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\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}
\selectfont{\Large Sujet}

\bigskip

\emph{{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
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% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
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\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
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% Partie corrigé
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\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}
\selectfont{\Large Corrigé}

\bigskip

\emph{{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
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% Titre
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% Sections
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% Partie

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% Itemize

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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Baccalauréat Série ES\\
Métropole, juin 2015}

\section*{Exercice 1 (6 points) - Commun à tous les candidats}

Le service marketing d'un magasin de téléphonie a procédé à une étude du comportement de sa clientèle. Il a ainsi observé que celle-ci est composée de \pourcent{42} de femmes, \pourcent{35} des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de \pourcent{55} pour les hommes.

\medskip

Une personne entre dans le magasin. On note :

\begin{itemize}
\item $F$ l'événement : \og La personne est une femme \fg{} ;
\item $R$ l'événement : \og La personne repart sans rien acheter \fg{} ;
\end{itemize}

Pour tout événement $A$, on note $\overline{A}$ son événement contraire et $p(A)$ sa probabilité.

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.\\
Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu'elle reparte sans rien acheter.
\item Montrer que $p(R) = 0,534$.
\end{enumerate}

\partie{B}

Un client du magasin s'inquiète de la durée de vie du téléphone de type T$_1$ qu'il vient de s'offrir.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type T$_1$ prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 48$ et d'écart-type $\sigma = 10$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité que le téléphone de type T$_1$ prélevé fonctionne plus de 3~ans, c'est-à-dire 36 mois, est d'environ $0,885$.
\item On sait que le téléphone de type T$_1$ prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne moins de 5 ans ?
\end{enumerate}
 
\newpage

\partie{C}

Le gérant du magasin émet l'hypothèse que \pourcent{30} des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur, \ldots).

Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95} de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille \numprint{1500}.
\item Le service marketing interroge un échantillon de \numprint{1500} personnes. L'étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires. Doit-on rejeter au seuil de \pourcent{5} l'hypothèse formulée par le gérant ?
\end{enumerate}
 
\section*{Exercice 2 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par :
\[
u_n = \numprint{2000} \times  1,008^{n-1}\;,
\]

où $u_n$ représente le coût en euros du forage de la $n$-ième dizaine de mètres.

On a ainsi $u_1 = \numprint{2000}$ et $u_2 = \numprint{2016}$, c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte \numprint{2000}~euros, et celui des dix mètres suivants coûte \numprint{2016}~euros.

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_3$ puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul :
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et préciser la nature de la suite \suite{u}{n}{}.
\item En déduire le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la $(n + 1)$-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la $n$-ième dizaine de mètres.
\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
INITIALISATION\\
$u$ prend la valeur \numprint{2000}\\
$S$ prend la valeur \numprint{2000}\\
TRAITEMENT \\
Saisir $n$\\
Pour $i$ allant de 2 à $n$\\ 
\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $u \times 1,008$\\
\hspace{1cm}$S$ prend la valeur $S + u$\\
Fin Pour\\
SORTIE\\
Afficher $S$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La valeur de $n$ saisie est 5.

\begin{enumerate}
\item Faire fonctionner l'algorithme précédent pour cette valeur de $n$.

Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter en ajoutant autant de colonnes que
nécessaire).

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Valeur de $i$& \cellcolor{gray}&2	&\multicolumn{1}{|X}{~}\\ \hline
Valeur de $u$&\numprint{2000} &	&\multicolumn{1}{|X}{~}\\ \hline
Valeur de $S$&\numprint{2000}	&	&\multicolumn{1}{|X}{~}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Quelle est la valeur de $S$ affichée en sortie ? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
\end{enumerate}

\item On  note $S_n = u_1 + u_2 + \cdots  + u_n$  la somme des $n$ premiers termes de la suite \suite{u}{n}{},  $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que :
\[
S_n = - \numprint{250000} + \numprint{250000} \times  1,008^n.
\]
Le budget consenti pour le forage du premier puits est de \numprint{125000} euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.
\begin{enumerate}
\item Calculer la profondeur maximale par la méthode de votre choix
(utilisation de la calculatrice, résolution d'une inéquation, \ldots).
\item  Modifier l'algorithme précédent afin qu'il permette de répondre au problème posé.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\section*{Exercice 2 (5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\partie{A}

