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%
\newenvironment{important}{\parpic{\includegraphics[width=32pt]{important.png}}\noindent\ignorespaces}{\par}

\newcounter{numexo}

\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\newcommand{\sujet}{\phantomsection\addcontentsline{toc}{section}{SUJET}}
\newcommand{\correction}{\newpage\phantomsection\addcontentsline{toc}{section}{CORRECTION}\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\e}{\text{e}}
\newcommand{\dx}{\text{d}x}
\newcommand{\pc}[2]{\text{P}_{\text{#2}}\left(\text{#1}\right)}
\renewcommand{\b}[1]{\overline{\text{#1}}}
\newcommand{\Oij}{$\left(\text{O};\vv{i},\vv{j}\right)$}
% Macro "exercice"
\newcommand*\exercice[3] % #1 = nb points ; #2 = Commun à tous les candidats ; #3 : thème
{%
\stepcounter{numexo}
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{subsection}{Exercice \thenumexo.\: #3 (#2)}
\helv Exercice \thenumexo{} (#1 points) \hfill \emph{#2}

\bigskip\normalfont
}
% Redéfinition de la table des matières
\makeatletter
\renewcommand*\l@section{\color{blue!50!black}\def\@linkcolor{blue!50!black}\@dottedtocline{1}{1em}{2.3em}}
\renewcommand*\l@subsection{\color{green!50!black}\def\@linkcolor{green!50!black}\@dottedtocline{2}{1.5em}{2.3em}}
\def\contentsline#1#2#3#4{%
  \ifx\\#4\\%
    \csname l@#1\endcsname{#2}{#3}%
  \else
      \csname l@#1\endcsname{\hyper@linkstart{link}{#4}{#2}\hyper@linkend}{%
        \hyper@linkstart{link}{#4}{#3}\hyper@linkend
      }%
  \fi
}
\makeatother
\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{0}
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}Sommaire}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l>{\centering \arraybackslash}X}
\multirow{3}{*}{\includegraphics[scale=0.5]{logo.png}} & 
\Large\helv Baccalauréat Série ES\\ & \\ & \helv Amérique du Nord - 31 mai 2012
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

{\color{purple}\hrulefill}
\tableofcontents

{\color{purple}\hrulefill}

\vspace{1cm}

\begin{center}
Document réalisé le \today.\\
Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}

\vspace{2cm}

\emph{Si une erreur s'est glissée, n'hésitez pas à me contacter par email :}

\medskip

\href{mailto:contact@mathweb.fr}{contact@mathweb.fr}
\end{center}
\newpage\sujet

% <------------ EX. 1 ----------->
\exercice{6}{Commun à tous les candidats}{Statistiques}
 
Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la population du Nigeria, en millions d'habitants .

\medskip

{\small 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{3cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-11}
\multicolumn{1}{c|}{}& 1960 &1965 &1970 &1975 & 1980 & 1985 & 1990 & 1995 & 2000 & 2005\\ \hline
Rang $\left( x_i \right)$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 
Population en millions $\left( y_i \right)$ & 45,158 & 50,414 & 56,467 & 63,948 & 74,523 & 85,151 & 97,338 & 110,449 & 124,842 & 140,879\\ \hline
\end{tabularx}
} 

\hfill\emph{Source : perspective monde, université de Sherbrooke. La banque mondiale}

\begin{center}
\scshape\large Partie A
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans un premier temps, on décide de faire un ajustement affine. On note $(d)$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
	
Déterminer en utilisant la calculatrice, une équation de $(d)$. On arrondira les coefficients au millième.
\item \`A l'aide de cet ajustement, faire une estimation de la population du Nigeria en 2010. On arrondira la réponse au millier d'habitants.
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large Partie B
\end{center}

\emph{Dans cette partie, toutes les valeurs seront arrondies au millième.}

\begin{enumerate}
\item En 2010 on a noté une population de 154,729 millions d'habitants au Nigeria. On décide alors de faire un ajustement exponentiel. 
	
Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.
	
\medskip
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Rang $\left( x_i \right)$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 
$z_i=\ln\left( y_i \right)$ &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
\item En déduire une expression de la population du Nigeria $y$ en millions d'habitants en fonction du rang $x$ de l'année sous la forme $y=k\e^{mx}$.
\item Utiliser cet ajustement pour estimer la population du Nigeria en 2010.
\item D'après l'Institut National d'\'Etudes Démographiques (INED) la population du Nigeria devrait dépasser 430 millions d'habitants en 2050. 
	
Que peut-on penser de cette estimation ? 
\end{enumerate}

\pagebreak

% <------------ EX. 2 (Obligatoire) ----------->
\exercice{5}{Enseignement obligatoire}{Probabilités}

Un restaurateur propose trois formules à midi :

\medskip

\begin{itemize}
\item[] Formule $A$ : Plat du jour / Dessert / Café 
\item[] Formule $B$ : Entrée / Plat du jour / Dessert / Café
\item[] Formule $C$ : Entrée / Plat du jour / Fromage / Dessert / Café 
\end{itemize}

\medskip

Lorsqu'un client se présente au restaurant pour le repas de midi, il doit choisir une des trois formules proposées et commander ou non du vin.

\medskip

Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$, tandis qu'un client sur deux choisit la formule $B$.

\medskip

On sait aussi que :

\medskip

\begin{itemize}
\item Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin.
\item Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin.
\item Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin.
\end{itemize}

\medskip

Un client se présente au restaurant pour le repas de midi. On considère les évènements suivants :

\medskip

\begin{itemize}
\item[]  $A$ : \og le client choisit la formule $A$ \fg 
\item[]  $B$ : \og le client choisit la formule $B$ \fg 
\item[]  $C$ : \og le client choisit la formule $C$ \fg 
\item[]  $V$ : \og le client commande du vin \fg 
\end{itemize}

\medskip

Si $A$ et $B$ désignent deux évènements d'une même expérience aléatoire, alors on notera $\b{A}$ l'évènement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $\pc{B}{A}$ la probabilité de l'évènement $B$ sachant que $A$ est réalisé.

\medskip

\emph{Les probabilités demandées seront arrondies, si c'est nécessaire, au centième.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(C)$.
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
%\tikzstyle{name} = [fill=white];
\tikzstyle{proba} = [fill=white,midway];
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (2,2);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (C) at (2,-2);
\coordinate (AV) at (5,2.5);
\coordinate (AVB) at (5,1.5);
\coordinate (BV) at (5,0.5);
\coordinate (BVB) at (5,-0.5);
\coordinate (CV) at (5,-1.5);
\coordinate (CVB) at (5,-2.5);
\draw (O) -- (A);% node[proba] {0,05};
\draw (O) -- (B);% node[proba] {0,4};
\draw (O) -- (C);% node[proba] {0,55};
\draw (A) -- (AV);% node[proba] {0,6};
\draw (A) -- (AVB);% node[proba] {0,4};
\draw (B) -- (BV);% node[proba] {0,7};
\draw (B) -- (BVB);% node[proba] {0,3};
\draw (C) -- (CV);% node[proba] {0,9};
\draw (C) -- (CVB);% node[proba] {0,1};
\foreach \n/\t in {O/,A/A,B/B,C/C,AV/V,AVB/$\b{V}$,BV/V,BVB/$\b{V}$, CV/V,CVB/$\b{V}$}
{
\node[fill=white] at (\n) {\t};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\item Montrer que $p(V)=0,45$.
\item Le client commande du vin. Calculer la probabilité qu'il ait choisi la formule $A$.
\item La formule $A$ coûte 8 euros, la formule $B$ coûte 12 euros et la formule $C$ coûte 15 euros. Le vin est en supplément et coûte 3 euros. On note $D$ la dépense en euro d'un client venant manger à midi dans ce restaurant.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $D$.
\item Calculer la dépense moyenne par client en euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak\addtocounter{numexo}{-1}

% <------------ EX. 2 (Spé) ----------->
\exercice{5}{Enseignement de spécialité}{Graphe probabiliste}

Un club de sport propose à ses adhérents deux types d'abonnements : l'abonnement de type A qui donne accès à toutes les installations sportives et l'abonnement de type B qui, en plus de toutes les installations sportives, donne accès au sauna, au hammam et au jacuzzi. Chaque adhérent doit choisir un des deux abonnements.

