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\newenvironment{important}{\parpic{\includegraphics[width=32pt]{important.png}}\noindent\ignorespaces}{\par}

\newcounter{numexo}

\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\newcommand{\sujet}{\phantomsection\addcontentsline{toc}{section}{SUJET}}
\newcommand{\correction}{\newpage\phantomsection\addcontentsline{toc}{section}{CORRECTION}\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\e}{\text{e}}
\newcommand{\dx}{\text{d}x}
\newcommand{\pc}[2]{\text{P}_{\text{#2}}\left(\text{#1}\right)}
\renewcommand{\b}[1]{\overline{\text{#1}}}
% Macro "exercice"
\newcommand*\exercice[3] % #1 = nb points ; #2 = Commun à tous les candidats ; #3 : thème
{%
\stepcounter{numexo}
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{subsection}{Exercice \thenumexo.\: #3 (#2)}
\helv Exercice \thenumexo{} (#1 points) \hfill \emph{#2}

\bigskip\normalfont
}
% Redéfinition de la table des matières
\makeatletter
\renewcommand*\l@section{\color{blue!50!black}\def\@linkcolor{blue!50!black}\@dottedtocline{1}{1em}{2.3em}}
\renewcommand*\l@subsection{\color{green!50!black}\def\@linkcolor{green!50!black}\@dottedtocline{2}{1.5em}{2.3em}}
\def\contentsline#1#2#3#4{%
  \ifx\\#4\\%
    \csname l@#1\endcsname{#2}{#3}%
  \else
      \csname l@#1\endcsname{\hyper@linkstart{link}{#4}{#2}\hyper@linkend}{%
        \hyper@linkstart{link}{#4}{#3}\hyper@linkend
      }%
  \fi
}
\makeatother
\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\setcounter{page}{0}
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}Sommaire}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l>{\centering \arraybackslash}X}
\multirow{3}{*}{\includegraphics[scale=0.5]{logo.png}} & 
\Large\helv Baccalauréat Série ES\\ & \\ & \helv Polynésie - 08 juin 2012
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

{\color{purple}\hrulefill}
\tableofcontents

{\color{purple}\hrulefill}

\vspace{1cm}

\begin{center}
Document réalisé le \today.\\
Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}

\vspace{2cm}

\emph{Si une erreur s'est glissée, n'hésitez pas à me contacter par email :}

\medskip

\href{mailto:contact@mathweb.fr}{contact@mathweb.fr}
\end{center}
\newpage\sujet

% <------------ EX. 1 ----------->
\exercice{4}{Commun à tous les candidats}{QCM, fonction logarithme}
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, \textbf{une seule des trois réponses proposées est exacte}. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point}.

\medskip

Soit  $f$  la fonction définie sur l'intervalle  $]0;+\infty [$  par :   $f(x) = 2x -x \ln x$. 

\medskip

\begin{enumerate}
	\item $f(3 \e )$ est égal à : 
	
\begin{enumerate}
	\item $6\e -3\e \ln 3$
	\item $3\e \left( 1 - \ln 3 \right)$
	\item $3 \e ^2 \ln\left(3 \e \right)$
\end{enumerate}
\item  L'ensemble des solutions de l'équation    $f( x ) = 0 $   est :
\begin{enumerate}
	\item $S = \left\{ 0; \e^2 \right\}$
	\item $S = \left\{ \e^2 \right\}$
	\item $S = \left\{ \ln 2\right\}$
\end{enumerate}
\item La limite de la fonction $f$  en    $+\infty$    est égale à :
\begin{enumerate}
	\item $+\infty$
	\item 2
	\item $-\infty$
\end{enumerate}
\item  Une primitive de la fonction  $f$ sur  $] 0;+\infty [$   est la fonction $F$ définie sur $] 0;+\infty [$   par :
\begin{enumerate}
	\item $F(x)=1 - \ln x$
	\item $F(x) = \dfrac{5}{4} x^2 - \dfrac{1}{2} x^2 \ln x$
	\item $F(x)=x^2 - x^2 \ln x$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak
% <------------ EX. 2 ----------->
\exercice{5}{Enseignement obligatoire}{Probabilités conditionnelles, espérance}

L'Etat du Wyoming, aux Etats-Unis, accueille chaque année près de 3,5 millions de touristes, notamment venus visiter les parcs nationaux de Yellowstone et de Grand Teton.

92\%  de  ces  touristes  visitent  le  parc  de  Yellowstone ;  parmi  ceux-là,  60\%  visitent  aussi  le parc du Grand Teton. 
 
Enfin, 6\% des touristes se rendant au Wyoming ne visitent aucun des deux parcs. 

