}\\
& \Leftrightarrow x+1\geq \e^{\dfrac{533}{153}}\\
& \Leftrightarrow x\geq \e^{\dfrac{533}{153}}-1\\
& \Leftrightarrow x \geq 31,58
\end{array}
\]

\underline{Donc, la France atteindra son objectif, selon ce modèle, pour $x=32$, soit en $1992+32$, soit en 2024.}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 3}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item L'équation de la tangente en $x=0$ est : \[ y=f'(0)(x-0)+f(0)\]
\[ y=-\e^{-0}x+\e^{-0}\] \[ \boxed{y=1-x}\]
\underline{Cette dernière équation est bien celle de la droite $\Delta$.}

\item
\begin{enumerate}
\item $h'(x)=f'(x)-g'(x)=-\e^{-x}-(-1)=\underline{1-\e^{-x}}$.
\item $h'(x)>0 \Leftrightarrow 1-\e^{-x}>0 \Leftrightarrow 1>\e^{-x} \Leftrightarrow \ln 1 > -x \Leftrightarrow x > 0$.\\
\underline{Ainsi, $h'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$ et $h'(x)<0$ sur $]-\infty;0[$.}
\item On en déduit que $h$ est \underline{décroissante sur $]-\infty;0[$} et \underline{croissante sur $]0;+\infty[$}.
\end{enumerate}

\item $h(0)=f(0)-g(0)=\e^{-0}+0-1=1-1=0$. De la question 2, on peut alors dire que $h(x)\geq 0$ sur $\R$, donc $f(x)\geq g(x)$ sur $\R$, ce qui signifie que \underline{\Cf est au-dessus de $\Delta$ sur $\R$.}
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item On a :
\[ 
\int_0^1 h(x)\dx = \int_0^1\left(f(x)-g(x)\right)\dx=\int_0^1 f(x)\dx-\int_0^1 g(x)\dx=\left[-\e^{-x}\right]_0^1-\left[-\frac{1}{2}x^2+x\right]_0^1=-\e^{-1}+1-\left( -\frac{1}{2}+1\right)
\]
Ainsi : \[ \boxed{\int_0^1 h(x)\dx = \frac{1}{2}-\e^{-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{\e}}\]

\item 
\begin{enumerate}
\item L'aire du domaine D est donné par $\displaystyle\int_0^1 h(x)\dx+\displaystyle\int_1^a f(x)\dx$. Ainsi : 
\[ \mathcal{A}=\frac{1}{2}-\frac{1}{\e}+\left[-\e^{-x}\right]_1^a \]
\[ \mathcal{A}=\frac{1}{2}-\frac{1}{\e}-\e^{-a}+\e^{-1}\]
\[ \boxed{\mathcal{A}=\frac{1}{2}-\frac{1}{\e^a}}\]

\item On sait que $\lim\limits_{a \to +\infty} \e^a = +\infty$ et que $\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{1}{X}=0$ donc $\lim\limits_{a\to +\infty}\dfrac{1}{\e^a}=0$.\\
Par conséquent, $\boxed{\lim\limits_{a\to +\infty}\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 4} \textit{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[
grow=right,%
level distance=20mm,%
level 1/.style={sibling distance=30mm},%
level 2/.style={sibling distance=15mm},%
]
\node[draw=white,inner sep=0pt,outer sep=0pt] {} 
	child { node {$\overline{T}$}	
				child { node {$\overline{A}$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white] {0,8}} 
				child { node {$A$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white] {0,2}}
			edge from parent node[midway,fill=white,draw=white,rectangle] {0,25}
		  }
	child { node {$T$} 
				child { node {$\overline{A}$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white] {0,1}}				
				child { node {$A$} edge from parent node[midway,fill=white,draw=white] {0,9}	}
			edge from parent node[midway,fill=white,draw=white] {0,75}
		  };
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item $P(T\cap A)=P_T(A)\times P(T)=0,9\times 0,75 = \underline{0,675}$.
\item $P\left(T\cap\overline{A}\right)=0,75\times 0,1 =\underline{0,075}$.
\item $P\left(\overline{T}\cap A\right)=0,25\times 0,2=\underline{0,05}$.
\item $P\left(\overline{T}\cap\overline{A}\right)=0,25\times 0,8=\underline{0,2}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item La probabilité pour que le candidat soit admis est, d'après la formule des probabilités totales : 
\[ P(A)=P(A\cap T)+P\left(A\cap\overline{T}\right)=0,675+0,05=\underline{0,68}\]

\item On a : $P_A(T)=\dfrac{P(A\cap T}{P(A)}=\dfrac{0,675}{0,68}\approx \underline{0,993}$.\\
La probabilité pour que le candidat ait travaillé sérieusement pendant l'année sachant qu'il est admis est donc égale à 0,993.
\end{enumerate}

