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\begin{tikzpicture}
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% "Fiche"
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\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Sujet et Corrigé}

\bigskip

\emph{{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
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% Annexe

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\stepcounter{annexe}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\fontshape{sc}\selectfont\color{violet}
Annexe \theannexe
\ifx#1\@empty
\else
~-~Relatif à l'exercice #1
\fi
\end{center}
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% Correction

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\begin{center}
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\end{center}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Baccalauréat Série ES\\
Métropole, juin 2014}

\section*{Exercice 1 (5 points) - Commun à tous les candidats}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où A et B sont deux événements, dont les événements contraires sont respectivement notés \evcont{A} et \evcont{B}.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (A) at (2,2) {A};
\node (AB) at (2,-2) {\evcont{A}};
\node (ABC) at (4,3) {B};
\node (ABB) at (4,1) {\evcont{B}};
\node (BB) at (4,-1) {B};
\node (BBB) at (4,-3) {\evcont{B}};
\draw (0,0) -- (A.west) node[midway,left] {0,6};
\draw (0,0) -- (AB.west) node[midway,left] {$\ldots$};
\draw (A.east) -- (ABC.west) node[midway,above left] {0,3};
\draw (A.east) -- (ABB.west) node[midway,below left] {$\ldots$};
\draw (AB.east) -- (BB.west) node[midway,above left] {0,2};
\draw (AB.east) -- (BBB.west) node[midway,below left] {$\ldots$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Alors,

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\probacond{B}{A}=0,18$
\item $\proba{A\cap B}=0,9$ 
\item $\probacond{\evcont{B}}{A}=0,7$ 
\item $\proba{B}=0,5$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Avec le même arbre, la probabilité de l'événement B est égale à :

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item 0,5
\item 0,18
\item 0,26
\item 0,38
\end{enumerate}
\end{multicols}

\newpage

\item On considère une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle \intervFF{1}{15}. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.5,$f(x)$/1.5}{1,4,12,15}
\tkzTabVar{+/3,-/$-2$,+/$-1$,-/$-3$}
\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{3}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{1}{15}. On peut être certain que :

\begin{enumerate}
\item La fonction $F$ est négative sur l'intervalle \intervFF{3}{4}.

\item La fonction $F$ est positive sur l'intervalle \intervFF{4}{12}.

\item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle \intervFF{4}{12}.

\item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle \intervFF{1}{3}.
\end{enumerate}

\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle \intervOO{0}{+\infty}, l'équation $\ln x + \ln (x+3)= 3\ln2$ est équivalente à l'équation :

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $2x+3=6$
\item $2x+3=8$
\item $x^2+3x=6$
\item $x^2+3x=8$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item $g$ est la fonction définie sur l'intervalle \intervOO{0}{+\infty} par $g(x)=\dfrac{5}{x}$.

On note C sa courbe représentative.

L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe C,l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=2$ et $x=6$, est égale à :

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $5(\ln6-\ln2)$
\item $\frac{1}{6-2}\int_2^6g(x)\dx$
\item $5\ln6+5\ln2$
\item $g(6)-g(2)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (5 points) - {\small Candidats ayant suivis l'enseignement Obligatoire}}

À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de \numprint{1500}~m$^2$ entièrement engazonné. Mais tous les ans, \pourcent{20} de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m$^2$ et la remplace par du gazon. 

Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $u_n$ la surface en m$^2$ de terrain engazonné au bout de $n$ années, c'est-à-dire à l'automne $2010+n$. On a donc $u_0=\numprint{1500}$. 

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,8u_n+50$.
\item On considère la suite \suite{v}{n}{} définie pour tout nombre entier naturel $n$ par : $v_n=u_n-250$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite \suite{v}{n}{} est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_n=250+\numprint{1250}\times0,8^n$.

\item Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que :
\[ 250 + \numprint{1250}\times0,8^n< 500.\]
Interpréter le résultat obtenu. 

\item Compléter l'algorithme fourni en annexe 1 pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente.
\end{enumerate}

\item Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (5 points) - {\small Candidats ayant suivis l'enseignement de Spécialité}}

Alice participe à une compétition de tir à l'arc ; elle effectue plusieurs lancers de flèches. Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,9.

Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,4. 

On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer. Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note :  

\begin{itemize}
\item $a_n$ la probabilité qu'Alice atteigne la cible au $n$-ième lancer ; 
\item $b_n$ la probabilité qu'Alice manque la cible au $n$-ième lancer ;
\item $P_n=\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste au $n$-ième lancer.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état « Alice atteint la cible » et B l'état « Alice manque sa cible »). 
\item Indiquer la matrice de transition M associée à ce graphe. On prendra les sommets A  et B dans l'ordre (A, B).
\item Justifier que $P_1=\begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}$ et $P_2=\begin{pmatrix}0,65& 0,35\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $a_{n+1}=0,9a_n+0,4b_n$. 
\item En déduire que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $a_{n+1}=0,5a_n+0,4$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Compléter l'algorithme fourni en annexe 1 de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste  au $n$-ième lancer.

\item Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $n= 5$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif  par : $u_n=a_n-0,8$.

Montrer que la suite \suite{u}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le  premier terme. 

\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis en déduire que pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, $a_n=0,8-0,3\times0,5^{n-1}$.
\item À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'Alice atteigne la cible ?
\item Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (5 points) - Commun à tous les candidats}

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Chaque jour, Antoine s'entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle \intervFF{20}{60}. 

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p$ pour que l'entrainement dure plus de 30 minutes. 
\item Calculer l'espérance de X. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B :}

\medskip

\emph{Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.}

\medskip

Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s'entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm; sinon elles sont dites de second choix. On note D variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de la l'entreprise, associe son diamètre, en millimètres. On suppose que D suit la loi normale d'espérance 57 et d'écart-type 0,11.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $p_1$ que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm.
\item Déterminer la probabilité $p_2$ que la boule prélevée soit une boule de premier choix.
\item En déduire la probabilité $p_3$ que la boule prélevée soit une boule de second choix.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C :}

\medskip

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses \numprint{14000} licenciés quant à l'organisation des tournois. Antoine estime que les 80 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club: les 80 adhérents ont répondu, et 66 ont déclaré qu'ils étaient satisfaits.

\begin{enumerate}
\item Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée $f$ de personnes satisfaites de la FFB ?
\item Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion $p$ de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 (5 points) - Commun à tous les candidats}

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang. 

On obtient la courbe fournie en annexe 2. 

\medskip

\textbf{A. Étude graphique :}

\medskip

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

\begin{enumerate}
\item la concentration à l'instant initial;
\item l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre. 

\emph{On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude théorique :}

\medskip

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle \intervFF{0}{15} par : $f(x)=(x+2)\e^{-0,5x}$ où $x$ représente le nombre d'heures écoulées depuis l'instant initial et $f(x)$ la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang. 

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Justifier que $f'(x)=-0,5x\e^{-0,5x}$ et déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur \intervFF{0}{15}.

\item Justifier que l'équation $f(x)=0,1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle \intervFF{0}{15}.

\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude un dixième.

\newpage

\item Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{Sc>{\ttfamily\arraybackslash}XSr}
\hline
\hline
\fbox{1} & deriver((x+2)*exp(-0.5*x)) & \\
\hline
& & exp(-0.5*x)-0.5*exp(-0.5*x)*(x+2)\\
\hline
\fbox{2} & \multicolumn{2}{Sl}{\ttfamily deriver(exp(-0.5*x)-0.5*exp(-0.5*x)*(x+2))} \\
\hline
& & -exp(-0.5*x)+0.25*exp(-0.5*x)*(x+2)\\
\hline
\fbox{3} & \multicolumn{2}{Sl}{\ttfamily factoriser(-exp(-0.5*x)+0.25*exp(-0.5*x)*(x+2))} \\
\hline
& & (0.25*x-0.5)*exp(-0.5*x)\\
\hline
\hline
\end{tabularx}

\medskip

En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{15} et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Interprétation des résultats :}

\medskip

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous. 

\begin{enumerate}
\item On estime que le médicament n'est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ?