\medskip

On  interroge  au  hasard  un  touriste  s'étant  rendu  au  Wyoming ;  on  suppose  que  tous  ces touristes ont la même probabilité d'être interrogés. 

On  note  $Y$    l'événement :  \og le  touriste  a  visité  le  parc  de  Yellowstone \fg{} ;  $\overline{Y}$   désigne l'événement contraire de $Y$. 

On  note  $G$  l'événement :  \og le  touriste  a  visité  le  parc  du  Grand  Teton \fg{}  ;  $\overline{G}$   désigne l'événement contraire de $G$. 

On note  $p(A)$   la probabilité d'un événement $A$ et, si $B$ est un événement de probabilité non nulle, $p_B(A)$   la probabilité d'un événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé. 

\emph{Si nécessaire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$  près}.

\begin{enumerate}
	\item Que vaut  $p\left(  \overline{Y} \cap \overline{G} \right)$ la probabilité de l'événement \og $\overline{Y}$ et $\overline{G}$\fg{} ?
	\item Construire  un  arbre  pondéré  décrivant  la  situation  étudiée,  en  y  indiquant  les probabilités données par l'énoncé qui correspondent à certaines de ses branches.
	\item Calculer $p_{\overline{Y}}\left(\overline{G} \right)$. Interpréter ce résultat par une phrase. 
	\item Montrer que $p(G)= 0,572$. 
	\item Un touriste a visité le parc du Grand Teton. Calculer la probabilité qu'il ait aussi visité le parc de Yellowstone (le résultat sera arrondi à $10^{-3}$  près).
	\item Le billet d'entrée pour le parc de Yellowstone est de 10 dollars, celui pour le parc du Grand Teton est de 7 dollars. 
	
\begin{enumerate}
	\item Recopier  et  compléter  le  tableau  suivant  donnant  la  loi  de  probabilité  de  la somme,  en  dollars,  dépensée  pour  la  visite  des  parcs  de  Yellowstone  et  du Grand Teton par un touriste se rendant au Wyoming.
	
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Somme en dollars & 0 &  &  & 17\\ \hline
Probabilité &  &  &  &  \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\item Calculer l'espérance de cette loi et interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak\addtocounter{numexo}{-1}
% <------------ EX. 2 ----------->
\exercice{5}{Enseignement de spécialité}{Graphe pondéré et probabiliste}

Jonathan  est  un  sportif  adepte  du  semi-marathon  (course  à  pied  de  21,1  km).  Depuis  le  1\textsuperscript{er} janvier  2012,  il  a  décidé  de  courir  un  semi-marathon  par  mois.  Afin  d'améliorer  sa préparation, il décide d'enchaîner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes.  

\begin{center}
\scshape\large Partie A
\end{center}

Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de  10  km  et  la  ville  G  est  celle  organisant  le  prochain  semi-marathon  auquel  Jonathan  est inscrit. 

Le poids de chaque arête représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville à une autre grâce aux transports en commun. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.65,every node/.style={scale=0.65}]
\tikzstyle{sommet} = [fill=black,circle];
\coordinate (A) at (4,8);
\coordinate (B) at (0,2.5);
\coordinate (C) at (3.5,0);
\coordinate (D) at (6,1.5); 
\coordinate (E) at (5.2,6);
\coordinate (F) at (9,7.5);
\coordinate (H) at (11,5.5);
\coordinate (G) at (11,3);

\fill (A) circle (2pt) node[above] {A};
\fill (B) circle (2pt) node[left] {B};
\fill (C) circle (2pt) node[below] {C};
\fill (D) circle (2pt) node[below] {D};
\fill (E) circle (2pt) node[above] {E};
\fill (F) circle (2pt) node[above] {F};
\fill (G) circle (2pt) node[right] {G};
\fill (H) circle (2pt) node[right] {H};

\draw (A) -- (B) node[midway,left] {60};
\draw (A) -- (C) node[midway,right] {70};
\draw (A) -- (E) node[midway,right] {20};
\draw (A) -- (F) node[midway,above] {45};
\draw (B) -- (E) node[midway,below] {20};
\draw (B) -- (C) node[midway,below] {10};
\draw (C) -- (D) node[midway,below] {15};
\draw (D) -- (E) node[midway,right] {60};
\draw (D) -- (G) node[midway,below] {20};
\draw (E) -- (F) node[midway,above] {40};
\draw (E) -- (H) node[midway,below] {50};
\draw (F) -- (H) node[midway,right] {35};
\draw (G) -- (H) node[midway,right] {20};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours  de  son  prochain  semi-marathon.  Déterminer  à  l'aide  d'un  algorithme  le  chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G et donner la durée de ce parcours en minutes. 

