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%
\newenvironment{important}{\parpic{\includegraphics[width=32pt]{important.png}}\noindent\ignorespaces}{\par}

\newcounter{numexo}

\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\newcommand{\sujet}{\phantomsection\addcontentsline{toc}{section}{SUJET}}
\newcommand{\correction}{\newpage\phantomsection\addcontentsline{toc}{section}{CORRECTION}\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\e}{\text{e}}
\newcommand{\dx}{\text{d}x}
\newcommand{\pc}[2]{\text{P}_{\text{#2}}\left(\text{#1}\right)}
\renewcommand{\b}[1]{\overline{\text{#1}}}
% Macro "exercice"
\newcommand*\exercice[3] % #1 = nb points ; #2 = Commun à tous les candidats ; #3 : thème
{%
\stepcounter{numexo}
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{subsection}{Exercice \thenumexo.\: #3 (#2)}
\helv Exercice \thenumexo{} (#1 points) \hfill \emph{#2}

\bigskip\normalfont
}
% Redéfinition de la table des matières
\makeatletter
\renewcommand*\l@section{\color{blue!50!black}\def\@linkcolor{blue!50!black}\@dottedtocline{1}{1em}{2.3em}}
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\def\contentsline#1#2#3#4{%
  \ifx\\#4\\%
    \csname l@#1\endcsname{#2}{#3}%
  \else
      \csname l@#1\endcsname{\hyper@linkstart{link}{#4}{#2}\hyper@linkend}{%
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      }%
  \fi
}
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\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{0}
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}Sommaire}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l>{\centering \arraybackslash}X}
\multirow{3}{*}{\includegraphics[scale=0.5]{logo.png}} & 
\Large\helv Baccalauréat Série ES\\ & \\ & \helv Liban - 29 mai 2012
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

{\color{purple}\hrulefill}
\tableofcontents

{\color{purple}\hrulefill}

\vspace{1cm}

\begin{center}
Document réalisé le \today.\\
Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}

\vspace{2cm}

\emph{Si une erreur s'est glissée, n'hésitez pas à me contacter par email :}

\medskip

\href{mailto:contact@mathweb.fr}{contact@mathweb.fr}
\end{center}
\newpage\sujet

% <------------ EX. 1 ----------->
\exercice{4}{Commun à tous les candidats}{Lecture graphique, équation, inéquation, intégrale}
 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer par a), b), c) l'unique bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.}

\medskip

On considère la représentation graphique ci-dessous d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5;5]$ telle que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f$ s'annule en $0,5$.
\item[$\bullet~~$] La courbe représentative de $f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-2$ et une tangente  horizontale au point d'abscisse $2$.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray!20] (-5.5,-3.5) grid[step=0.5] (5.5,1.5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-5.5,0) -- (5.5,0) node[below right] {$x$};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-3.2) -- (0,1.5) node[above right] {$y$};
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {-3,-2,-1,1}
{
	\draw (0.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\y};
}
\node[below left] at (0,0) {0};
\draw[thick,blue] plot[domain=-5:5,samples=70] (\x,{(-\x*\x+8*\x-4)/(\x*\x+4)});
\draw[thick,<->,red,>=stealth'] (-2.8,-3) -- (-1.2,-3);
\fill[red] (-2,-3) circle (0.5mm);
\draw[thick,<->,red,>=stealth'] (1.2,1) -- (2.8,1);
\fill[red] (2,1) circle (0.5mm);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

On notera $f'$ la fonction dérivée de  $f$.

\begin{enumerate}
\item Sur $[-5;5]$, l'équation $f'(x)=0$ admet exactement :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a)}\quad  0 solution & \textbf{b)}\quad  1 solution & \textbf{c)}\quad  2 solutions
\end{tabularx}
 
\item Sur $[-5;5]$, l'inéquation $f'(x)\geqslant 0$ admet  pour ensemble de solutions :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a)}\quad  $[-2;2]$ & \textbf{b)}\quad  $[0;5]$ & \textbf{c)}\quad  $[0,5;5]$
\end{tabularx}

\item La fonction $g$ telle que $g(x)=\ln\left(f(x)\right)$ est définie sur :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a)}\quad  $[-2;2]$ & \textbf{b)}\quad  $]0;1]$ & \textbf{c)}\quad  $]0,5;5]$
\end{tabularx}