\item Au bout de combien d'heures la baisse de concentration ralentit-elle ?
\end{enumerate}


\newpage

\begin{center}
\bfseries Annexes  -- \`A rendre avec la copie
\end{center}

\textbf{Annexe 1 (Exercice 2 -- Candidats ayant suivis l'enseignement Obligatoire)}

\begin{center}
\begin{tabular}{|SlSl|}
\hline
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Initialisation}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{u prend la valeur \numprint{1500}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{n prend la valeur 0}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Traitement}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Tant que $\ldots\ldots$ faire}\\
& u prend la valeur $\ldots\ldots$\\
& n prend la valeur $\ldots\ldots$\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Fin Tant que}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Sortie}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Afficher n}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\textbf{Annexe 1 (Exercice 2 -- Candidats ayant suivis l'enseignement de Spécialité)}

\begin{center}
\begin{tabular}{|SlSl|}
\hline
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Entrées}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Saisir n}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Traitement}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{a prend la valeur 0,5}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{b prend la valeur 0,5}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Pour i allant de 2 à n}\\
& a prend la valeur $\ldots\ldots\times a+\ldots\ldots$\\
& b prend la valeur 1-a\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Fin Pour}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Sortie}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Afficher a, b}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\textbf{Annexe 2}

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=3]
\draw[dashed,gray] (-1.5,-0.2) grid[xstep=1,ystep=0.2] (16,2.2);
\draw (-1.5,0) -- (16,0);
\draw (0,-0.2) -- (0,2.2);
\foreach \x in {-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}
{
	\node[below,scale=0.75,outer ysep=2mm,fill=white] at (\x,0) {\x};
}
\foreach \y/\t in {0.2/{0,2},0.4/{0,4},0.6/{0,6},0.8/{0,8},1/1,1.2/{1,2},1.4/{1,4},1.6/{1,6},1.8/{1,8},2/2,2.2/{2,2}}
{
	\node[left,fill=white,outer xsep=2mm,scale=0.75] at (0,\y) {\t};
}
\node[scale=0.75,below right] at (0,0) {0};
\draw plot[domain=0:16,samples=100] (\x,{(\x+2)*exp(-\x/2)});
\node[left] at (16,-0.25) {\textbf{Temps (en heure)}};
\node[right] at (0.3,2.1) {\textbf{Concentration (g/L)}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage\correction

\section*{Exercice 1}

\begin{enumerate}
\item Réponse (c) : $\probacond{\evcont{B}}{A}=0,7$.

Les probabilités conditionnelles se lisent au 2\ieme niveau sur l'arbre : \og 0,3 \fg{} et \og 0,2 \fg{} en sont.

La somme des probabilités conditionnelles issues d'un m\^eme événement doit \^etre égale à 1 donc $\probacond{\evcont{B}}{A}=1-0,3=0,7$.

\item Réponse (c) : 0,26.

En effet, $\begin{aligned}[t]
\proba{B} & =\probacond{B}{A}\times\proba{A}+\probacond{B}{\evcont{A}}\times\proba{\evcont{A}}\\
& 0,3\times0,6+0,2\times(1-0,6)\\
& = 0,18+0,08\\
& = 0,26.
\end{aligned}$

\item Réponse (c) : $F$ est décroissante sur l'intervalle \intervFF{4}{12}.

En effet, $f$ représente la dérivée de $F$ ; or, $f(x)<0$ sur \intervFF{4}{12} donc $F$ est décroissante.

\item Réponse (d) : $x^2+3x=8$.

En effet, $\ln x + \ln (x+3)=\ln\left[x(x+3)\right]=\ln(x^2+3x)$ et $3\ln2=\ln\left(2^3\right)=\ln8$.

Or, $\ln a = \ln b \Leftrightarrow a=b$ donc $\ln(x^2+3x)=\ln8\Leftrightarrow x^2+3x=8$.

\item Réponse (a) : $5(\ln 6-\ln2)$.

