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%
\newenvironment{important}{\parpic{\includegraphics[width=32pt]{important.png}}\noindent\ignorespaces}{\par}
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\newcounter{numexo}

\newcommand{\helv}{\fontfamily{phv}\fontseries{b}\selectfont}
\newcommand{\red}[1]{\textcolor{red}{#1}}
\newcommand{\sujet}{\phantomsection\addcontentsline{toc}{section}{SUJET}}
\newcommand{\correction}{\newpage\phantomsection\addcontentsline{toc}{section}{CORRECTION}\begin{center}\scshape\Large\helv Correction\end{center}\vskip 1pt\hrulefill\vskip 1em\setcounter{numexo}{0}}

% Macro "exercice"
\newcommand*\exercice[3] % #1 = nb points ; #2 = Commun à tous les candidats ; #3 : thème
{%
\stepcounter{numexo}
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{subsection}{Exercice \thenumexo.\: #3 (#2)}
\helv Exercice \thenumexo{} (#1 points) \hfill \emph{#2}

\bigskip\normalfont
}
% Redéfinition de la table des matières
\makeatletter
\renewcommand*\l@section{\color{blue!50!black}\def\@linkcolor{blue!50!black}\@dottedtocline{1}{1em}{2.3em}}
\renewcommand*\l@subsection{\color{green!50!black}\def\@linkcolor{green!50!black}\@dottedtocline{2}{1.5em}{2.3em}}
\def\contentsline#1#2#3#4{%
  \ifx\\#4\\%
    \csname l@#1\endcsname{#2}{#3}%
  \else
      \csname l@#1\endcsname{\hyper@linkstart{link}{#4}{#2}\hyper@linkend}{%
        \hyper@linkstart{link}{#4}{#3}\hyper@linkend
      }%
  \fi
}
\makeatother
\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}Sommaire}
\begin{tabularx}{\linewidth}{l>{\centering \arraybackslash}X}
\multirow{3}{*}{\includegraphics[scale=0.5]{logo.png}} & 
\Large\helv Baccalauréat Série ES\\ & \\ & \helv Pondichéry - 17 avril 2012
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

{\color{purple}\hrulefill}
\tableofcontents

{\color{purple}\hrulefill}

\vspace{1cm}

\begin{center}
Document réalisé le \today.\\
Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}

\vspace{2cm}

\emph{Si une erreur s'est glissée, n'hésitez pas à me contacter par email :}

\medskip

\href{mailto:contact@mathweb.fr}{contact@mathweb.fr}
\end{center}
\newpage\sujet

% <------------ EX. 1 ----------->
\exercice{4}{Commun à tous les candidats}{Lecture graphique, primitive et intégrale}
 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Il est constitué de quatre questions indépendantes. 

Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte.
 
Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathscr{C}_g$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 8~;~5]$. La droite (AB) tracée sur le graphique est la tangente à la courbe $\mathscr{C}_g$ au point A d'abscisse $- 2$.
 
On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[- 8~;~5]$. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.5, every node/.style={scale=0.5}]
\draw[gray] (-9,-4) grid (6,5);
\clip (-9,-4) rectangle (6,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-9,0) -- (6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-4) -- (0,5);
\draw plot[domain=-8:5] (\x,{-1.5*\x-3});
\draw[thick] (-8,1) .. controls (-6,1) and (-5,4) .. (-4,4) .. controls (-3.5,3.7) and (-3,1.5) .. (-2,0) .. controls (-1,-1.5) and (0,-2) .. (1,-2) .. controls (3,-2) and (4,3) .. (5,3);
\foreach \x/\y in {-8/1,-4/3,-2/0,5/3}
	\fill (\x,\y) circle (2pt);
\node[below left] at (-4,3) {B};
\node[below left] at (-2,0) {A};
\node[below right] at (5,3) {$\mathscr{C}_g$};
\node[below left] at (6,0) {$x$};
\node[below right] at (0,5) {$y$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $g^{\prime}(-2) = -1,5$ 
\item $g^{\prime}(-2) = 0$
\item $g^{\prime}(-2) = -\dfrac{2}{3}$  
\end{enumerate}

\item On note $G$ une primitive sur l'intervalle $[- 8~;~5]$ de la fonction $g$ introduite à la question 1.
 