\item On note $S=\displaystyle\int_1^{3}{f(x) \: \mathrm {d} x}$ alors :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
\textbf{a)}\quad  $0 < S < 1$ & \textbf{b)}\quad  $1 < S < 2$ & \textbf{c)}\quad  $2 < S < 3$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\pagebreak

% <------------ EX. 2 ----------->
\exercice{6}{Commun à tous les candidats}{Fonction exponentielle}

\begin{center}
\scshape\large 1\textsuperscript{ère} partie : \'Etude d'une fonction
\end{center}  

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = x\e^x-\e^x-8$.

\begin{enumerate}
\item En écrivant que $f(x) = \e^x(x-1)-8$, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Montrer que $f'(x) = x\e^x $ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $[0;+\infty[$.
\item Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[0;+\infty[$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur $[0;+\infty[$ une unique solution $a$.
\item Montrer que $2,040 < a < 2,041$.
\item En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de $f(x)$ en fonction des valeurs de $x$ sur $[0;+\infty[$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)= x\e^x - 2\e^x -8x$ est une primitive de $f$ sur $[0;+\infty[$.
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_3^5 f(x)\dx$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large 2 \textsuperscript{ème} partie : Application à une situation économique
\end{center}

Une entreprise fabrique $x$ milliers d'objets avec $x$ appartenant à $[0;5]$.

La fonction $f$ de la 1\textsuperscript{ère} partie modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaine d'euros.

Pour une quantité $x$ donnée, si $f(x)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si $f(x)$ est négatif, l'entreprise subit une perte.

En utilisant les résultats de la 1\textsuperscript{ère} partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :

\begin{enumerate}
\item \`A partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ?
\item L'entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d'objets.
	
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur $[3,5]$ (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).	
\end{enumerate}

\pagebreak

% <------------ EX. 3 ----------->
\exercice{5}{Commun à tous les candidats}{Probabilités}

Dans un salon de coiffure pour femmes, le coloriste propose aux clientes qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires :

\medskip

\begin{itemize}
\item une coloration naturelle à base de plantes qu'il appelle \og couleur-soin \fg{},
\item des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, qu'il appelle \og effet coup de soleil \fg{}.
\end{itemize}

\medskip

Ce coloriste a fait le bilan suivant sur ces prestations :

\medskip

\begin{itemize}
\item 40\% des clientes demandent une \og couleur-soin \fg{}.
\item parmi celles qui n'en veulent pas, 30\% des clientes demandent un \og effet coup de soleil \fg{}.
\item de plus, 24\% des clientes demandent les deux à la fois.
\end{itemize}

\medskip

On considère une de ces clientes.

On notera C l'évènement \og \emph{la  cliente souhaite une "couleur-soin"}\fg{}.

On notera M l'évènement \og \emph{la  cliente souhaite un "effet coup de soleil"}\fg{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de M sachant C notée $\pc{M}{C}$.
\item Construire un arbre pondéré qui illustre la situation.
\item Calculer la probabilité que la cliente ne souhaite ni une \og couleur-soin \fg{}, ni un \og effet coup de soleil \fg{}.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement M est égale à 0,42.
\item Les évènements C et M sont-ils indépendants ?
\item Une \og couleur-soin \fg{} coûte 35 euros et un \og effet coup de soleil \fg{} coûte 40 euros.
	
\begin{enumerate}
\item Recopier puis compléter sans justifier le tableau suivant donnant la loi de probabilité du gain en euros du coloriste par client :
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
$x_{i}$ & 75 &	40 &	35 & 0 \\ \hline
$p_{i}$ & 0,24 & &  & 0,42\\ \hline
\end{tabularx}
	
\item Donner l'espérance E de cette loi.
\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
Combien le coloriste doit-il facturer la réalisation d'un \og effet coup de soleil \fg{} pour que l'espérance de gain par client augmente de 15\% ?
\end{enumerate} 	
\end{enumerate}

\pagebreak

% <------------ EX. 4 (SPE) ----------->
\exercice{5}{Enseignement de spécialité}{Graphe probabiliste}

Dans cet exercice,  les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

\medskip

Cet exercice consiste à étudier la propagation d'une information d'une personne à l'autre, thème souvent abordé en sciences sociales. Cette information se transmet avec un risque d'erreur, c'est-à-dire avec une probabilité de propagation de l'information contraire.