\medskip

La première année, en 2010, 80\% des clients ont choisi l'abonnement de type A. On considère ensuite que 30\% des adhérents ayant un abonnement de type A changent d'abonnement pour l'année suivante, tandis que 10\% des adhérents ayant un abonnement de type B changent d'abonnement pour l'année suivante.

\medskip

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 0.

On note $a_n$ la proportion des adhérents ayant un abonnement de type A l'année $2010+n$.

On note $b_n$ la proportion des adhérents ayant un abonnement de type B l'année $2010+n$.

Enfin on note $P_n= \begin{pmatrix} a_{n}  & b_{n}  \\ \end{pmatrix}$ la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année $2010+n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_0$.
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
\item \'Ecrire la matrice de transition $M$ associée à cette situation.
\item Déterminer la matrice $P_2$. En déduire la probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type $A$.
\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 0, $a_{n+1}=0,6 a_n +0,1$.
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 0, on pose $u_n = 4 a_n -1$.
	
Montrer que la suite $\left( u_n \right)$ est géométrique de raison 0,6. Préciser son premier terme.
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 0, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En déduire  $a_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la limite de la suite $\left( a_n \right)$ puis interpréter concrètement ce résultat.
\end{enumerate}

\pagebreak

% <------------ EX. 3 ----------->
\exercice{6}{Commun à tous les candidats}{Lecture graphique, étude d'une fonction exp.}

\begin{center}
\scshape\large Partie A
\end{center}

On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $(\mathscr{C})$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2;4]$.

On nomme $A$ le point de $(\mathscr{C})$ d'abscisse $-1$ et $B$ le point de $(\mathscr{C})$ d'abscisse 0.

\medskip

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-2;-1]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[-1;4]$
\item La tangente à $(\mathscr{C})$ au point $A$ est horizontale.
\item La droite $(\mathscr{T})$ est la tangente à $(\mathscr{C})$ au point $B$ et a pour équation $y=-x+2$
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray!20] (-3,-1) grid (5,4);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-3,0) -- (5,0) node[below right] {$x$};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,4) node[above right] {$y$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {-1,1,2,3}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\y};
}
\node[below left] at (0,0) {0};
\draw[blue,thick,samples=100] plot[domain=-2:4] (\x,{(\x+2)*exp(-\x)}) node[above] {$(\mathscr{C})$};
\draw[red] plot[domain=-2:3] (\x,{-\x+2}) node[above right] {$(T)$};
\draw[red,<->,>=stealth'] (-1.8,2.718) -- (-.2,2.718);
\fill[red] (-1,2.718) circle (0.5mm) node[above left] {A};
\fill[red] (0,2) circle (0.5mm) node[right] {B};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\emph{Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $f'(-1)$.
\item Déterminer le signe de $f'(2)$.
\item Interpréter graphiquement $f'(0)$, puis donner sa valeur.
\end{enumerate}
\item Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\dx$ exprimée en unité d'aire.
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large Partie B
\end{center}

La fonction $f$ de la \textbf{Partie A} a pour expression $f(x)=(x+2)\e^{-x}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point $A$ de la courbe $(\mathscr{C})$.
\item Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2;4]$.
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[-2;4]$ par $F(x)=(-x-3)\e^{-x}$ est une primitive de $f$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\dx$.
\item Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2 de la partie A.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

% <------------ EX. 4  ----------->
\exercice{3}{Commun à tous les candidats}{Lecture graphique, équation, primitive}