\begin{enumerate}
\item la fonction $G$ admet un minimum en $- 2$ 
\item la fonction $G$ est décroissante sur l'intervalle $[- 4~;~1]$ 
\item la fonction $G$ est croissante sur l'intervalle $[- 8~;~- 2]$
\end{enumerate}

\item Soit $I = \displaystyle\int_{2}^7 \left(2x + 1 - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x$ ; 

\begin{enumerate}
\item $I = 50 + \ln \left(\dfrac{2}{7} \right)$ 
\item $I = 48,7$ 
\item $I = 10 - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{2}$
\end{enumerate} 

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[f(x)= \dfrac{6x-5}{3x^2 - 5x+ 7}\] 

On note $F$ la primitive de $f$ sur $\R$ telle que $F(1) = 1$. 

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ de $\R,\: F(x) = \ln \left(3x^2 - 5x + 7\right)$ 
\item Pour tout $x$ de $\R,\: F(x) = \ln \left(3x^2 - 5x + 7\right) + 1 - \ln (5)$
\item Pour tout $x$ de $\R,\: F(x) = \dfrac{1}{(3x^2 - 5x + 7)} + 1$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

% <------------ EX. 2 -----------> 
\exercice{5}{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}{Statistiques}
 
Anna a créé un site web. Le tableau ci-dessous présente l'évolution du nombre hebdomadaire de visiteurs de ce site au cours des huit premières semaines suivant sa création.

\medskip\renewcommand{\arraystretch}{1.5}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline 
Rang de la semaine $x_{i}$	& 1 &2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 \\ \hline
Nombre de visiteurs $y_{i}$	& 205 &252&327&349&412&423&441&472\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal, en prenant pour unités 1~cm pour une semaine sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 50~visiteurs sur l'axe des ordonnées. 
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points, et le placer dans le repère précédent (on arrondira l'ordonnée du point G à l'unité près). 
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour cette question, les calculs pourront être effectués à l'aide de la calculatrice ; aucun détail n'est exigé à leur propos.\\		 
Déterminer l'équation $y = ax + b$ de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à l'entier le plus proche. 
\item Tracer la droite $(D)$ dans le repère précédent.
\item En utilisant l'ajustement affine précédent, estimer le nombre de visiteurs lors de la dixième semaine suivant la création du site.
\end{enumerate} 

\item En remarquant que l'augmentation du nombre de visiteurs est plus faible sur les dernières semaines, on peut penser à faire un ajustement de type \og logarithmique \fg. 

Pour cela, On pose : $z = \ln (x)$. 

\begin{enumerate}
\item On donne le tableau suivant :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang de la semaine $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 \\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(x_{i}\right)$& 0 &\small 0,693&&\small  1,386 &\small  1,609& &\small 1,946 &\small 2,079\\ \hline 
Nombre de visiteurs $y_{i}$& 205 &252 &327 &349 &412 &423 &441 &472\\ \hline  
\end{tabularx}

\medskip

Préciser les valeurs manquantes $z_{3}$ et $z_{6}$ en arrondissant les résultats obtenus à $10^{-3}$ près. 

\item On admet que l'équation de la droite $(d)$ d'ajustement affine de $y$ en $z$, obtenue par la méthode des moindres carrés, est : $y = 133z + 184$. 

En utilisant ce résultat, procéder à une nouvelle estimation du nombre de visiteurs lors de la dixième semaine (le résultat sera arrondi à l'unité). 

\item A l'aide de ce nouvel ajustement, déterminer le rang de la semaine au cours de laquelle le nombre prévisible de visiteurs dépassera $600$.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\pagebreak

% <------------ EX. 2 (SPE) ----------->

\addtocounter{numexo}{-1}
\exercice{5}{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}{Graphes}