Dans cet exercice, on considère l'information suivante, notée E : \og Paul a réussi son examen \fg{}. 

\begin{center}
\scshape\large Partie A : Propagation symétrique (de type \og neutre \fg)
\end{center}

Dans cette partie, on suppose que, pour une information reçue (E ou $\b{E}$), la probabilité de communiquer cette information à l'identique vaut 0,9 et la probabilité de relayer l'information contraire vaut 0,1.

On note $p_n$ la probabilité de recevoir l'information E au bout de $n$ étapes ($n$ étant le nombre de personnes ayant transmis l'information) et on note $q_n$ la probabilité de recevoir l'information $\b{E}$ au bout de $n$ étapes.

On suppose que Paul a réussi son examen, on pose $p_0=1$ et $q_0=0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier puis compléter le graphe probabiliste relatif à la propagation de l'information suivant :	
	
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[label/.style={draw,circle}]
\node[label] (A) at (0,0) {E};
\node[label] (I) at (2,0) {$\b{E}$};
\draw[->,>=stealth'] (A.north east) to[bend left=60] (I.north west);
%\node at (1,1) {0,05};
\draw[->,>=stealth'] (I.south west) to[bend left=60] (A.south east);
%\node at (1,-1) {0,01};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (A.west) to[loop left] (A.west);
%\node[left] at (-1.5,0) {0,95};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (I.east) to[loop right] (I.east);
%\node[right] at (3.5,0) {0,99};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Préciser la matrice de transition M telle que $\begin{pmatrix} p_{n+1}  & q_{n+1}  \\ \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix} \mathrm{M}$.
\item \`A l'aide de la calculatrice, trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,8$.
\item Déterminer par le calcul, l'état stable.
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large Partie B : Propagation asymétrique ( de type \og rumeur \fg{})
\end{center}

Dans cette partie, on suppose toujours que la probabilité de transmission correcte de l'information E est égale à 0,9. Toutefois, il circule la fausse rumeur  $\b{E}$. Dans ces conditions, on suppose que si l'information reçue est $\b{E}$, la probabilité de transmettre cette information $\b{E}$ est égale à 1.

On suppose de nouveau que $p_0=1$ et $q_0=0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
\item Préciser la matrice de transition N telle que $ \begin{pmatrix} p_{n+1}  & q_{n+1}  \\ \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix} \mathrm{N}$.
\item Montrer que $p_{n+1} = 0,9p_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(p_n\right)$ ?
\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
\item Trouver par le calcul, le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,5$.
\item Déterminer la limite de $\left(p_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ puis interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\pagebreak\addtocounter{numexo}{-1}

% <------------ EX. 4 (Obligatoire) ----------->
\exercice{5}{Enseignement obligatoire}{Lectures graphiques, Statistiques}

En pédiatrie (médecine des enfants), des études statistiques sur des enfants de moins de 36 mois ont permis de tracer les deux courbes fournies en annexe. Pour un âge $x$ donné en mois, la courbe inférieure $C_1$ donne le périmètre crânien minimal en centimètres, et la courbe supérieure $C_2$ donne le périmètre crânien maximal en centimètres.

Ces deux courbes sont souvent utilisées pour observer le développement des enfants.

\begin{center}
\scshape\large Partie A : Lectures graphiques
\end{center}

\`A l'aide du graphique fourni en annexe, répondre aux deux questions suivantes en laissant les traits de construction apparents :

\begin{enumerate}
\item Un enfant a un périmètre crânien égal à 41 cm.
	
Déterminer l'âge minimum et l'âge maximum que peut avoir cet enfant.
\item Un enfant a un âge compris entre 15 et 21 mois.
	
Déterminer le  périmètre crânien minimum et le  périmètre crânien maximum que peut avoir cet enfant.
\end{enumerate}
  
\begin{center}
\scshape\large Partie B : \'Etude d'un modèle
\end{center}

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

Le pédiatre ne disposant pas de données d'individus de plus de 36 mois sur son lieu d'étude, il considère les valeurs moyennes des deux courbes précédentes.

Il obtient les mesures suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\^Age $x$ (en mois) & 0 & 12 & 24 & 36 \\ \hline
Périmètre crânien $y$ (en cm) & 36 & 46 & 48 & 50 \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère $z=\ln \left( 54 - y \right)$.
	