On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (2.5,4.5);
\coordinate (B) at (4.5,4.5);
\coordinate (C) at (2.7,2.5);
\coordinate (D) at (1,2.1);
\coordinate (E) at (3,0.7);
\coordinate (F) at (4.3,2.7);
\coordinate (G) at (6.8,3);
\coordinate (H) at (6.6,1);
\draw (A) -- (D) -- (E) -- (C) -- (F) -- (B) -- (G) -- (H) -- (E) -- (F) -- (B);
\draw (F) -- (H) -- (B) -- (A);
\foreach\S/\p in {%
							A/{above left},%
							B/above,%
							C/left,%
							D/left,%
							E/below,%
							F/{above right},%
							G/right,%
							H/{below right}}
{
\fill[purple] (\S) circle (2pt) node[\p] {\S};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer en justifiant si ce graphe:
\begin{enumerate}
\item est connexe;
\item admet une chaîne eulérienne.
\end{enumerate}
\newpage
\item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.

On donne :

\[
M^3 = \begin{pmatrix}
0 	&5 	&2 	&3 	&2 	&2 	&1 	&3\\
5	&4	&3	&2	&5	&9	&6	&8\\
2	&3	&2	&1	&6	&6	&3	&3\\
3	&2	&1	&0	&5	&3	&2	&2\\
2	&5	&6	&5	&4	&8	&3	&9\\
2 	&9 	&6 	&3 	&8 	&6 	&3 	&9\\
1	&6	&3 	&2 	&3 	&3 	&2 	&6\\
3	&8	&3 	&2	&9	&9 	&6 	&6\\
\end{pmatrix}
\]

Donner, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à B.
\end{enumerate}

\partie{B}

Un club alpin souhaite proposer à ses membres des randonnées de plusieurs jours dans les Alpes. À cet effet, huit refuges notés A, B, C, D, E, F, G et H ont été sélectionnés.

Le graphe $\mathcal{G}$ de la partie A permet de visualiser les différents itinéraires possibles, les sommets représentant les refuges et les arêtes schématisant tous les sentiers de randonnée balisés les reliant.

\begin{enumerate}
\item D'après l'étude effectuée dans la partie A, le club alpin est-il en mesure de proposer:
\begin{enumerate}
\item un itinéraire au départ du refuge A qui passerait par tous les refuges en empruntant une fois et une seule fois chacun des sentiers? Si oui, proposer un tel itinéraire ;
\item des itinéraires de trois jours (un jour correspondant à une liaison entre deux refuges) reliant le refuge E au refuge B ? Si oui, combien peut-il en proposer?
\end{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ est complété ci-dessous par la longueur en kilomètres de chacun des sentiers.

\begin{center}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (2.5,4.5);
\coordinate (B) at (4.5,4.5);
\coordinate (C) at (2.7,2.5);
\coordinate (D) at (1,2.1);
\coordinate (E) at (3,0.7);
\coordinate (F) at (4.3,2.7);
\coordinate (G) at (6.8,3);
\coordinate (H) at (6.6,1);
\draw (A) -- (D) 
node[midway,fill=white,scale=0.75] {14} -- (E) node[midway,fill=white,scale=0.75] {10} -- (C) node[midway,fill=white,scale=0.75] {13} -- (F) node[midway,fill=white,scale=0.75] {10} -- (B) node[midway,fill=white,scale=0.75] {9} -- (G) 
node[midway,fill=white,scale=0.75] {16} -- (H) node[midway,fill=white,scale=0.75] {11} -- (E) node[midway,fill=white,scale=0.75] {10} -- (F) node[midway,fill=white,scale=0.75] {16};% -- (B) node[midway,fill=white,scale=0.75] {19};
\draw (F) -- (H) node[midway,fill=white,scale=0.75] {11} -- (B) node[midway,fill=white,scale=0.75] {21} -- (A) node[midway,fill=white,scale=0.75] {12};
\foreach\S/\p in {%
							A/{above left},%
							B/above,%
							C/left,%
							D/left,%
							E/below,%
							F/{above right},%
							G/right,%
							H/{below right}}
{
\fill[purple] (\S) circle (2pt) node[\p] {\S};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{center}

Le club alpin désire aussi proposer à ses membres l'itinéraire le plus court reliant A à H.