Les points de collecte d'un camion d'une société recyclant des \og déchets papier \fg, ainsi que les temps de trajet (en minutes) entre ces différents points, sont représentés par le graphe \no 1. 
Le dépôt est représenté par le sommet A et les autres sommets représentent les différents points de collecte. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=0.8]
\tikzstyle{rond} = [draw,circle,fill=white];
\tikzstyle{label} = [fill=white,midway];
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (2,3);
\coordinate (C) at (2,0);
\coordinate (D) at (3,-3);
\coordinate (E) at (3,1.5);
\coordinate (F) at (5,2.5);
\coordinate (G) at (4,-1.5);
\coordinate (H) at (7,-1.5);
\draw (A) -- (B) node[label] {3};
\draw (A) -- (C) node[label] {7};
\draw (A) -- (D) node[label] {11};
\draw (C) -- (B) node[label] {3};
\draw (E) -- (B) node[label] {11};
\draw (C) -- (E) node[label] {3};
\draw (D) -- (B) node[label] {7};
\draw (C) -- (D) node[label] {4};
\draw (D) -- (E) node[label] {9};
\draw (D) -- (G) node[label] {2};
\draw (E) -- (G) node[label] {10};
\draw (E) -- (F) node[label] {8};
\draw (F) -- (G) node[label] {4};
\draw (F) -- (H) node[label] {7};
\draw (G) -- (H) node[label] {12};
\foreach \noeud in {A,B,C,D,E,F,G,H}
	\node[rond] at (\noeud) {\noeud};
\end{tikzpicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Afin de rendre son plan plus lisible, le chauffeur du camion souhaite colorer les sommets du graphe représentant son réseau de manière à ce que deux sommets adjacents n'aient jamais la même couleur. Peut-il utiliser seulement trois couleurs ? Justifier. 
\item On appelle $M$ la matrice associée au graphe \no 1, $M$ étant construite en utilisant les sommets dans l'ordre alphabétique. On donne ci-dessous la matrice $M^4$ : 

\[M^4 = \left(\begin{smallmatrix}31 &34 &34 &38 &40 &13 &23 &9\\ 
34 &47& 46& 50 &44& 22& 33 &10\\ 
34& 46 &47& 50& 44& 22& 33 &10\\ 
38& 50& 50& 62& 54& 28& 34& 16\\ 
40& 44& 44& 54 &60& 24& 36& 20\\ 
13 &22 &22 &28& 24 &21 &23 &11\\ 
23 &33 &33 &34& 36 &23 &35 &13\\ 
9 &10 &10 &16 &20 &11 &13 &11\\
\end{smallmatrix}\right)\]
 
Combien y a-t-il de trajets possibles permettant d'aller du dépôt A au point de collecte H en quatre étapes? Justifier la réponse. 
\item Le conducteur doit se rendre du dépôt A au point de collecte H. Il cherche le chemin qui minimise le temps de trajet. Déterminer ce chemin en expliquant le procédé utilisé, et préciser le temps minimum de parcours obtenu. 
\item Le point de collecte H est lui-même un lotissement résidentiel privé dont un plan est représenté à l'aide du graphe (non pondéré) ci-dessous. Les sommets sont les différents carrefours et les arêtes sont les voies de circulation. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzstyle{rond} = [draw,circle,fill=white];
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (2,1);
\coordinate (C) at (2,-1);
\coordinate (D) at (4,-2);
\coordinate (E) at (6,1);
\coordinate (F) at (6,-1);
\coordinate (G) at (8,1);
\coordinate (H) at (8,-1);
\draw (B) -- (A) -- (C) -- (B) -- (F) -- (C) -- (D) -- (F) -- (E) -- (H) -- (G) -- (E) -- (B);
\draw (F) -- (H);
\foreach \noeud in {A,B,C,D,E,F,G,H}
	\node[rond] at (\noeud) {\noeud};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que ce graphe est connexe. 
\item Le conducteur du camion doit passer le long de chaque voie afin de collecter les déchets individuels de chaque habitation. Il entre dans le lotissement par le sommet 8 : lui est-il possible de parcourir le lotissement en empruntant chaque voie une fois et une seule ? Justifier.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\pagebreak
%<-------EX. 3 ------>
\exercice{5}{Commun à tous les candidats}{Probabilités}
 
Un fournisseur d'accès internet effectue une enquête de satisfaction sur un panel de \np{2000}~ clients, dont l'abonnement a plus de 12~mois d'ancienneté.
 