\begin{center}
\scshape\large Partie B
\end{center}

Grâce à son entraînement et à son expérience, Jonathan sait que :
\begin{itemize}
	\item S'il  a  terminé  la  course  lors  de  son  précédent  semi-marathon,  il  terminera  le  prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62 ; 
\item  S'il  a  abandonné  lors  de  son  précédent  semi-marathon,  il  terminera  le  prochain  semi-marathon avec une probabilité de 0,8.
\end{itemize}
    
Jonathan a terminé son semi-marathon de janvier 2012.  
Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix} r_{n}  & t_{n}  \\ \end{pmatrix}$ traduisant l'état probabiliste du 
n-ième mois écoulé depuis janvier 2012, où $r_n$ désigne la probabilité que Jonathan abandonne au semi-marathon du n\ieme{} mois et $t_n$ la probabilité que Jonathan termine le semi-marathon du n\ieme{} mois.

L'état probabiliste initial, correspondant à janvier 2012, est donc donné par : $P_0= \begin{pmatrix} 0  & 1  \\ \end{pmatrix}$. 
\begin{enumerate}
	\item Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets sont notés R et T (R lorsque Jonathan abandonne, T lorsqu'il termine le semi-marathon).
	\item En  déduire  la  matrice  de  transition  en  considérant  les  sommets  dans  l'ordre alphabétique.
	\item Calculer  l'état  probabiliste $P_2$ .  En  déduire  la  probabilité  que  Jonathan  ait  abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012.
	\item Soit $P$ la matrice ligne  $\begin{pmatrix} x  & y  \\ \end{pmatrix}$   donnant l'état stable. 	
\begin{enumerate}
	\item Calculer les valeurs de $x$ et de $y$ arrondies à $10^{-3}$  près.
	\item Interpréter les résultats obtenus.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\pagebreak
% <------------ EX. 3 ----------->
\exercice{5}{Commun à tous les candidats}{Statistiques}

\emph{\textbf{Les parties A et B sont  indépendantes.}}

\begin{center}
\scshape\large Partie A
\end{center}

Le tableau ci-dessous donne les quantités de super sans plomb livrées et vendues en France de 2001 à 2009 (les quantités sont exprimées en millions de tonnes). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année  &         2001 & 2002 & 2003 & 2004  & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
Quantité (millions de tonnes) $y_i$ & 11,6 & 11,4 & 11,2 & 10,9 & 10,7 & 10,2 & 9,8 & 9,1 & 8,7 \\ \hline 
\multicolumn{10}{r}{\emph{Source : INSEE}} 
\end{tabularx} 

\begin{enumerate}
	\item Représenter dans le plan muni d'un repère orthogonal le nuage de points $M_i \left( x_i ; y_i \right)$, avec $1 \leqslant i \leqslant 9$, associé à cette série statistique. On prendra pour unités graphiques :
	
\begin{itemize}
	\item sur l'axe des abscisses : 1 centimètre pour une année, 
	\item sur  l'axe  des  ordonnées :  2  centimètres  pour  un  million  de  tonnes,  en commençant la graduation à 7 millions de tonnes. 
\end{itemize}
\item Déterminer  les  coordonnées  du  point  moyen  G  du  nuage.  Placer  ce  point  sur  le graphique.
\item 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en  $x$,  obtenue  par  la  méthode  des  moindres  carrés  (aucune  justification  n'est demandée). Les coefficients de l'équation de la droite seront arrondis à $10^{-2}$  près.
	\item Tracer la droite d'ajustement obtenue.  
\end{enumerate}
\item En  supposant  que  cet  ajustement  reste  valable  jusqu'en  2012,  déterminer  une estimation des quantités de Super Sans Plomb livrées et vendues pour l'année 2012.
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large Partie B
\end{center}

Le tableau ci-dessous donne les quantités de gazole livrées et vendues en France de 2001 à 2010 (les quantités sont exprimées en millions de tonnes).