\item $P(S)=P\left(\overline{T}\cap A\right)+P\left(T\cap\overline{A}\right)=0,075+0,05=\underline{0,125}$

\item On note X la variable aléatoire désignant le nombre de candidats surpris. Alors, $X=\{0;1;2;3\}$.\\
X suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,125$ car chaque épreuve est répétée de façon indépendante et chacune d'elles comporte deux issues seulement (le candidat est surpris ou ne l'est pas).\\
Ainsi, $P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-(1-0,125)^3\approx \underline{0,33}$
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 4} \textit{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item Le graphe probabiliste correspondant à cette situation est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[label/.style={draw,circle}]
\node[label] (A) at (0,0) {A};
\node[label] (I) at (2,0) {I};
\draw[->,>=stealth'] (A.north east) to[bend left=60] (I.north west);
\node at (1,1) {0,05};
\draw[->,>=stealth'] (I.south west) to[bend left=60] (A.south east);
\node at (1,-1) {0,01};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (A.west) to[loop left] (A.west);
\node[left] at (-1.5,0) {0,95};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (I.east) to[loop right] (I.east);
\node[right] at (3.5,0) {0,99};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après l'énoncé, $\underline{P_0=\left(0,92\quad 0,08\right)}$.

\item
\begin{enumerate}
\item $P_1=P_0 M=\left(0,92\quad 0,08\right)\begin{pmatrix}0,95 & 0,05\\0,01 & 0,99\end{pmatrix}=\left(0,92\times 0,95+0,08\times 0,01\quad 0,92\times 0,05+0,08\times 0,99 \right)$.\\
Donc $\underline{P_1=\left(0,8748\quad 0,1252\right)}$

\item Calculons $P_5=P_0M^5=\underline{\left(0,72\quad 0,28\right)}$
\end{enumerate}

\item Désignons par $P_\infty=\left(x\quad y\right)$ l'état stable de la répartition des clients. \\
Alors, par définition, $P_\infty=P_\infty M$, soit $\left(x\quad y\right)=\left(x\quad y\right)\begin{pmatrix}0,95 & 0,05\\0,01 & 0,99\end{pmatrix}$.\\
on a alors le système suivant :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=0,95x+0,01y\\
y=0,05x+0,99y\\
x+y=1
\end{array}
\right.
\]
Soit :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
0,05x=0,01y\\
x+y=1
\end{array}
\right.
\]
D'où :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y=5x\\
6x=1
\end{array}
\right.
\]
Ainsi :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=\frac{1}{6}\\
y=\frac{5}{6}
\end{array}
\right.
\]

L'état stable est donc : $\underline{P_\infty=\left(0,17\quad 0,83\right)}$.

\medskip

Ainsi, après un grand nombre d'années, 17 \% des clients seront des clients d'agence et 83 \% seront des clients internet.
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item La relation $P_{n+1}=P_n\times M$ donne : $\left(a_{n+1}\quad i_{n+1}\right)=\left(a_n\quad i_n\right)\begin{pmatrix}0,95 & 0,05\\0,01 & 0,99\end{pmatrix}$ d'où :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\textcolor{red}{a_{n+1}=0,95a_n+0,01i_n}\\
i_{n+1}=0,05a_n+0,99i_n
\end{array}
\right.
\]

\item On sait que pour tout entier naturel $n$, $a_n+i_n=1$, donc $i_n=1-a_n$. L'équation précédente donne alors :
\[ a_{n+1}=0,95a_n+0,01(1-a_n)=\underline{0,94a_n+0,01}\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $u_{n+1}=a_{n+1}-\dfrac{1}{6}=0,94a_n+0,01-\dfrac{1}{6}=0,94a_n-\dfrac{0,94}{6}=0,94\left(a_n-\dfrac{1}{6}\right)$.\\
Donc $u_{n+1}=0,94u_n$. Ainsi, $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison 0,94 et de premier terme $u_0=a_0-\dfrac{1}{6}=0,92-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4,52}{6}=\dfrac{452}{600}=\dfrac{113}{150}$.

\item On en déduit que $u_n=u_0\times(0,94)^n=\boxed{\dfrac{113}{150}\times(0,94)^n}$.

\item On sait que $u_n=a_n-\dfrac{1}{6}$ donc $a_n=u_n+\dfrac{1}{6}=\boxed{\dfrac{113}{150}\times(0,94)^n+\dfrac{1}{6}}$.

\item $\lim\limits_{n\to +\infty} (0,94)^n=0$ car $0<0,94<1$.\\
Ainsi, $\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty} a_n = \dfrac{1}{6}}$ ce qui signifie que la proportion des clients en agence tendra à être égale à $\frac{1}{6}$ au minimum.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}