Déterminer cet itinéraire et en préciser la longueur en kilomètres.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (6 points) - Commun à tous les candidats}

La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle \intervFF{-4}{3}. Les points A d'abscisse $-3$ et B\coord{0}{2} sont sur la courbe $(\mathcal{C})$.

Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe $(\mathcal{C})$ respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\draw[gray,dashed] (-5,-6) grid[ystep=2] (3.5,22);
\draw[thick,->,>=latex] (-5,0) -- (3.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-6) -- (0,22);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-4,-2,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22}
{
	\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\y};
}
\node[below right] at (0,0) {0};
\node[above left] at (0,0) {0};
\draw[thick,purple] plot[domain=-4:3,samples=100] (\x,{-2+(\x+4)*exp(-\x)});
\node at (-3.5,2) {$\color{purple}(\cal C)$};
\draw[<->,>=latex,violet,thick] (-4,{-2+(-3+4)*exp(3)}) -- (-2,{-2+(-3+4)*exp(3)});
\fill[blue] (-3,{-2+(-3+4)*exp(3)}) circle (1pt and 2pt) node[above] {A};
\draw[<->,>=latex,violet,thick] (-2,8) -- (2,-4);
\fill[blue] (0,2) circle (1pt and 2pt) node[above right] {B};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\textbf{Les parties  A et B sont indépendantes}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item\label{ex3q1} Par lecture graphique, déterminer :
\begin{enumerate}
\item $f'(-3)$ ;
\item\label{ex3q1b} $f(0)$ et $f'(0)$.
\end{enumerate}
\item\label{ex3q2} La fonction $f$ est définie sur \intervFF{-4}{3} par :
\[
f(x) = a + (x + b)\e^{-x}\;,
\]
où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on va déterminer dans cette partie.
\begin{enumerate}
\item\label{ex3q2a} Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de \intervFF{-4}{3}.
\item À l'aide des questions \ref{ex3q1}\ref{ex3q1b} et \ref{ex3q2}\ref{ex3q2a}, montrer que les nombres $a$ et $b$ vérifient le système suivant :
\[
\begin{cases}
a+b=2\\
1-b=-3
\end{cases}
\]
\item Déterminer alors les valeurs des nombres $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{B}

On admet que la fonction $f$ est définie sur \intervFF{-4}{3} par :
\[
f(x)=-2+(x+4)\e^{-x}.
\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout réel $x$ de \intervFF{-4}{3}, $f'(x)=(-x-3)\e^{-x}$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur \intervFF{-4}{-3}.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFF{-3}{3}, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près par défaut.
\item On souhaite calculer l'aire $S$, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-3$ et $x=0$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer, en justifiant, cette aire à l'aide d'une intégrale.
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|Xr}
\hline
1						& $F(x) :=-2x+(-x-5)*\text{exp}(-x)$&\\\hline
\multicolumn{1}{c|}{}	&//Interprète $F$&\\\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{}	&// Succès lors de la compilation $F$&\\\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{}	&			&$x \mapsto - 2*x + (- x - 5)* \text{exp}(-x)$\\\hline
2						&derive $(F (x))$&\\\hline
\multicolumn{1}{c|}{}	&			&$-\text{exp}(-x)-\text{exp}(-x)*(-x - 5) - 2$\\\hline
3&\small simplifier$(-\text{exp}(-x)-\text{exp}(-x)*(- x-5) -2)$&\\\hline
\multicolumn{1}{c|}{}&&$x*\text{exp}(-x) + 4 *\text{exp}(-x) - 2$\\\cline{2-3}
\end{tabularx}
\end{center}

À l'aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l'aire $S$ puis sa valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\section*{Exercice 4 (3 points) - Commun à tous les candidats}

On considère la fonction $f$ définie sur \intervOO{0}{+\infty} par :
\[
f(x)=3x-3x\ln(x).
\]
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.