\medskip

{\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.6cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année  &         2001 & 2002 & 2003 & 2004  & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
Quantité (millions de tonnes) $y_i$ & 28,6 & 29,4 & 30,1 & 30,8 & 31,1 & 31,9 & 32,8 & 33 & 33,1 & 33,4  \\ \hline 
\multicolumn{11}{r}{\emph{Source : INSEE}} 
\end{tabularx}     
}
\medskip
 
Le nuage de points  $M_i \left( x_i ; y_i \right)$   avec  $i$  variant entre 1 et 10 est représenté ci-dessous. 

\begin{center}
\valeurs{1/28.6,2/29.4,3/30.1,4/30.8,5/31.1,6/31.9,7/32.8,8/33,9/33.1,10/33.4}
\begin{tikzpicture}
\repere[xmin=0,xmax=11,ymin=27,ymax=34,subgrid,subxstep=0.2,subystep=0.2]
\nuage[dim=2pt,color=red]
\end{tikzpicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item L'allure  de  ce  nuage  de  points  permet  d'envisager  un  ajustement  logarithmique.  On pose, pour tout $i$ compris entre 1 et 10 : $z_i = \e^{\frac{y_i}{10}}$
	
	Calculer les valeurs de  $z_3$ et  $z_{10}$    (on arrondira à $10^{-2}$  près). 
	
\medskip
{\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
$z_i = \e^{\frac{y_i}{10}}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 17,46 & 18,92 & & 21,76 & 22,42 & 24,29 & 26,58 & 27,11 & 27,39 & \\ \hline 
\end{tabularx}
}
\medskip

\item On admet qu'une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est : $z = 1,25x + 16,56$. 

En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k \ln (cx + d)$  où $k$, $c$, $d$ désignent trois réels à déterminer.
\item En utilisant ce modèle, déterminer à partir de quelle année la consommation de gazole devrait dépasser 35 millions de tonnes.    
\end{enumerate}
 
\pagebreak
% <------------ EX. 4 ----------->
\exercice{6}{Commun à tous les candidats}{Etude de fonction (exponentielle)}

\begin{center}
\scshape\large Partie A
\end{center}
 
Soit $d$  la fonction définie sur l'intervalle  $[0;4]$ par : $d(x) = \dfrac{3x+0,3}{\e^x}-1,3$. 


On note $d'$ la fonction dérivée de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0;4]$.

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;4]$, $d'(x)=\dfrac{-3x+2,7}{\e^x}$
	\item \'Etudier, pour $x$ variant dans l'intervalle $[0;4]$, le signe de $d'(x)$, puis dresser le tableau de  variations  complet  de  la  fonction  $d$  sur    l'intervalle $[0;4]$.  (on  donnera  dans  ce tableau des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près). 
	\item En déduire le signe de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0;4]$. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\scshape\large Partie B
\end{center}
 
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0;4]$ par $f(x) = \dfrac{3x+3,3}{\e^x}$ et $g(x) = -1,3x + 5,97$.
 
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont décroissantes sur $[0;4]$ ; la fonction  $f$ est représentée ci-dessous par la courbe $C_f$ et la fonction $g$ par le segment de droite $D$. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray] (-1,-1) grid (5,7);
\draw[thick] (-1,0) -- (5,0);
\draw[thick] (0,-1) -- (0,7);
\draw[->,>=stealth',very thick] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {\small $\vv{i}$};
\draw[->,>=stealth',very thick] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {\small $\vv{j}$};
\draw[thick,blue] plot[domain=0:4] (\x,{(3*\x+3.3)/(exp(\x))});
\draw[thick,red] (0,5.97)--(4,.77);
\node[red] at (1.5,4.5) {$D$};
\node[blue] at (1.5,2.4) {$C_f$};
\foreach \x in {2,3,4}
	\node[below] at (\x,0) {\small\x};
\foreach \y in {2,3,4,5,6}
	\node[left] at (0,\y) {\small\y};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Soit $h$  la fonction définie sur $[0;4]$ par :  $h(x) = g(x) - f(x)$.
	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout $x \in [0;4]$, $h'(x)= d(x)$ ( $d$ désigne la fonction étudiée dans la partie A).
	\item En déduire le tableau de variations de la fonction $h$ sur $[0;4]$.
	\item Montrer que l'équation $h(x)=1$  admet une unique solution $\alpha$  dans l'intervalle $[0;4]$. En donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate}
 \item Calculer l'intégrale :$\displaystyle\int_1^{4}{g(x) \: \mathrm {d} x}$
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}
\scshape\large Partie C
\end{center}
 
\emph{Dans  cette  partie,  toute  trace  de  recherche,  même  incomplète,  ou  d'initiative,  même  non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\emph{Les résultats de la partie} B \emph{pourront être utilisés pour répondre aux questions suivantes.} 

\medskip

Une entreprise prévoit de fabriquer et de commercialiser mensuellement entre 1 et 4 tonnes d'un produit cosmétique (toute la production est vendue).
 