En effet, l'aire est égale à $\dint_2^6 \dfrac{5}{x}\dx$. Or, une primitive de $g(x)=5\times\dfrac{1}{x}$ est $G(x)=5\ln x$. Donc $\dint_2^6 g(x)\dx=G(6)-G(2)=5\ln6-5\ln2=5(\ln6-\ln2)$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - {\small Candidats ayant suivis l'enseignement Obligatoire}}

\begin{enumerate}
\item \pourcent{20} de \numprint{1500} correspond à : 
\[ \numprint{1500}\times0,2=300.\]
$\numprint{1500}-300=\numprint{1200}$ donc \numprint{1200} m$^2$ de terrain sont engazonnés avant que Claude n'arrache de la mousse sur 50 m$^2$ pour y mettre du gazon.

\underline{Ainsi, $u_1=\numprint{1250}$.}

\item D'une année à l'autre, \pourcent{20} du terrain engazonné est perdu ; il en reste donc \pourcent{80}, d'où le coefficient \og 0,8 \fg{} devant $u_n$.

Mais chaque année, Claude remet 50 m$^2$ de gazon, d'où l'addition de 50 à $0,8u_n$.

\underline{On a donc bien $u_{n+1}=0,8u_n+50$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = u_{n+1}-250 \qquad \text{par définition de la suite }(v_n)\\
& = 0,8u_n+50-250\qquad\text{d'après la question précédente}\\
& = 0,8u_n-200\\
& = 0,8\left(u_n-\frac{200}{0,8}\right)\\
& = 0,8(u_n-250)\\
& = 0,8v_n
\end{aligned}$

La relation de récurrence ainsi obtenue sur la suite \suite{v}{n}{} montre que c'est une suite géométrique de raison $q=0,8$.

Son premier terme est : $v_0=u_0-250=\numprint{1500}-250=\numprint{1250}$.

\item D'après le cours, $v_n=v_0\times q^n$ donc $v_n=\numprint{1250}\times0,8^n$.

$v_n=u_n-250$, donc $u_n=v_n+250$, soit \underline{$u_n=\numprint{1250}\times0,8^n+250$}.

\item La surface de terrain engazonné au bout de 4 années correspond à $u_4$.

\begin{align*}
u_4 & = 250+\numprint{1250}\times0,8^4\\
& = 762
\end{align*}

\underline{Au bout de 4 années, 762 m$^2$ de terrain seront engazonnés.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \begin{align*}
250+\numprint{1250}\times0,8^n<500 & \Leftrightarrow \numprint{1250}\times0,8^n<250\\
& \Leftrightarrow 0,8^n<\dfrac{250}{\numprint{1250}}\\
& \Leftrightarrow \ln\left(0,8^n\right)<\ln\dfrac{250}{\numprint{1250}}\\
& \Leftrightarrow n\ln 0,8 < -1,609437912\\
& \Leftrightarrow n > \dfrac{-1,609437912}{\ln 0,8}\qquad(\ln 0,8<0\text{ donc on change le sens})\\
& \Leftrightarrow n>7,21
\end{align*}

\underline{Ainsi, au bout de 8 années, la surface de terrain engazonné sera inférieure à 500 m$^2$.}

\item L'algorithme complété :

\begin{center}
\begin{tabular}{|SlSl|}
\hline
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Initialisation}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{u prend la valeur \numprint{1500}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{n prend la valeur 0}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Traitement}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Tant que \textbf{u$\pmb{\geqslant}$500} faire}\\
& u prend la valeur \textbf{0,8u+50}\\
& n prend la valeur \textbf{n+1}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Fin Tant que}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Sortie}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Afficher n}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Claude a en effet raison car $\limite{n}{+\infty}{0,8^n}=0$, donc $\limite{n}{+\infty}{u_n}=250$.