\textbf{\emph{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé, la courbe $(\mathscr{C})$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3;2]$. La courbe $(\mathscr{C})$ coupe l'axe des abscisses au point $A$ d'abscisse $-2$ et au point $B$ d'abscisse 1.
\vspace*{-1em}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.66]
\draw[gray!20] (-4,-3) grid (3,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-4,0) -- (3,0) node[below right] {$x$};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-3) -- (0,5) node[right] {$y$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-.1) node[below] {\tiny\x};
}
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\tiny\y};
}
\node[below left] at (0,0) {\tiny 0};
\draw[blue,thick,samples=100] plot[domain=-3:2] (\x,{(\x+2)*(\x-1)}) node[right] {$(\mathscr{C})$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Parmi les trois courbes proposées ci-dessous, déterminer la seule qui représente une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-3;2]$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{3.6cm}|>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}m{4.2cm}|}\hline
\textbf {(a)} & \textbf {(b)} & \textbf {(c)}\\ \hline 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray!20] (-4,-2) grid (3,4);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-4,0) -- (3,0) node[below right] {$x$};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-2) -- (0,4) node[above right] {$y$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-.1) node[below] {\tiny\x};
}
\foreach \y in {-1,1,2,3}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\tiny\y};
}
\node[below left] at (0,0) {\tiny 0};
\draw[blue,thick,samples=100] plot[domain=-3:2] (\x,{\x*\x*\x/3+\x*\x/2-2*\x});
\end{tikzpicture}
\end{center}
& 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray!20] (-4,-3) grid (3,7);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-4,0) -- (3,0) node[below right] {$x$};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-3) -- (0,7) node[above right] {$y$};
\foreach \x in {-3,-2,-1,1,2}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-.1) node[below] {\tiny\x};
}
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4,5,6}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\tiny\y};
}
\node[below left] at (0,0) {\tiny 0};
\draw[blue,thick,samples=100] plot[domain=-3:2] (\x,{-41*\x*\x*\x*\x/396-\x*\x*\x/18+475*\x*\x/396+71*\x/33});
\end{tikzpicture}
\end{center}
& 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[gray!20] (-3,-2) grid (2,2);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-3,0) -- (2,0) node[below right] {$x$};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-2) -- (0,2) node[above right] {$y$};
\foreach \x in {-2,-1,1}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-.1) node[below] {\tiny\x};
}
\foreach \y in {-1,1}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\tiny\y};
}
\node[below left] at (0,0) {\tiny 0};
\draw[blue,thick,samples=100] plot[domain=-3:2] (\x,{sqrt(\x+3)-1.5});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item On admet que l'équation $x \mathrm{e}^{2x-1} =2 $ n'a qu'une solution $\alpha$ dans $\R$.

Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

\medskip

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

Une entreprise produit des tentes. Le coût marginal, en milliers d'euros, pour la production de $x$ centaines de tentes, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$ est donné par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;20]$ par $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$.

On note $C$ la fonction qui représente le coût total exprimé en milliers d'euros pour une production de $x$ centaines de tentes, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$.

On assimile le coût marginal à la dérivée de la fonction coût total, c'est à dire à la dérivée de la fonction $C$.

Sachant que les coûts fixes sont de 5~000 euros, déterminer le coût total en milliers d'euros, pour une production de $x$ centaines de tentes, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$.
\end{enumerate}

\correction

% <------------ EX. 1 ----------->
\exercice{6}{Commun à tous les candidats}{Statistiques}

\begin{center}
\scshape\large Partie A
\end{center}

\begin{enumerate}
\item A l'aide de la calculatrice, on trouve que l'équation est : 

\[ \boxed{y=10,686x+26,144}\]

\item En 2010, $x=11$. On remplace donc $x$ par 15 dans l'équation obtenue précédemment. On trouve alors :
\begin{align*}
y & = 10,686\times 11 + 26,144\\
& = 143,69
\end{align*}