Pour  $x$  tonnes  de  produit  fabriquées  mensuellement  (avec  $x \in [0;4]$ ),  on  admet  que  $f(x)$ désigne le coût de production par tonne (en centaines de milliers d'euros), et $g(x)$ le prix de vente par tonne (en centaines de milliers d'euros). 

\begin{enumerate}
	\item L'entreprise décide de produire 1 tonne par mois. Déterminer, en arrondissant à l'euro près,  le  coût  de  production  de  la  tonne  produite,  son  prix  de  vente,  et  le  bénéfice mensuel ainsi réalisé.
	\item Déterminer, en euros, le prix de vente moyen par tonne pour une production comprise entre 1 et 4 tonnes.
	\item L'entreprise souhaite réaliser un bénéfice par tonne d'au moins 100 000 euros. Quelles quantités doit-elle produire pour satisfaire cette contrainte ?
\end{enumerate}

\correction %<------------------------ CORRECTION -------------------------->
 
% <------------ EX. 1 ----------->
\exercice{4}{Commun à tous les candidats}{QCM, fonction logarithme}

\begin{enumerate}
\item On a :

\begin{align*}
f(3\e) & = 2\times 3\e - 3\e\ln(3\e)\\
& = 6\e - 3\e(\ln 3+\ln\e)\\
& = 6\e - 3\e(\ln 3+1)\\
& = 6\e - 3\e\ln 3 - 3\e\\
& = 3\e - 3\e\ln 3\\
& = 3\e(1-\ln 3)
\end{align*}

Ainsi, la réponse correcte est la \textbf{réponse (b)}.

\bigskip

\item On a :

\begin{align*}
f(x)=0 & \Leftrightarrow 2x-x\ln x = 0\\
& \Leftrightarrow x(2-\ln x)=0\\
& \Leftrightarrow x=0\quad\text{ou}\quad 2-\ln x=0\\
& \Leftrightarrow x=0\quad\text{ou}\quad \ln x=2\\
& \Leftrightarrow x=0\quad\text{ou}\quad x=\e^{2}=0\\
\end{align*}

Ainsi, la réponse correcte est la \textbf{réponse (a)}.

\bigskip

\item On a : $f(x)=x(2-\ln x)$. Or :

$
\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to +\infty} x = +\infty \\
\lim\limits_{x\to +\infty} \ln x = +\infty \Rightarrow \lim\limits_{x\to +\infty} (2-\ln x) = -\infty \\\\
\end{array}
\right\rbrace \text{(par produit)} \lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = -\infty \\
$

Ainsi, la réponse correcte est la \textbf{réponse (c)}.

\bigskip

\item La réponse correcte est la \textbf{réponse (b)}.\\
\emph{Il suffit de dériver les fonctions proposées.}
\end{enumerate}

\pagebreak
% <------------ EX. 2 ----------->
\exercice{5}{Enseignement obligatoire}{Probabilités conditionnelles, espérance}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item L'événement \og $\overline{Y}\cap\overline{G}$ \fg{} correspond à l'événement : \og Le touriste ne visite aucun des deux parcs \fg.\\
Ainsi, d'après l'énoncé, \underline{$p\left(\overline{Y}\cap\overline{G}\right)=0,06$}.

\item L'arbre est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzstyle{proba} = [fill=white,midway];
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (Y) at (2,1);
\coordinate (YB) at (2,-1);
\coordinate (YG) at (5,1.5);
\coordinate (YGB) at (5,.5);
\coordinate (YBG) at (5,-0.5);
\coordinate (YBGB) at (5,-1.5);
\draw (O) -- (Y) node[proba] {0,92};
\draw (O) -- (YB) node[proba] {0,08};
\draw (Y) -- (YG) node[proba] {0,6};
\draw (Y) -- (YGB) node[proba] {0,4};
\draw (YB) -- (YBG);
\draw (YB) -- (YBGB);
\foreach \n/\t in {O/,Y/Y,YB/$\overline{\text{Y}}$,YG/G,YGB/$\overline{\text{G}}$,YBG/G,YBGB/$\overline{\text{G}}$}
{
\node[fill=white] at (\n) {\t};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On a :

\begin{align*}
p_{\overline{\text{Y}}}\left(\overline{\text{G}}\right) & = \frac{p\left(\overline{\text{Y}}\cap\overline{\text{G}}\right)}{p\left(\overline{\text{Y}}\right)}\\
& = \frac{0,06}{0,08}\\
& = 0,75
\end{align*}

Cela signifie que la probabilité que le touriste ne visite pas le parc de Grand Teton sachant qu'il ne visite pas le parc de Yellowstone est de 0,75.