Parmi eux :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 900 n'ont jamais subi de coupure prolongée de connexion. 
\item[$\bullet~$] 500 clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion dans les 12 derniers mois. 
\item[$\bullet~$] les autres clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion il y a plus d'un an.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
L'enquête révèle que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 95\,\% des clients n'ayant jamais subi de coupure prolongée se déclarent satisfaits du service fourni. 
\item[$\bullet~$] 50\,\% des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion dans les douze derniers mois se déclarent satisfaits du service fourni. 
\item[$\bullet~$] 70\,\% des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion il y a plus d'un an se déclarent satisfaits du service fourni.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard un client parmi ceux qui ont été interrogés. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{description}
\item[ ] $J$ : \og le client n'a jamais subi de coupure prolongée de connexion \fg 
\item[ ] $R$ : \og la dernière coupure prolongée de connexion du client est survenue au cours des douze derniers mois\fg{} (elle est \og récente \fg) 
\item[ ] $A$ : \og la dernière coupure prolongée de connexion du client date d'il y a plus d'un an \fg{} (elle est \og ancienne \fg) 
\item[ ] $S$ : \og le client se déclare satisfait \fg 
\item[ ] $\overline{S}$ désigne l'évènement contraire de $S$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 
 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements $J, R$ et $A$. 
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
\end{enumerate} 
\item Calculer la valeur exacte de la probabilité que le client soit satisfait et n'ait jamais subi de coupure prolongée de connexion. 
\item Démontrer que la probabilité que le client choisi se déclare satisfait est égale à \np{0,7625}. 
\item Le client choisi se déclare satisfait du service fourni. Quelle est la probabilité qu'il ait subi une coupure prolongée de connexion au cours des douze derniers mois (on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième) ? 
\item On choisit au hasard trois clients parmi ceux du panel interrogé durant l'enquête. On admet que ce panel est suffisamment important pour assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.
 
Déterminer la probabilité qu'exactement un des clients choisis se déclare non satisfait du service fourni (on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième). 
\end{enumerate}

\pagebreak
%<----- Ex. 4 ----->
\exercice{6}{Commun à tous les candidats}{Etude d'une fonction exponentielle}

\textbf{Partie A }

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par: 

\[f(x) = \left(-4x^2 + 5\right)\text{e}^{-x} + 3\] 

On note $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. 

On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$, on a : 
\[f^{\prime}(x) = \left(4x^2 - 8x - 5\right)\text{e}^{-x}.\]
 
\item Étudier le signe de la fonction $f^{\prime}$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x \geqslant 0$, on a $f(x) = - \dfrac{4x^2}{\text{e}^x} + \dfrac{5}{\text{e}^x} + 3$. 
\item En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.\\
(on pourra utiliser le résultat suivant :  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2}{\text{e}^x}= 0$). 
\item Interpréter graphiquement cette limite.
\end{enumerate} 
\item À l'aide des questions 1. et 2., dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 

\item Justifier que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $x_{0}$ dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 

Donner une valeur approchée de $x_{0}$ à $10^{- 2}$ près.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise produit de la peinture qu'elle vend ensuite. Toute la production est vendue. 
Le coût moyen unitaire de cette production peut être modélisé par la fonction $f$ de la partie A :
 
pour $x$ hectolitres de peinture fabriqués (avec $x \in [0,5~;~8]$), le nombre $f(x)$ désigne le coût moyen unitaire de production par hectolitre de peinture, exprimé en centaines d'euros (on rappelle qu'un hectolitre est égal à 100~litres).
 
Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle. On pourra utiliser les résultats de la partie A.

Chaque réponse sera justifiée. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le coût moyen unitaire de production en euros, arrondi à l'euro près, pour une production de 500~litres de peinture. 
\item 
\begin{enumerate}
\item Combien de litres de peinture l'entreprise doit-elle produire pour minimiser le coût moyen unitaire de production ? Quel est alors ce coût, arrondi à l'euro près ? 
\item Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à 100 euros. À l'aide de la question précédente, déterminer si l'entreprise peut réaliser des bénéfices.
\end{enumerate}

\medskip
	 
\emph{Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

\medskip
 
\item Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à $300$~euros.
 
On appelle seuil de rentabilité la quantité à partir de laquelle la production est rentable, c'est-à-dire qu'elle permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice.
 
Quel est le seuil de rentabilité pour cette entreprise ? 
\end{enumerate}

\correction

\exercice{4}{Commun à tous les candidats}{Lecture graphique, primitive et intégrale}

\begin{enumerate}
\item $g'(-2)$ désigne le nombre dérivé de la fonction $g$ en $x=-2$, ce qui coïncide avec le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_g$ en A.\\
On lit alors : \underline{$g'(-2)=-1,5$}.\\ On peut aussi le calculer à l'aide de la formule $g'(-2)=\dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\dfrac{0-3}{-2-(-4)}=-\dfrac{3}{2}=-1,5$.