Recopier puis compléter le tableau suivant :
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\^Age $x$ en mois & 0 & 12 & 24 & 36 \\ \hline
$z$ &  &  &  &  \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item 
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en fonction de $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.
\item En déduire que $y=54-\e^{ax+b}$ avec $a\approx -0,04$ et $b\approx 2,76$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\begin{center}
\scshape\large Partie C : Utilisation du modèle précédent
\end{center}

Dans cette partie, on utilisera le modèle établi dans la question \textbf{2. b)} de la partie \textbf{B}.

\begin{enumerate}
\item Un enfant a un périmètre crânien de 53 cm.
	
Déterminer par le calcul une approximation de l'âge en mois de cet enfant.
\item Les scientifiques estiment que la structure osseuse crânienne se rigidifie dès l'âge de 15 ans, le périmètre crânien cesse alors de croître.
	
Déterminer par le calcul une approximation du périmètre crânien correspondant. Arrondir au centimètre près.
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}
\scshape\Large Annexe : Exercice 4
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=.4,yscale=0.5]
\draw[gray!50] (0,30) grid (36,60);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,30) -- (36,30) node[below left,inner ysep=1em] {Âge $x$ (en mois)};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,30) -- (0,60) node[above right] {Périmètre crânien $y$ (en \emph{cm})};
\foreach \x in {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36}
{
	\node[below] at (\x,30){\x};
}
\foreach \y in {30,35,40,45,50,55,60}
{
	\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\draw[thick,red!50!black] plot[domain=0:36,samples=70] (\x,{4.77*ln(\x+.5)+6.65+30}) node[right] {$C_2$};
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=0:36,samples=70] (\x,{3.8*ln(\x+.5)+3.4+30}) node[right] {$C_1$};
\node[red!50!black,left] at (36,54.5) {Périmètre crânien maximum};
\node[blue!50!black,left] at (36,44.5) {Périmètre crânien minimum};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{flushright}
\emph{Courbes obtenues à partir de l'étude séquentielle française de la croissance CIE-INSERM \\(M. Sempé)}
\end{flushright}

\correction

% <------------ EX. 1 ----------->
\exercice{4}{Commun à tous les candidats}{Lecture graphique, équation, inéquation, intégrale}

\begin{enumerate}
\item Réponse c. \\
En effet, $f'(x)=0$ signifie que la courbe représentative de la fonction admet une tangente horizontale.

\item Réponse a.\\
En effet, $f$ est croissante uniquement sur $[-2;2]$, et cela correspond à l'ensemble solution de l'inéquation $f'(x)\geqslant 0$.

\item Réponse c.\\
En effet, $\ln f(x)$ est définie lorsque $f(x)>0$.

\item Réponse b.
En  effet, cette intégrale représente l'aire, en unités d'aire, entre l'axe des abscisses et la courbe sur l'intervalle $[1;3]$.
\end{enumerate}

% <------------ EX. 2 ----------->
\exercice{6}{Commun à tous les candidats}{Fonction exponentielle}

\begin{center}
\scshape\large 1\textsuperscript{ère} partie : \'Etude d'une fonction
\end{center}  

\begin{enumerate}
\item On a :

\[
\left.
\begin{array}{l}
\lim_{x\to +\infty} \e^x=+\infty\\
\lim_{x\to +\infty} (x-1)=+\infty
\end{array}
\right\rbrace\Rightarrow\lim_{x\to +\infty} \e^x(x-1)=+\infty \Rightarrow \boxed{\lim_{x\to +\infty} \left(\e^x(x-1)+8\right)=+\infty}
 \]
 
\item $f(x)$ est de la forme $uv-8$, avec $u(x)=\e^x$ et $v(x)=x-1$. Donc $f'(x)$ est de la forme $(u'v+uv')(x)$, avec $u'(x)=\e^x$ et $v'(x)=1$. D'où :

\begin{align*}
f'(x) & = \e^x(x-1)+1\\
& = (x-1+1)\e^x\\
& = x\e^x
\end{align*}

\item $f'(x)>0 \Leftrightarrow x>0$ car $\e^x>0$ pour tout réel $x$. D'où le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2]{$x$/0.8, $f'(x)$/.8,$f(x)$/1}{$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,}
\tkzTabVar{-/$-9$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item
\begin{enumerate}
\item $f(0)=-9<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty>0$.\\
De plus, $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$ donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[0;+\infty[$.