\item De la question précédente, on déduit que $p_{\overline{\text{Y}}}\left(\text{G}\right)=0,25$, d'où l'arbre complété suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzstyle{proba} = [fill=white,midway];
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (Y) at (2,1);
\coordinate (YB) at (2,-1);
\coordinate (YG) at (5,1.5);
\coordinate (YGB) at (5,.5);
\coordinate (YBG) at (5,-0.5);
\coordinate (YBGB) at (5,-1.5);
\draw (O) -- (Y) node[proba] {0,92};
\draw (O) -- (YB) node[proba] {0,08};
\draw (Y) -- (YG) node[proba] {0,6};
\draw (Y) -- (YGB) node[proba] {0,4};
\draw (YB) -- (YBG) node[proba] {0,25};
\draw (YB) -- (YBGB) node[proba] {0,75};
\foreach \n/\t in {O/,Y/Y,YB/$\overline{\text{Y}}$,YG/G,YGB/$\overline{\text{G}}$,YBG/G,YBGB/$\overline{\text{G}}$}
{
\node[fill=white] at (\n) {\t};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ainsi, d'après la formule des probabilités totales :

\begin{align*}
p(\text{G}) & = 0,92\times 0,6 + 0,08\times 0,25\\
& = 0,552 + 0,02\\
& = 0,572
\end{align*}

\item On a :

\begin{align*}
p_{\text{G}}(\text{Y}) & = \frac{p(\text{G}\cap\text{Y})}{p(\text{G})}\\
& = \frac{0,92\times 0,6}{0,572}\\
& \approx 0,965
\end{align*}

\item
\begin{enumerate}
\item On a :

\begin{center}\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering\tiny \arraybackslash}X|}}\hline
 Somme en dollars & 0 & 7 & 10 & 17\\ \hline
 Probabilité & 0,06 & 0,02 & 0,368  & 0,552 \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\item L'espérance mathématique de cette loi est :

\begin{align*}
\mathbb{E} & = 7\times 0,02 + 10\times 0,368 + 17\times 0,552\\
& = 13,204
\end{align*}

Cela signifie qu'un touriste dépensera en moyenne 13,20 \euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\pagebreak\addtocounter{numexo}{-1}
% <------------ EX. 2 ----------->
\exercice{5}{Enseignement de spécialité}{Graphe pondéré et probabiliste}

\begin{center}
\scshape\large Partie A
\end{center}

Ici, nous allons utiliser l'algorithme de Dijkstra.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*8{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
A & B & C & D & E & F & G & H\\
\hline
0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$\\
\hline
$\bullet$ & $60_A$ & $70_A$ & $\infty$ & $\boxed{20_A}$ & $45_A$ & $\infty$ & $\infty$\\
\hline
$\bullet$ & $\boxed{40_E}$ & $70_A$ & $80_E$ & $\bullet$ & $45_A$ & $\infty$ & $70_E$\\
\hline
$\bullet$ & $\bullet$ & $\boxed{30_B}$ & $80_E$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $\infty$ & $70_E$\\
\hline
$\bullet$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $\boxed{65_C}$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $\infty$ & $70_E$\\
\hline
$\bullet$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $85_D$ & $\boxed{70_E}$\\
\hline
$\bullet$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $\bullet$ & $\boxed{85_D}$ & $\bullet$\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

Ainsi, le chemin le plus rapide est :
\[ A \to E \to B \to C \to D \to G\]

\underline{La durée est alors égale à 85 minutes.}

\begin{center}
\scshape\large Partie B
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le graphe est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[label/.style={draw,circle}]
\node[label] (R) at (0,0) {R};
\node[label] (T) at (2,0) {T};
\draw[->,>=stealth'] (R.north east) to[bend left=60] (T.north west);
\node at (1,1) {0,8};
\draw[->,>=stealth'] (T.south west) to[bend left=60] (R.south east);
\node at (1,-1) {0,38};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (R.west) to[loop left] (R.west);
\node[left] at (-1.5,0) {0,2};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (T.east) to[loop right] (T.east);
\node[right] at (3.5,0) {0,62};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition est :

\[ 
M = \begin{pmatrix}
0,2 & 0,8\\
0,38 & 0,62
\end{pmatrix}
\]

\item $P_1=P_0M = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,2 & 0,8\\0,38 & 0,62\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,38 & 0,62\end{pmatrix}$\\
$P_2=P_1M = \begin{pmatrix}0,38 & 0,62\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,2 & 0,8\\0,38 & 0,62\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3116 & 0,6884\end{pmatrix}$

\medskip

\underline{La probabilité pour qu'il abandonne en 2012 est donc 0,3116.}

\item 
\begin{enumerate}
\item On doit avoir $P = PM$ donc $\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,2 & 0,8\\0,38 & 0,62\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,2x + 0,38y & 0,8x+0,62y\end{pmatrix}$.\\
Ainsi, $x = 0,2x+0,38y$ sachant que $x+y=1$, soit $y=1-x$.\\
D'où : $x = 0,2x+0,38(1-x)$.\\
Donc, $x-0,2x+0,38x = 0,38$, soit $1,18x = 0,38$, soit $x\approx 0,322$ et donc $y=1-0,322$, soit $y=0,678$.