\item $G$ est une primitive de $g$, donc $G'=g$. Ainsi, les variations de $G$ sont données par le signe de $g(x)$. on a alors :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2]{$x$/0.8, $g(x)$/.8, $G$/1}{$-8$,$-2$,$3$,$5$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/,+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\underline{La fonction $G$ est donc croissante sur $[-8;-2]$.}

\item Une primitive de $h(x)=2x+1-\dfrac{1}{x}$ est $H(x)=x^2+x-\ln x$ (peu importe la constante ici).\\
Donc $\displaystyle\int_2^7 h(x)\text{d}x=H(7)-H(2)=50+\ln\left(\frac{2}{7}\right)$. \underline{Réponse (a).}

\item $f(x)$ est de la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$, avec $u(x)=3x^2-5x+7$.\\
Donc une primitive de $f$ est $F(x)=\ln u(x)+k=\ln(3x^2-5x+7)$, où $k\in\R$.\\
On sait de plus que $F(1)=1$ donc $\ln 5+k=1$, soit $k=1-\ln 5$.\\
\underline{La réponse correcte est donc la réponse (b).}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exercice{5}{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}{Statistiques}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a le nuage de points suivant : 
\valeurs{1/205,2/252,3/327,4/349,5/412,6/423,7/441,8/472}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.7]
\repere[tikz,ystep=50,ymin=150]
\nuage[color=red,dim=2pt]
\drawG[pos=above,color=purple]
\drawRegLine[color=purple,lw=thick,name=(D),xname=0,pos={below right}]
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Le point moyen est $G\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ où :
\[ \overline{x}=\frac{1+2+\cdots+7+8}{8}=4,5\quad ; \quad \overline{y}=\frac{205+252+\cdots+441+472}{8}\approx 360\]
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item \valeurs{1/205,2/252,3/327,4/349,5/412,6/423,7/441,8/472}\RegLin[round=0] La droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ a pour équation : \eqRegLin.

\item Voir graphique pour le tracé de la droite $(D)$.

\item On remplace $x$ par 10 dans l'équation précédente afin de connaître une estimation du nombre de visiteurs lors de la dixième semaine :
\[ y=38\times 10+191 = 571\]
\underline{Ainsi, on peut estimer à 571 le nombre de visiteurs lors de la dixième semaine.}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On a :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang de la semaine $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 \\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(x_{i}\right)$& 0 &\small 0,693&\small\red{1,099}&\small  1,386 &\small  1,609&\small\red{1,792}&\small 1,946 &\small 2,079\\ \hline 
Nombre de visiteurs $y_{i}$& 205 &252 &327 &349 &412 &423 &441 &472\\ \hline  
\end{tabularx}

\item Le nombre de visiteurs lors de la dixième semaine selon la nouvelle approximation est :
\[ y=133\times\ln 10 + 184 \approx 490\]
\underline{On peut donc estimer à 490 le nombre de visiteurs lors de la dixième semaine.}

\item On cherche $x$ tel que $133\ln x + 184 \geqslant 600$. On résout donc cette dernière inéquation :

\begin{align*}
133\ln x + 184 \geqslant 600 & \Leftrightarrow 133\ln x \geqslant 600-184\\
& \Leftrightarrow 133\ln x \geqslant 416\\
& \Leftrightarrow \ln x \geqslant \frac{416}{133}\\
& \Leftrightarrow x \geqslant \text{e}^{\frac{416}{133}}
\end{align*}

Or, $\text{e}^{\dfrac{416}{133}} \approx 22,82$.\\

\underline{Ainsi, le nombre de visiteurs atteindra 600 lors de la 23\ieme{} semaine.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exercice{5}{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}{Graphe}

\begin{enumerate}
\item Considérons le sous-graphe complet $(A;B;C;D)$. \\
Si l'on attribue au sommet $A$ la couleur $c_1$, à $B$ la couleur $c_2$ et à $C$ la couleur $c_3$, $c_1,\ c_2$ et $c_3$ étant différentes, on ne pourra pas attribuer à $D$ une des couleurs $c_1,\ c_2$ ou $c_3$ car $D$ est adjacent aux trois autres sommets.\\
Ainsi, le nombre chromatique du graphe $\gamma(G)$ est supérieur ou égal à 4.
Or, \og si un graphe $G$ admet un sous-graphe complet d'ordre maximal $p$, alors $\gamma(G)\leqslant p$ \fg. Par conséquent, \underline{$\gamma(G)=4$}.