\item $f(2,040) \approx -0,002<0$ et $f(2,041)\approx 0,014>0$ donc $2,040<\alpha<2,041$.

\item On en déduit alors que $f(x)<0$ sur $[0;\alpha[$ et $f(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Exprimons la dérivée de $g(x)$ :

\begin{align*}
g'(x) & = \e^x+x\e^x-2\e^x-8\\
& = \e^x(1+x-2)-8\\
& = (x-1)\e^x-8\\
& = f(x)
\end{align*}

\underline{Donc $g$ est une primitive de $f$.}

\item On a :

\begin{align*}
\int_3^5 f(x)\dx & = g(5)-g(3)\\
& = 5\e^5-2\e^5-40-(3\e^3-2\e^3-24)\\
& = \underline{3\e^5-\e^3-16}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large 2\textsuperscript{ème} partie : Application à une situation économique
\end{center}  

\begin{enumerate}
\item L'entreprise commence à faire des bénéfices quand $f(x)\geqslant0$. D'après la partie A, pour $x\geqslant\alpha$.\\
\underline{Ainsi, à partir de \np{2041} objets, elle réalise des bénéfices.}

\item La valeur moyenne est $\mu=\dfrac{1}{5-3}\displaystyle\int_3^5 f(x)\dx$. On trouve alors $\dfrac{3\e^5-\e^3-16}{2}\approx 204,577$.\\
\underline{Ainsi, la valeur moyenne du bénéfice est \np{204577} \euro.}
\end{enumerate}

\bigskip

% <------------ EX. 3 ----------->
\exercice{5}{Commun à tous les candidats}{Probabilités}

\begin{enumerate}
\item On sait que  :

\begin{align*}
\pc{M}{C} & = \frac{\text{P}(M\cap C)}{\text{P}(C)}\\
& = \frac{0,24}{0,4}\\
& = \underline{0,6}
\end{align*}

\item L'arbre est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzstyle{proba} = [fill=white,midway];
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (C) at (2,1);
\coordinate (CB) at (2,-1);
\coordinate (CM) at (5,1.5);
\coordinate (CMB) at (5,.5);
\coordinate (CBM) at (5,-0.5);
\coordinate (CBMB) at (5,-1.5);
\draw (O) -- (C) node[proba] {0,4};
\draw (O) -- (CB) node[proba] {0,6};
\draw (C) -- (CM) node[proba] {0,6};
\draw (C) -- (CMB) node[proba] {0,4};
\draw (CB) -- (CBM) node[proba] {0,3};
\draw (CB) -- (CBMB) node[proba] {0,7};
\foreach \n/\t in {O/,C/C,CB/$\b{C}$,CM/M,CMB/$\b{M}$,CBM/M,CBMB/$\b{M}$}
{
\node[fill=white] at (\n) {\t};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On a :

\begin{align*}
\text{P}(\b{C}\cap\b{M}) & = \text{P}(\b{C})\times\text{P}_{\b{C}}(\b{M})\\
& = 0,6\times 0,7\\
& = 0,42
\end{align*}

\underline{Ainsi, la probabilité pour que la cliente ne veuille aucune des deux prestations est égale à 0,42.}

\item D'après la formule des probabilités totales, on a :

\begin{align*}
\text{P}(M) & = \text{P}(\text{M}\cap\text{C})+\text{P}(\text{M}\cap\b{C})\\
& = 0,6\times 0,4 + 0,6\times 0,3\\
& = 0,24+0,18\\
& = \underline{0,42}
\end{align*}

\item D'une part, on a P(C$\cap$M) = 0,24 ; \\
d'autre part, on a P(C)$\times$P(M) = 0,4$\times$0,42 = 0,168.