\item Ces derniers résultats signifient qu'à longs termes, la probabilité pour qu'il abandonne un semi-marathon est de 0,322 et qu'il termine, de 0,678.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak
% <------------ EX. 3 ----------->
\exercice{5}{Commun à tous les candidats}{Statistiques}

\begin{center}
\scshape\large Partie A
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points est le suivant :

\valeurs{1/11.6,2/11.4,3/11.2,4/10.9,5/10.7,6/10.2,7/9.8,8/9.1,9/8.7}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\repere[ymin=7,ymax=12]
\nuage[dim=2pt,color=red]
\drawG[color=blue,pos=below]
\drawRegLine[color=purple,lw=thick,name=$d$,pos={below left}]
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Le point moyen est G$\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ où :

\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
\overline{x} & = \frac{1+2+\cdots+9}{9}\\
& = \frac{45}{9}\\
& = 5
\end{align*}

\begin{align*}
\overline{y} & = \frac{11,6+11,4+\cdots+8,7}{9}\\
& = \frac{93,6}{9}\\
& = 10,4
\end{align*}
\end{multicols}

Le point G a été placé sur le graphique.

\item
\begin{enumerate}
\item \valeurs{1/11.6,2/11.4,3/11.2,4/10.9,5/10.7,6/10.2,7/9.8,8/9.1,9/8.7}
\RegLin[round=2]
A l'aide de la calculatrice, nous trouvons que l'équation est :
\[y=\a x+\b\]

\item Tracé de la droite ($d$) d'ajustement: voir graphique.
\end{enumerate}

\item On prend $x=12$ dans l'équation précédente et on a :

\begin{align*}
y & = -0,37\times 12 + 12,23\\
& = 7,79
\end{align*}

\textbf{Ainsi, les quantités de Super Sans Plomb livrées et vendues en 2012 seraient de 7,79 millions de tonnes.}
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}
\scshape\large Partie B
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On a :

\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
z_3 & = \e^{\frac{30,1}{10}}\\
& = \e^{3,01}\\
& = 20,29
\end{align*}

\begin{align*}
z_{10} & = \e^{\frac{33,4}{10}}\\
& = \e^{3,34}\\
& = 28,22
\end{align*}
\end{multicols}

\item On a :

\begin{align*}
z = \e^{\frac{y}{10}} & \Leftrightarrow 1,25x+16,56=\e^{\frac{y}{10}}\\
& \Leftrightarrow \ln(1,25x+16,56)=\frac{y}{10}\\
& \Leftrightarrow \underline{10\ln(1,25x+16,56)=y}
\end{align*}

\item On cherche $x$ tel que $10\ln(1,25x+16,56)>35$.

\begin{align*}
10\ln(1,25x+16,56)>35 & \Leftrightarrow \ln(1,25x+16,56)>3,5\\
& \Leftrightarrow 1,25x+16,56>\e^{3,5}\\
& \Leftrightarrow 1,25x>\e^{3,5}-16,56\\
& \Leftrightarrow x > \frac{\e^{3,5}-16,56}{1,25}\\
& \Leftrightarrow x > 13,24
\end{align*}

\textbf{Ainsi, c'est à partir de 2014 que la consommation de gazole devrait dépasser 35 millions de tonnes.}
\end{enumerate}

\bigskip

\pagebreak
% <------------ EX. 4 ----------->
\exercice{6}{Commun à tous les candidats}{Etude de fonction (exponentielle)}

\begin{center}
\scshape\large Partie A
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $d$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}-1,3$, où $u(x)=3x+0,3$ et $v(x)=\e^x$.\\
Ainsi, $d'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}(x)$, avec $u'(x)=3$ et $v'(x)=\e^x$. D'où :

\begin{align*}
d'(x) & = \frac{3\e^x-(3x+0,3)\e^x}{\e^{2x}}\\
& = \frac{\e^x(3-3x-0,3)}{\e^{2x}}\\
& = \boxed{\frac{2,7-3x}{\e^x}}
\end{align*}