\medskip

Quelle est la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ ?

\newpage\corrige{Baccalauréat Série ES\\
Métropole, juin 2015}

\section*{Exercice 1 (6 points) - Commun à tous les candidats}
\partie{A}
\begin{enumerate}
\item L'arbre pondéré correspondant à la situation est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\node (omega) at (0,0) {$\Omega$};
\node (A) at (2,1) {$F$};
\node (AB) at (2,-1) {$\overline{F}$};
\node (AR) at (4,1.5) {$R$};
\node (ARB) at (4,0.5) {$\overline{R}$};
\node (ABR) at (4,-.5) {$R$};
\node (ABRB) at (4,-1.5) {$\overline{R}$};
\draw (omega) -- (A) node[midway,fill=white]  {0,42}  -- (AR) node[midway,fill=white]  {0,65} ;
\draw (A) -- (ARB) node[midway,fill=white]  {0,35} ;
\draw (omega) -- (AB) node[midway,fill=white]  {0,58}  -- (ABR) node[midway,fill=white]  {0,45};
\draw (AB) -- (ABRB) node[midway,fill=white]  {0,55};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Nous cherchons ici à calculer $p(F\cap R)$. D'après l'arbre pondéré, nous avons :
\[
p(F\cap R)=p(F)\times p_F(R)=0,42\times0,65=\underline{0,273}.
\]
\item D'après la formule des probabilités totales, nous avons :
\begin{align*}
p(R) & = p(R\cup F)+p(R\cup\overline{F})\\
& = 0,273+0,58\times0,45\\
\Aboxed{p(R) & = 0,534}
\end{align*}
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item On souhaite ici justifier que $p(X>36)\approx0,886$.

On calcule donc, à l'aide de la calculatrice : 
\[
p(X>36)=1-p(X\leqslant36)\approx0,884930329778.
\]
On obtient bien la valeur attendue si l'on arrondit au millième.

\item On souhaite déterminer $p_{(X>36)}(X<60)$. On a :
\begin{align*}
p_{(X>36)}(X<60) & = \dfrac{p(36<X<60)}{p(X>36)}\\
& = \dfrac{p(X<60)-p(X<36)}{p(X>36)}\\
& \approx \dfrac{0,770}{0,886}\\
\Aboxed{p_{(X>36)}(X<60) & \approx 0,870}
\end{align*}
\end{enumerate}

\partie{C}

\begin{enumerate}
\item On utilise la formule :
\[
I_f=\intervFF{p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}{p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}\;,
\]
avec $p=\pourcent{30}=0,3$ et $n=\numprint{1500}$.

On obtient alors l'intervalle :
\[
\boxed{I_f=\intervFF{0,2768}{0,3232}}
\]
\item La fréquence des personnes ayant acheté uniquement des accessoires est :
\[
f=\dfrac{430}{\numprint{1500}}\approx0,287.
\]

On constate alors que $f\in I_f$ donc nous pouvons accepter l'hypothèse formulée par le gérant selon laquelle \pourcent{30} des clients achètent des accessoires.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\begin{enumerate}
\item $u_3=\numprint{2000}\times1,008^{3-1}\approx\numprint{2032,13}$.

Le coût total pour les 30 premiers mètres sera donc approximativement :
\[
\numprint{2000}+\numprint{2016}+\numprint{2032,13}= \underline{\numprint{6048,13}~\text{\euro}}.
\]
\item
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\numprint{2000}\times1,008^{n+1-1}}{\numprint{2000}\times1,008^{n-1}}=1,008$.

Ainsi, \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=1,008$ et de premier terme $u_1=\numprint{2000}$.