\item D'après le cours, \og le coefficient $m_{i,j}$ de la matrice $M^4$ désigne le nombre de chaînes de longueur 4 reliant le sommet $i$ au sommet $j$ \fg.\\
\underline{Ainsi, il y a 9 trajets possibles pour relier le dépôt $A$ au lieu de collecte $H$.}

\item Afin de déterminer le chemin le plus court, on utilise l'algorithme de Dijkstra :

\begin{center}
\begin{tabular}{*8{|>{\centering\arraybackslash}p{1cm}}|}
\hline
A & B & C & D & E & F & G & H\\
\hline
0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$\\
\hline
$\cdot$ & $\boxed{3_A}$ & $7_A$ & $11_A$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$\\
\hline
$\cdot$ & $\cdot$ & $\boxed{6_B}$ & $10_B$ & $14_B$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$\\
\hline
$\cdot$ & $\cdot$ & $\cdot$ & $10_C$ & $\boxed{9_C}$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$\\
\hline
$\cdot$ & $\cdot$ & $\cdot$ & $18_E$ & $\cdot$ & $\boxed{17_E}$ & $19_E$ & $\infty$\\
\hline
$\cdot$ & $\cdot$ & $\cdot$ & $18_E$ & $\cdot$ & $\cdot$ & $21_F$ & $24_F$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Ainsi, le chemin à emprunter est $(A;B;C;E;F;H)$ et son poids est 24. \\
\underline{Il faudra donc 24 minutes pour relier le dépôt au lieu de collecte $H$ en empruntant ce chemin.}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le graphe est connexe car tous les sommets sont reliés à au moins un autre (on peut donc relier deux sommets quelconques par au moins une chaîne).

\item La question revient à savoir s'il existe une chaîne eulérienne. \\
Le théorème d'Euler stipule qu'\og un graphe connexe non orienté contient une chaîne eulérienne si et seulement s'il possède 0 ou 2 sommets de degré impair.\fg.\\
Le tableau suivant donne le degré des sommets :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2cm}*8{|>{\centering\arraybackslash}p{1cm}}|}
\hline
Sommets & 1 & 2 &3&4&5&6&7&8\\
\hline
Degrés & 2&4&4&2&4& \cellcolor{gray!20}\textbf{5}&2&\cellcolor{gray!20}\textbf{3}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Nous voyons alors que le graphe possède exactement 2 sommets de degré impair. Par conséquent, le conducteur du camion pourra parcourir le lotissement en empruntant chaque voie une fois et une seulement.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exercice{5}{Commun à tous les candidats}{Probabilités}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item L'énoncé nous donne directement les probabilités suivantes :
\[ p(J)=\frac{900}{2000}=0,45 \quad ; \quad p(R)=\frac{500}{2000}=0,25 \quad ; \quad p(A)=1-(0,45+0,25)=0,3\]
\item L'arbre pondéré est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\tikzstyle{label} = [midway,fill=white,scale=0.75];
\tikzstyle{rond} = [fill=white];
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (J) at (2,2);
\coordinate (R) at (2,0);
\coordinate (A) at (2,-2);
\coordinate (SJ) at (4,2.5);
\coordinate (SBJ) at (4,1.5);
\coordinate (SR) at (4,0.5);
\coordinate (SBR) at (4,-0.5);
\coordinate (SA) at (4,-1.5);
\coordinate (SBA) at (4,-2.5);
\draw (O) -- (A) node[label] {0,3};
\draw (O) -- (J) node[label] {0,45};
\draw (O) -- (R) node[label] {0,25};
\draw (J) -- (SJ) node[label] {0,95};
\draw (J) -- (SBJ) node[label] {0,05};
\draw (R) -- (SR) node[label] {0,5};
\draw (R) -- (SBR) node[label] {0,5};
\draw (A) -- (SA) node[label] {0,7};
\draw (A) -- (SBA) node[label] {0,3};
\foreach \noeud/\t in {J/J,R/R,A/A,SJ/S,SBJ/{\overline{S}},SR/S,SBR/\overline{S},SA/S,SBA/\overline{S}}
	\node[rond] at (\noeud) {$\t$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item La probabilité pour que le client soit satisfait et n'ait jamais subi une coupure prolongée de connexion est $P(S\cap J)$.\\
D'après la formule du cours, nous avons :

\begin{minipage}{.5\textwidth}
\begin{align*}
P(S\cap J) & =P(J)\times P_J(S)\\
& = 0,45 \times 0,95\\
& = 0,4275
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\textwidth}
Ainsi, \underline{$P(S\cap J)=0,4275$}.
\end{minipage}