\item Pour tout réel $x$, $\e^x>0$ donc $d'(x)$ est du signe de $-3x+2,7$.\\
On a :

\begin{align*}
-3x+2,7>0 & \Leftrightarrow -3x > -2,7\\
& \Leftrightarrow x < \frac{-2,7}{-3}\\
& \Leftrightarrow x < 0,9
\end{align*}

De plus, 

\begin{multicols}{3}
$d(0)=-1$

$d(0,9)=\dfrac{3}{\e^{0,9}}-1,3\approx -0,08$

$d(4)=\dfrac{12,3}{\e^4}-1,3\approx -1,07$
\end{multicols}

On a alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=1,espcl=3]{$x$/0.8, $d'(x)$/.8, $d$/1}{$0$,${0,9}$,$4$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/$-1$,+/${-0,08}$,-/${-1,07}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On constate que le maximum est atteint pour $x=0,9$ et est négatif.\\
\underline{Par conséquent, $d(x)<0$ sur $[0;4]$}.
\end{enumerate}

\pagebreak

\begin{center}
\scshape\large Partie B
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a, en posant $u(x)=3x+3,3$ et $v(x)=\e^x$ :

\begin{align*}
h'(x) & = g'(x)-f'(x)\\
& = -1,3-\frac{u'v-uv'}{v^2}\\
& = -1,3-\frac{3\e^x-(3x+3,3)\e^x}{\e^{2x}}\\
& = -1,3-\frac{3-3x-3,3}{\e^x}\\
& = \frac{-3x+0,3}{\e^x}-1,3\\
& = d(x)
\end{align*}

\item D'après la question 3 de la partie A, on a : $h'(x)<0$ sur $[0;4]$. D'où le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=1,espcl=3]{$x$/0.8, $h$/1}{$0$,$4$}
\tkzTabVar{+/$h(0)$,-/$h(4)$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La fonction $h$ est strictement décroissante et continue sur $[0;4]$.\\
De plus,

\begin{multicols}{2}
$h(0)=5,97-3,3=2,67>1$

$h(4)=-1,3\times 4+5,97 - \dfrac{15,3}{\e^4}\approx 0,49 <1$
\end{multicols}

Ainsi, $h$ prend ses valeurs dans $[0,49 ; 2,67]$ et \og 1 \fg appartient à cet intervalle.\\
\textbf{Ainsi, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $\pmb{h(x)=1}$ admet une unique solution sur $\pmb{[0;4]}$.}

\medskip

Si on note $\alpha$ cette solution, la calculatrice nous donne : \underline{$\alpha\approx 3,5$}.
\end{enumerate}

\item Une primitive de la fonction $g$ est la fonction $G$ telle que $G(x)=-\dfrac{1,3}{2}x^2+5,97x+k$, où $k\in\R$. Ainsi :

\begin{align*}
\int_1^4 g(x)\dx & = G(4)-G(1)\\
& = 1,3\times 8+5,97\times 4 - \left(\frac{1,3}{2}+5,97\right)\\
& = \underline{9,75}
\end{align*}
\end{enumerate}

\pagebreak
\begin{center}
\scshape\large Partie C
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le coût de production se calcule en faisant :
\[ f(1) = \frac{6,3}{\e} \approx 2,3176404793800866260517997520172\]
Ainsi, le coût de production, arrondi à l'euro près, est $\np{100000}f(1)=\np{231764} \euro$.

\medskip

Le prix de vente se calcule en faisant :
\[ g(1)=-1,3+5,97=4,67\]
Ainsi, le prix de vente, arrondi à l'euro près, est $\np{100000}g(1)=\np{467000} \euro$.

\medskip

Le bénéfice mensuel est donnée, en centaine de milliers d'euros, par la fonction $h$ (prix de vente moins coût de production).
Ainsi, il est égal à $\np{467000}-\np{231764}=\np{235236} \euro$.

\item Le prix de vente moyen par tonne pour une production comprise entre 1 et 4 tonnes, exprimé en centaines de milliers d'euros, est donné par la valeur moyenne de la fonction $g$ :

\begin{align*}
\mu & = \frac{1}{4-1}\int_1^4 g(x)\dx\\
& = \frac{9,75}{3}\\
& = 3,25
\end{align*}

\textbf{Ainsi, le prix de vente moyen est \np{325000} \euro.}

\item Si l'entreprise réalise un bénéfice par tonne supérieur ou égal à \np{100000}\euro, alors $h(x)\geqslant 1$.\\
\textbf{D'après la question 1 (c) de la partie B, le bénéfice est supérieur à \np{100000} \euro{} pour 3,5 tonnes produites.}
\end{enumerate}
\end{document}