\medskip

\underline{Les deux probabilités sont différentes donc les événements C et M sont indépendants.}

\item 
\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
$x_{i}$ & 75 &	40 &	35 & 0 \\ \hline
$p_{i}$ & 0,24 &0,18 & 0,16 & 0,42\\ \hline
\end{tabularx}

\item L'espérance est :

\begin{align*}
\mathbb{E} & = 75\times 0,24 + 40\times 0,18 + 35\times 0,16\\
& = 30,8
\end{align*}

\item Si l'espérance du gain augmente de 15\%, alors $\mathbb{E}=1,15\times 30,8=35,42$.\\
Si on note $x$ le tarif d'un \og effet coup de soleil \fg, alors la nouvelle espérance est :

\begin{align*}
\mathbb{E}' & = 75\times 0,24 + 40\times 0,18 + x\times 0,16\\
& = 25,2+0,16x
\end{align*}

On doit donc résoudre l'équation :

\begin{align*}
 & \mathbb{E}' = 35,42\\
\Leftrightarrow &\ 75\times 0,24+0,18x+0,16\times 35 = 35,42\\
\Leftrightarrow &\ 0,18x = 35,42-23,6\\
\Leftrightarrow &\ x = \frac{11,82}{0,18}\\
\Leftrightarrow &\ x = 65,67
\end{align*}

\underline{Il faut donc que le forfait \og effet coup de soleil \fg{} coûte 65,67 \euro.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

% <------------ EX. 4 (SPE) ----------->
\exercice{5}{Enseignement de spécialité}{Graphe probabiliste}

\begin{center}
\scshape\large Partie A : Propagation symétrique (de type \og neutre \fg)
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On a, d'après les informations de l'énoncé :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[label/.style={draw,circle}]
\node[label] (A) at (0,0) {E};
\node[label] (I) at (2,0) {$\b{E}$};
\draw[->,>=stealth'] (A.north east) to[bend left=60] (I.north west);
\node at (1,1) {0,1};
\draw[->,>=stealth'] (I.south west) to[bend left=60] (A.south east);
\node at (1,-1) {0,1};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (A.west) to[loop left] (A.west);
\node[left] at (-1.5,0) {0,9};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (I.east) to[loop right] (I.east);
\node[right] at (3.5,0) {0,9};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition M est :
\[ \text{M}=\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\ 0,1 & 0,9\end{pmatrix} \]

\item A l'aide de la calculatrice, on trouve :
\[ \text{PM}=\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\end{pmatrix} \]
\[ \text{PM}^2=\begin{pmatrix}0,82 & 0,18\end{pmatrix}  \]
\[ \text{PM}^3=\begin{pmatrix}0,756 & 0,244\end{pmatrix}  \]

\underline{Ainsi, $p_n<0,8$ quand $n\geqslant 3$.}

\item L'état stable, que je vais noter $\text{S}=\begin{pmatrix}
x & y\end{pmatrix}$ est tel que $\text{S}=\text{SM}$. D'où :
\[ \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,1 & 0,9\end{pmatrix}\]
Soit :
\[
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,9x+0,1y & 0,1x+0,9y\end{pmatrix}
\]
Ainsi :
\[
x = y \qquad \textbf{et}\qquad x+y=1
\]
Soit $x=y=0,5$.

\medskip

\underline{Ainsi, l'état stable est $\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}$.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large Partie B : Propagation asymétrique ( de type \og rumeur \fg{})
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On a le graphe suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[label/.style={draw,circle}]
\node[label] (A) at (0,0) {E};
\node[label] (I) at (2,0) {$\b{E}$};
\draw[->,>=stealth'] (A.north east) to[bend left=60] (I.north west);
\node at (1,1) {0,1};
\draw[->,>=stealth'] (I.south west) to[bend left=60] (A.south east);
\node at (1,-1) {0};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (A.west) to[loop left] (A.west);
\node[left] at (-1.5,0) {0,9};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (I.east) to[loop right] (I.east);
\node[right] at (3.5,0) {1};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition M est :
\[ \text{N}=\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\ 0 & 1\end{pmatrix} \]

\item On sait que : 
\[ 
\begin{pmatrix}p_{n+1} & q_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p_{n} & q_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\ 0 & 1\end{pmatrix}
\]
Donc : \[ p_{n+1} = 0,9p_n+0\times q_n = 0,9p_n\]
Ainsi, la suite $(p_n)$ est géométrique de raison 0,9 et de premier terme $p_0=1$.