\underline{Ainsi, on peut donc estimer à \np{143000} le nombre d'habitants au Nigeria en 2010.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large Partie B
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le tableau est le suivant :

\begin{center}
\valeurs{1/45.158,2/50.414,3/56.467,4/63.948,5/74.523,6/85.151,7/97.338,8/110.449,9/124.842,10/140.879}
\tablog{Rang ($x_i$)}{$z_i=\ln(y_i)$}
\end{center}

\item  A l'aide de la calculatrice, on trouve l'équation suivante :

\valeurs{1/3.81,2/3.92,3/4.034,4/4.158,5/4.311,6/4.444,7/4.578,8/4.705,9/4.857,10/4.948}
\[ \boxed{z=0,131x+3,658} \]

\item On sait que $z=\ln y$ donc $y=\e^{z}$. Ainsi:

\begin{align*}
y & = \e^{0,131x+3,658}\\
& = \e^{0,131x} \times \e^{3,658}
& \underline{38,784\e^{0,131x}}
\end{align*}

\item Avec ce dernier ajustement, en prenant $x=11$, on a :

\begin{align*}
y & = 38,784\e^{0,131\times 11}\\
  & \approx 153,859
\end{align*}

\underline{On peut donc estimer à \np{154000} le nombre d'habitants du Nigeria en 2010.}

\item Pour 2050, $x=19$ et le dernier ajustement nous donne :

\begin{align*}
y & = 38,784\e^{0,131\times 19}\\
  & \approx 467,317
\end{align*}

\underline{Ainsi, cette estimation est fondée.}
\end{enumerate}

\pagebreak

% <------------ EX. 2 (Obligatoire) ----------->
\exercice{5}{Enseignement obligatoire}{Probabilités}

\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, $p(A)=\dfrac{1}{5}$ et $p(B)=\dfrac{1}{2}$. Ainsi,

\begin{align*}
p(C)&=1-p(A)-p(B)\\
& = 1-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}\\
& = \frac{3}{10}
\end{align*}

La probabilité de l'événement $C$ est donc égale à $\boxed{p(C)=\dfrac{3}{10}}$.

\item L'arbre est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
%\tikzstyle{name} = [fill=white];
\tikzstyle{proba} = [fill=white,midway];
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (2,2);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (C) at (2,-2);
\coordinate (AV) at (5,2.5);
\coordinate (AVB) at (5,1.5);
\coordinate (BV) at (5,0.5);
\coordinate (BVB) at (5,-0.5);
\coordinate (CV) at (5,-1.5);
\coordinate (CVB) at (5,-2.5);
\draw (O) -- (A) node[proba] {0,2};
\draw (O) -- (B) node[proba] {0,5};
\draw (O) -- (C) node[proba] {0,3};
\draw (A) -- (AV) node[proba] {0,25};
\draw (A) -- (AVB) node[proba] {0,75};
\draw (B) -- (BV) node[proba] {0,4};
\draw (B) -- (BVB) node[proba] {0,6};
\draw (C) -- (CV) node[proba] {0,67};
\draw (C) -- (CVB) node[proba] {0,33};
\foreach \n/\t in {O/,A/A,B/B,C/C,AV/V,AVB/$\b{V}$,BV/V,BVB/$\b{V}$, CV/V,CVB/$\b{V}$}
{
\node[fill=white] at (\n) {\t};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après la formule des probabilités totales, on a :

\begin{align*}
p(V) &=p(A)\times\pc{V}{A}+p(B)\times\pc{V}{B}+p(C)\times\pc{V}{C}\\
& \approx 0,2\times 0,25 + 0,5\times 0,4 + 0,3 \times 0,67\\
& \approx 0,45
\end{align*}

\underline{Ainsi, $p(V)\approx 0,45$.}

\item Nous devons calculer $\pc{A}{V}$.

\[
\pc{A}{V} = \frac{p(A \cap V)}{p(V)} = \frac{0,2\times 0,25}{0,45} \approx 0,11
\]