\item D'après la formule des probabilités totales, on a :

\begin{minipage}{.5\textwidth}
\begin{align*}
P(S)&=P(S\cap J) + P(S\cap R) + P(S\cap A)\\
&=0,4275+0,25\times 0,5+0,3\times 0,7\\
&=0,7625
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\textwidth}
Ainsi, \underline{$P(J)=0,7625$}.
\end{minipage}

\item Le client se déclare satisfait. Nous avons donc à calculer une probabilité conditionnelle (la condition est que l'événement \og S \fg{} est réalisé).

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{align*}
P_S(R) & =\dfrac{P(S\cap R)}{P(S)}\\
& = \dfrac{0,25\times 0,5}{0,7625}\\
& \approx 0,1639
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\textwidth}
Ainsi, \underline{$P_S(R)\approx 0,16$}.
\end{minipage}

\item Si \og $SS\overline{S}$ \fg{} désigne le fait que sur les 3 clients choisis, le premier et le second sont satisfaits et que le 3\ieme ne l'est pas, alors, il n'y a que 3 possibilités pour qu'il n'y ait qu'un client non satisfait :
\[ SS\overline{S} \qquad ; \qquad S\overline{S}S\qquad ; \qquad \overline{S}SS \]

La probabilité du schéma \og $\overline{S}SS$ \fg{} est égal à $P(\overline{S})\times P(S) \times P(S)$ ; ainsi, la probabilité pour qu'exactement un client ne soit pas satisfait sur les trois est :

\begin{align*}
P & = 3 \times P(\overline{S}) \times [P(S)]^2\\
& = 3 \times (1-0,7625) \times (0,7625)^2\\
& \approx 0,41425
\end{align*}

\underline{Ainsi, la probabilité demandée est à peu près égale à 0,41.}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exercice{6}{Commun à tous les candidats}{Etude d'une fonction exponentielle}

\textbf{Partie A}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
La fonction $f$ est de la forme $f = uv + 3$, où $u(x)=(-4x^2+5)$ et $v(x)=\text{e}^{-x}$. Donc $f'=u'v+uv'$.

\begin{align*}
f'(x) & = -8x\text{e}^{-x} + (-4x^2+5)\times\left(-\text{e}^{-x}\right)\\
& = \text{e}^{-x}\left(-8x-(-4x^2+5)\right)\\
& = \underline{(4x^2-8x-5)\text{e}^{-x}}
\end{align*}

\item $f'(x)$ est du signe de $P(x)=4x^2-8x-5$ car $\text{e}^{-x}$ est toujours strictement positif.\\
Le discriminant de $P(x)$ est :

\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = (-8)^2-4\times 4\times (-5)\\
& = 64 + 80\\
& = 144
& = 12^2
\end{align*}

Ainsi, les deux racines de $P(x)$ sont :

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{align*}
x_1 & =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
    & = \dfrac{8-12}{8}\\
    & = -\dfrac{1}{2}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{align*}
x_2 & = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
    & = \dfrac{8+12}{8}\\
    & = \dfrac{5}{2}
\end{align*}
\end{minipage}

Ainsi, le signe de $P(x)$ sur $\R$ est :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2]{$x$/0.8, $P(x)$/.8}{$-\infty$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Par conséquent, sur $[0;+\infty[$, on a :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2]{$x$/0.8, $f'(x)$/.8}{$0$,$\frac{5}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On sait que pour tout réel $x$, $\text{e}^{-x}=\dfrac{1}{\text{e}^x}$.\\
Ainsi :

\begin{align*}
f(x) & = (-4x^2+5)\times\dfrac{1}{\text{e}-x}+3\\
 & = -4x^2\times\dfrac{1}{\text{e}^x}+5\times\dfrac{1}{\text{e}^x}+3\\
& = -\dfrac{4x^2}{\text{e}^x}+\dfrac{5}{\text{e}^x}+3
\end{align*}

\item On a :