\underline{Ainsi, dans le pire des cas, il restera 250 m$^2$ de terrain engazonné.}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 {\small Candidats ayant suivis l'enseignement de Spécialité}}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Le graphe probabiliste est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[label/.style={draw,circle}]
\node[label] (A) at (0,0) {A};
\node[label] (I) at (2,0) {B};
\draw[->,>=stealth'] (A.north east) to[bend left=60] (I.north west);
\node at (1,1) {0,1};
\draw[->,>=stealth'] (I.south west) to[bend left=60] (A.south east);
\node at (1,-1) {0,4};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (A.west) to[loop left] (A.west);
\node[left] at (-1.5,0) {0,9};
\draw[<-,>=stealth',yscale=15,xscale=3] (I.east) to[loop right] (I.east);
\node[right] at (3.5,0) {0,6};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition M associé au graphe est :
\[
\text{M}=\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,4 & 0,6\end{pmatrix}
\]

\item Au premier lancer,Alice a autant de chances d'atteindre sa cible que de la manquer ; ainsi, $a_1=b_1=0,5$ donc $P_1=\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}$.

\begin{align*}
P_2 & =P_1M\\
& =\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,4 & 0,6\end{pmatrix}\\
& =\begin{pmatrix}
0,5\times0,9+0,5\times0,4 & 
0,5\times0,1+0,5\times0,6
\end{pmatrix}\\
P_2 & = \begin{pmatrix}0,65 & 0,35\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a :
\[ P_{n+1}=P_nM\]
d'où :
\[ P_{n+1}=\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,4 & 0,6\end{pmatrix}\]
Ainsi,
\[
P_{n+1}=\begin{pmatrix}
0,9a_n+0,4b_n & 0,1a_n+0,6b_n
\end{pmatrix}
\]
Le premier coefficient de $P_{n+1}$ étant $a_{n+1}$, on a bien :
\[ a_{n+1}=0,9a_n+0,4b_n.\]

\item On sait que $a_n+b_n=1$, donc $b_n=1-a_n$. Ainsi, la relation trouvée précédemment donne :
\begin{align*}
a_{n+1} & = 0,9a_n+0,4b_n\\
& = 0,9a_n+0,4(1-a_n)\\
& = 0,9a_n+0,4-0,4a_n\\
\Aboxed{a_{n+1}& = 0,5a_n+0,4}
\end{align*} 
\end{enumerate}

\newpage

\item
\begin{enumerate}
\item On a l'algorithme complété suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|SlSl|}
\hline
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Entrées}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Saisir n}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Traitement}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{a prend la valeur 0,5}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{b prend la valeur 0,5}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Pour i allant de 2 à n}\\
& a prend la valeur $\pmb{0,5}\times a+\pmb{0,4}$\\
& b prend la valeur 1-a\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Fin Pour}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{\textbf{Sortie}}\\
\multicolumn{2}{|Sl|}{Afficher a, b}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Pour $n=5$, l'algorithme affiche $a=\numprint{0,78125}$ et $b=\numprint{0,21875}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = a_{n+1}-0,8\\
& = 0,5a_n+0,4-0,8\\
& = 0,5a_n-0,4\\
& = 0,5(a_n-0,8)\\
& = 0,5u_n
\end{aligned}$

Cette dernière relation de récurrence montre que \suite{u}{n}{} est géométrique de raison $q=0,5$.

Son premier terme est $u_1=a_1-0,8=0,5-0,8=-0,3$.

\item D'après le cours, $u_n=u_1\times q^{n-1}$, donc $u_1=-0,3\times0,5^{n-1}$.

$u_n=a_n-0,8$ donc $a_n=u_n+0,8$, c'est-à-dire \underline{$a_n=0,8-1,3\times0,5^{n-1}$}.

\item $\limite{n}{+\infty}{0,5^{n-1}}=0$ car $0<0,5<1$. Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{a_n}=0,8$.

\`A long terme, on peut donc penser qu'il y a 8 chances sur 10 pour qu'Alice atteigne la cible.\label{rep}

\item On aurait pu chercher l'état stable $P_\infty=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}$ tel que :
\[ P_\infty = P_\infty M.\]
\[ \begin{pmatrix}a & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
\]
On arrive alors au système :
\[
\begin{cases}
a & = 0,9a+0,4b\\
b & = 0,1a+0,6b
\end{cases}
\]

Le deux équations sont équivalentes en théorie ; on doit donc remplacer l'une d'elles (par exemple la deuxième) par l'équation : $b = 1-a$, ce qui donne :

\[
\begin{cases}
0,1a & =0,4(1-a)\\
b & = 1-a
\end{cases}
\]

Soit :

\[
\begin{cases}
0,5a & = 0,4\\
b & = 1-a
\end{cases}
\]

La première équation donne alors $a=0,8$, ce qui correspond au résultat trouvé à la question \ref{rep}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
p & =\probavar[\geqslant]{X}{30}\\
& \proba{30\leqslant X\leqslant 60}\\
& = \dfrac{60-30}{60-20}\\
& = \dfrac{30}{40}\\
& = 0,75
\end{aligned}$

\medskip

\underline{La probabilité pour qu'Antoine s'entra\^ine plus de 30 minutes est $p=0,75$.}

\item $\esp{X}=\dfrac{20+60}{2}=40$.