\underline{Ainsi, $\pc{A}{V} \approx 0,11$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de $D$ est :

\begin{center}
\begin{tabular}{||l||*5{c|}|}
\hline
Valeurs $k$ de $D$ (en \euro) & 8 & 11 & 12 & 15 & 18\\
\hline
\multirow{2}{*}{$p(D=k)$}
& $p(A\cap \b{V})$ & $p(A\cap V)$ & $p(B\cap\b{V})$ & $p(B\cap V)+p(C\cap\b{V})$ & $p(C\cap V)$\\
& \textbf{0,15} & \textbf{0,05} & \textbf{0,3} & \textbf{0,3} & \textbf{0,2}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item La dépense moyenne est donnée par l'espérance mathématique de $D$ :

\[\mathbb{E}(D)=0,15\times8 + 0,05\times11 + 0,3\times12 + 0,3\times 15 +0,2\times 18=13,45  \]
\underline{Ainsi, la dépense moyenne est de 13,45 \euro.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak\addtocounter{numexo}{-1}

% <------------ EX. 2 (Spé) ----------->
\exercice{5}{Enseignement de spécialité}{Graphe probabiliste}

\begin{enumerate}
\item $P_0$ correspond à la proportion d'adhérents qui ont choisi l'abonnement A initialement, en 2010.\\
Ainsi, \underline{$P_0 = 0,8$}.

\item Le graphe probabiliste est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[label/.style={draw,circle}]
\node[label] (A) at (0,0) {A};
\node[label] (B) at (2,0) {B};
\draw[->,>=stealth'] (A.north east) to[bend left=60] (B.north west);
\node at (1,1) {0,3};
\draw[->,>=stealth'] (B.south west) to[bend left=60] (A.south east);
\node at (1,-1) {0,1};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (A.west) to[loop left] (A.west);
\node[left] at (-1.5,0) {0,7};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (B.east) to[loop right] (B.east);
\node[right] at (3.5,0) {0,9};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition de ce graphe est :

\[ M=\begin{pmatrix}0,7 & 0,3\\ 0,1 & 0,9\end{pmatrix}\]

\item On a :

\[ P_1 = P_0M = \begin{pmatrix}0,8 & 0,2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,7 & 0,3\\ 0,1 & 0,9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,58 & 0,42\end{pmatrix} \]

\[ P_2 = P_1M = \begin{pmatrix}0,58 & 0,42\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,7 & 0,3\\ 0,1 & 0,9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,448 & 0,552\end{pmatrix} \]

\underline{Ainsi, la probabilité pour qu'un adhérent choisisse l'abonnement A en 2012 est égale à 0,448.}

\item On a :
\begin{align*}
a_{n+1} & =0,7a_n+0,1b_n\\
& = 0,7a_n+0,1(1-a_n)\\
& = 0,7a_n+0,1-0,1a_n\\
& = \underline{0,6a_n+0,1}
\end{align*}

\item $u_n=4a_n-1$. On a alors :

\begin{align*}
u_{n+1} & = 4a_{n+1} - 1\\
& = 4(0,6a_n+0,1)-1\\
& = 2,4a_n + 0,4-1\\
& = 2,4a_n -0,6\\
& = 0,6(4a_n-1)\\
& = 0,6u_n
\end{align*}

\underline{Ainsi, la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 0,6. et de premier terme $u_0=4a_0-1=2,2$}.

\item La suite étant géométrique, on a, pour tout entier naturel $n$ : \[ u_n=u_0\times q^n \]
\[ u_n=2,2\times(0,6)^n\]
Ainsi :
\begin{align*}
 & u_n = 4a_n-1\\
\Leftrightarrow & 2,2\times(0,6)^n = 4a_n-1\\
\Leftrightarrow & 2,2\times(0,6)^n+1=a_n\\
\Leftrightarrow \boxed{a_n = \frac{2,2\times(0,6)^n+1}{4}}
\end{align*}

\item On sait que $0<0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} (0,6^n) = 0$.\\
Ainsi, $\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,25}$.