\item D'après le cours, $p_n=p_0q^n$, où $q$ est la raison de la suite géométrique.\\
\underline{Ainsi, $p_n=0,9^n$.}

\item On a :

\begin{align*}
p_n<0,5 & \Leftrightarrow 0,9^n<0,5\\
& \Leftrightarrow \ln 0,9^n<\ln 0,5\\
& \Leftrightarrow n\ln 0,9 < \ln 0,5\\
& \Leftarrow n > \frac{\ln 0,5}{\ln 0,9}\\
& \Leftrightarrow n > 6,58
\end{align*}

\underline{Ainsi, le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n<0,5$ est $n=7$.}

\item $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} (0,9^n)=0$. Ainsi, $\lim\limits_{n\to +\infty} (p_n)=0$.\\
\underline{Cela signifie qu'à long terme, l'information E ne circulera plus.}
\end{enumerate}

\bigskip

\addtocounter{numexo}{-1}

% <------------ EX. 4 (Obligatoire) ----------->
\exercice{5}{Enseignement obligatoire}{Lectures graphiques, Statistiques}

\begin{center}
\scshape\large Partie A : Lectures graphiques
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'âge minimum d'un enfant ayant un périmètre crânien de 41 cm est 2 mois.\\
L'âge maximum d'un enfant ayant un périmètre crânien de 41 cm est 7 mois.

\item Le périmètre crânien minimum d'un enfant ayant entre 15 et 21 mois est d'à peu près 43,8 cm.\\
Le périmètre crânien maximum d'un enfant ayant entre 15 et 21 mois est d'à peu près 51,2 cm.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=.4,yscale=0.25]
\draw[gray!50] (0,30) grid (36,60);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,30) -- (36,30) node[below left,inner ysep=1em] {Âge $x$ (en mois)};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,30) -- (0,60) node[above right] {Périmètre crânien $y$ (en \emph{cm})};
\foreach \x in {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36}
{
	\node[below] at (\x,30){\x};
}
\foreach \y in {30,35,40,45,50,55,60}
{
	\node[left] at (0,\y) {\y};
}
\draw[thick,red!50!black] plot[domain=0:36,samples=70] (\x,{4.77*ln(\x+.5)+6.65+30}) node[right] {$C_2$};
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=0:36,samples=70] (\x,{3.8*ln(\x+.5)+3.4+30}) node[right] {$C_1$};
\node[red!50!black,left] at (36,54.5) {Périmètre crânien maximum};
\node[blue!50!black,left] at (36,44.5) {Périmètre crânien minimum};
\draw[very thick,green!50!black,->,>=stealth',dashed] (0,41) node[left] {41} -- (2,41) -- (2,30) node[below] {2};
\draw[very thick,green!50!black,->,>=stealth',dashed] (15,30) -- (15,43.8) -- (0,43.8) node[left] {43,8};
\draw[very thick,green!50!black,->,>=stealth',dashed] (21,30) -- (21,51.2) -- (0,51.2) node[left] {51,2};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\scshape\large Partie B : \'Etude d'un modèle
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On a le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\^Age $x$ en mois & 0 & 12 & 24 & 36 \\ \hline
$z$ & $2,89$ & $2,08$ & $1,79$ & $1,39$ \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item
\begin{enumerate}
\item \valeurs{0/2.89,12/2.08,24/1.79,36/1.39}
\RegLin[round=2]
La calculatrice nous donne : $z=\a x+\b$.

\item On sait que $z=\ln (54-y)$ donc $54-y=\e^z$, soit $y=54-\e^{z}$.\\
Ainsi, \underline{$y=54-\e^{-0,04x+2,76}$}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large Partie C : Utilisation du modèle précédent
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Si un enfant à un périmètre crânien de 53 cm, alors $y=53$ dans l'équation précédente. D'où :

\begin{align*}
 & 53 = 54-\e^{-0,04\times x+2,76}\\
\Leftrightarrow & \e^{-0,04\times x+2,76} = 1\\
\Leftrightarrow & -0,04\times x+2,76 = 0\\
\Leftrightarrow & -0,04\times x = -2,76\\
\Leftrightarrow & x = \frac{2,76}{0,04}\\
\Leftrightarrow & x = 69
\end{align*}

\underline{Ainsi, l'âge de cet enfant est 69 mois (5 ans et 9 mois.}

\item \og 15 ans \fg{} correspond à $15\times 12 = 180$ mois.
\[ y=54-\e^{-0,04\times 180+2,76}\approx 53,99\]

\underline{Ainsi, le périmètre crânien est d'à peu près 54 cm.}
\end{enumerate}
\end{document}