\underline{La durée moyenne de son entrainement est donc 40 minutes.}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item On a, par propriété sur la loi normale :
\[
\probavar[\leqslant]{D}{57}=0,5.
\]

\underline{Ainsi, $p_1=0,5$.}

\item \`A l'aide de la calculatrice, on a :
\[
\proba{56,75\leqslant D\leqslant57,25 }\approx0,976957.
\]

\underline{Ainsi, $p_2\approx0,977$.}

\item $p_3=1-p_2$, donc \underline{$p_3=0,023$.}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item La fréquence observée des personnes satisfaites est :
\[ f=\dfrac{66}{80}=0,825.\]

\item Un intervalle de confiance au seuil de \pourcent{95} est donné par la formule :
\[ \intervFF{f-\frac{1}{\sqrt{n}}}{f+\frac{1}{\sqrt{n}}}\]
avec ici $n=\numprint{14000}$.

On a alors l'intervalle :
\[
\intervFF{0,816}{0,834}.
\]
(Remarque : la borne inférieure doit \^etre arrondie par défaut et la borne supérieure, par excès)
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4}

\textbf{A. Étude graphique :}

\begin{enumerate}
\item La concentration à l'état initial est de 2 g/L.
\item Pendant les 6 premières heures, la concentration est supérieure ou égale à 0,4 g/L.
\end{enumerate}

\textbf{B. Étude théorique :}

\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est de la forme $u\times v$ avec $u(x)=x+2$ et $v(x)=\e^{-0,5x}$.

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
f'(x) & =(u'v+uv')(x)\\
& = 1\times\e^{-0,5x}+(x+2)(-0,5\e^{-0,5x}\\
& = \e^{-0,5x}\left[1+(x+2)(-0,5)\right]\\
& = \e^{-0,5x}(1-0,5x-1)\\
\Aboxed{f'(x)& = -0,5x\e^{-0,5x}}
\end{aligned}$

\medskip

Sur \intervFF{0}{15}, $-0,5x<0$ et une exponentielle est toujours strictement positive.

Ainsi, on a le tableau de variation suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.5,$f(x)$/1}{0,15}
\tkzTabVar{+/2,-/$f(15)$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $f(15)\approx0,009<0,1$ et $f(0)=2>0,1$.

De plus, $f$ est continue et strictement décroissante sur \intervFF{0}{15} donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0,1$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFF{0}{15}.

\item On s'aide de la calculatrice pour déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude un dixième.

\underline{On trouve alors $9,4\leqslant\alpha\leqslant9,5$.}

\item La dérivée seconde de $f$ est :
\[ f''(x)=(0,25x-0,5)\e^{-0,5x}.\]
Ainsi,
\begin{align*}
f''(x)\geqslant0 & \Leftrightarrow 0,25x-0,5\geqslant0\\& \Leftrightarrow 0,25x \geqslant 0,5\\
& \Leftrightarrow x \geqslant \dfrac{0,5}{0,25}\\
& \Leftrightarrow x \geqslant 2
\end{align*}

Ainsi, $f$ est concave sur \intervFF{0}{2} et convexe sur \intervFF{2}{15}, avec un point d'inflexion pour $x=2$.
\end{enumerate}

\textbf{C. Interprétation des résultats :}

\begin{enumerate}
\item Le médicament est actif pendant 9 heures et 30 minutes (c'est $\alpha$ exprimé en heures, minutes).

\item Au bout de deux heures, la baisse de concentration ralentit (c'est l'abscisse du point d'inflexion).
\end{enumerate}
\end{document}