\medskip

\emph{Cela signifie qu'à long terme, il y aura un quart d'adhérents qui auront choisi la formule A.}
\end{enumerate}

% <------------ EX. 3 ----------->
\exercice{6}{Commun à tous les candidats}{Lecture graphique, étude d'une fonction exp.}

\begin{center}
\scshape\large Partie A
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $f'(-1)$ représente le coefficient directeur de la tangente à $(\mathscr{C})$ au point d'abscisse $-1$, donc en $A$.\\
Ainsi, \underline{$f'(-1)=0$} car la tangente en A est horizontale.

\item \underline{$f'(2)<0$} car la tangente à $(\mathscr{C})$ au point d'abscisse $2$ est décroissante .

\item $f'(0)$ représente le coefficient directeur de $(\mathscr{T})$.\\
Les points de coordonnées $(0;2)$ et $(2;0)$ sont sur cette droite donc son coefficient directeur est : \[m=\frac{0-2}{2-0}=-1\]
Ainsi, \underline{$f'(0)=-1$}.
\end{enumerate}

\item $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\dx$ représente l'aire du domaine délimité par $(\mathscr{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=0$. Ainsi :
\[ \boxed{2\leqslant\int_{-1}^0 f(x)\dx \leqslant3}\]
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large Partie B
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $A(-1;f(-1))$. Et :

\begin{align*}
f(-1) & = (-1+2)\e^{-(-1)}\\
& = \e
\end{align*}

Ainsi, \underline{$A(-1;\e)$}.

\item Exprimons la dérivée de $f$ : $f(x)$ est de la forme $uv$, avec $u(x)=x+2$ et $v(x)=\e^{-x}$. Donc $f'(x)=(u'v+uv')(x)$, avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=-\e^{-x}$, d'où :

\begin{align*}
f'(x) & = 1\times\e^{-x}+(x+2)(-\e^{-x})\\
& = \e^{-x}(1-(x+2))\\
& = -(x+1)\e^{-x}
\end{align*}

Or, $\e^{-x}>0$ pour tout réel $x$ donc :

\begin{align*}
f'(x)>0 & \Leftrightarrow -(x+1)>0\\
& \Leftrightarrow x+1<0\\
& x<-1
\end{align*}

\underline{Par conséquent, $f$ est croissante pour $x<-1$ et croissante pour $x>1$.}

\item Dérivons la fonction $F$ :

\begin{align*}
F'(x) & = -1\times\e^{-x}+(-x-3)(-\e^{-x})\\
& = \e^{-x}(-1-(-x-3))\\
& = (x+2)\e^{-x}\\
& = f(x)
\end{align*}

\underline{Ainsi, $F$ est bien une primitive de $f$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item On a, d'après la question précédente :

\begin{align*}
\int_{-1}^0 f(x)\dx & = F(0)-F(-1)\\
& = -3 - (-2\e)\\
& = \underline{2\e-3}
\end{align*}

\item A l'aide de la calculatrice, on a : $2\e-3\approx2,44$, ce qui est bien cohérent avec la réponse donnée à la question 2 de la partie A.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

% <------------ EX. 4  ----------->
\exercice{3}{Commun à tous les candidats}{Lecture graphique, équation, primitive}

\begin{enumerate}
\item Réponse (a).\\
En effet, on voit que $f(x)>0$ pour $x\in[-3;-2]\cup[1;2]$ donc $F$ est nécessairement croissante sur ces deux intervalles.

\item A l'aide du tableur de la calculatrice, on trouve \underline{$\alpha\approx 0,90$}.

\item $f$ est la dérivée de $C$. Une primitive de $f$ est $C(x)=2\ln(x+1)+K$, $K\in\mathbb{R}$.\\
Les coûts fixes sont de \np{5000} \euro, donc $C(0)=5$ (car exprimé en milliers).\\
Ainsi, $K=5$ et donc \underline{$C(x)=2\ln(x+2)+5$}.

\end{enumerate}
\end{document}