$\left.
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-\dfrac{4x^2}{\text{e}^x}\right)=0\\
\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{5}{\text{e}^x}\right)=0
\end{array}
\right\rbrace\Rightarrow\text{par somme,} \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=3
$

\item Ce dernier résultat signifie que $\mathscr{C}$ admet une asymptote d'équation $y=3$ en $+\infty$.
\end{enumerate}

\item Le tableau de variation de la fonction $f$ est :

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2]{$x$/0.8, $f'(x)$/.8, $f(x)$/1}{$0$,$\frac{5}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/8,-/$f\left(\frac{5}{2}\right)$,+/3}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{align*}
f\left(\frac{5}{2}\right) & = \left(-4\times\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\right)\text{e}^{-\frac{5}{2}}+3\\
& = -20\text{e}^{-2,5}+3\\
& \approx 1,36
\end{align*}
\end{minipage}

\item La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $\left[ 0;\frac{5}{2}\right[$.\\
De plus, $3\in\left[f(0);f\left(\frac{5}{2}\right)\right]$. Ainsi, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f(x)=3$ admet une unique solution sur $\left[0;\frac{5}{2}\right]$.

\medskip

Sur $\left[\frac{5}{2};+\infty\right[$, la fonction $f$ est strictement croissante de $f\left(\frac{5}{2}\right)$ à 3 sans jamais atteindre cette dernière valeur. Donc l'équation $f(x)=3$ n'admet aucune solution sur ce dernier intervalle.

\bigskip

\underline{Ainsi, l'équation $f(x)=3$ admet une unique solution sur $[0;+\infty[$.}

\medskip

A l'aide de la calculatrice, on trouve \underline{$x_0 \approx 1,12$}.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Une production de 500 litres correspond à $x=5$. On doit donc calculer $f(5)$.

\begin{align*}
f(5) & = (-4\times 5^2 + 5)\text{e}^{-5}+3\\
f(5) & \approx 2,36
\end{align*}

$f(x)$ étant exprimée en centaine d'euros, \underline{le coût moyen unitaire est d'à peu près 236 \euro.}

\item
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ atteint son minimum pour $x=2,5$,ce qui correspond à un volume de \underline{250 litres} de peinture. \\
Nous avons calculer une valeur approchée de $f(2,5)$ dans la partie A : $f(2,5)\approx 1,36$. Ainsi, le coût moyen unitaire minimal est égal à \underline{136 \euro}.

\item Pour une production de 250 litres de peinture, le prix de vente sera de 250 \euro{} (1 hectolitre vaut 100 \euro{} donc 1 litre vaut 1 \euro).\\
Ainsi, le bénéfice sera égal à : $250-136\times 2,5=-90$ \euro, bénéfice négatif.\\
 \underline{Donc l'entreprise ne pourra pas être bénéficiaire.}

\medskip

\begin{important}
$f(x)$ désigne le coût moyen de production \textbf{unitaire}, ce qui signifie le montant que l'entreprise doit payer en moyenne pour \textbf{1 hectolitre} produit. \\
Il ne faut donc pas oublier que le coût total que l'entreprise doit payer pour $x$ hectolitres produits est $xf(x)$.
\end{important}
\end{enumerate}

\item Le bénéfice peut être exprimé par :
\begin{align*}
B(x) & =3x-xf(x)\\
& =x(3-f(x))\\
& =x\left[-(-4x^2+5)\text{e}^{-x}\right]\\
& =x(4x^2-5)\text{e}^{-x}
\end{align*}

On doit donc résoudre l'inéquation $B(x)\geqslant 0$.

\begin{align*}
B(x) \geqslant 0 & \Leftrightarrow 4x^2-5 \geqslant 0 \text{ car } x\geqslant 0\text{ et } \text{e}^{-x}\geqslant 0\\
& \Leftrightarrow 4x^2 \geqslant 5\\
& \Leftrightarrow x^2 \geqslant \dfrac{5}{4}\\
& \Leftrightarrow x \geqslant \sqrt{\dfrac{5}{4}} \text{ car } x\geqslant 0\\
& \Leftrightarrow x \geqslant 1,12
\end{align*}

\underline{Il faut donc que l'entreprise produise plus de 112 litres pour qu'elle soit rentable.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Autre méthode :} Nous avons vu dans la partie A que $f(x_0)=3$. Ainsi, le seuil de rentabilité correspond à $x_0$ hectolitres, soit 112 litres.
\end{enumerate}
\end{document}