On a alors :
\[
\text{pour tout entier naturel }n,\qquad u_{n+1}=1,008u_n.
\]
On peut donc déduire que pour passer de $u_n$ ) $u_{n+1}$, on multiplie par $1+\dfrac{8}{100}$, ce qui signifie qu'il y a augmentation de \pourcent{8} du coût de la $(n+1)$-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la $n$-ième dizaine de mètres.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|Sl|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Valeur de $i$ & 
\cellcolor{gray} 	& 
2	& 
3 & 
4 & 
5\\ 
\hline
Valeur de $u$ & 
\numprint{2000} & 
\numprint{2016}	& 
\numprint{2032,13} & 
\numprint{2048,39} & 
\numprint{2064,77} \\
\hline
Valeur de $S$ & 
\numprint{2000}	& 
\numprint{4016}	& 
\numprint{6048,13} &
\numprint{8096,51} & 
\numprint{10161,29} \\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item La valeur de $S$ affichée est alors \numprint{10161,29} ; cela correspond à la somme totale que le forage coûte pour 50 mètres.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On cherche $n$ afin que $S_n\leqslant\numprint{125000}$.

On peut utiliser le tableur de la calculatrice pour calculer les premiers termes de $S_n$. On trouve alors $S_{50}\approx\numprint{122363}$ et $S_{51}\approx\numprint{125342}$.

Par conséquent, il faudra que le puits fasse au maximum 50 dizaines de mètres, soit 500 mètres.

\item On peut apporter à l'algorithme précédent la modification suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
\hline
INITIALISATION\\
$u$ prend la valeur \numprint{2000}\\
$S$ prend la valeur \numprint{2000}\\
\textcolor{red}{$n$ prend la valeur 0}\\
TRAITEMENT \\
\textcolor{red}{Tant que $S\leqslant\numprint{125000}$ faire :}\\ 
\hspace{1cm}\textcolor{red}{$n$ prend la valeur $n+1$}\\
\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $u \times 1,008$\\
\hspace{1cm}$S$ prend la valeur $S + u$\\
Fin \textcolor{red}{Tant que}\\
SORTIE\\
Afficher : \textcolor{red}{$10n$}\\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\paragraph*{Remarque :} nous avons initialisé $n$ à 0 (et non à 1) car dans la boucle, on incrémente cette valeur. Or, si $S$ prend une valeur supérieure à \numprint{125000}, on quitte la boucle en affichant la dernière valeur de $n$. Pour que cette valeur coïncide avec le nombre de dizaines de mètres, il ne faut pas que la valeur affichée soit celle pour laquelle on dépasse \numprint{125000} mais la valeur précédente. En initialisant $n$ à 0 et non à 1, on évite d'afficher \og $n-1$ \fg.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item \label{ex2speq1A}
\begin{enumerate}
\item Un graphe est connexe si l'on peut relier n'importe quel sommet à n'importe quel autre, ce qui est le cas ici donc $\mathcal{G}$ est connexe (il n'y a pas le moindre sommet isolé).

\item\label{ex2speq1aA} Le tableau résumant le degré de chaque sommet est :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*8{Sc|}}
\hline
Sommets & A & B & C & D & E & F & G & H\\
\hline
Degrés & 2 & 4 & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 4\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

D'après le théorème d'Euler, \emph{un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair vaut 0 ou 2}, ce qui est le cas ici (zéro en l'occurrence) ; donc $\mathcal{G}$ admet une chaîne eulérienne.
\end{enumerate}

\item \label{ex2speq2} Le coefficient $c_{2,5}$ vaut 5 (\og 2 \fg{} pour le sommet B et \og 5 \fg{} pour E).

\underline{Par conséquent, il y a 5 chemins de longueur 3 reliant E à B.}
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Cette question revient à savoir s'il existe une chaîne eulérienne dans $\mathcal{G}$, ce qui est le cas d'après la question \ref{ex2speq1A}\ref{ex2speq1aA} de la partie A.

Nous pouvons alors proposer le chemin : A - D - E - C - F - B - G - H.

\item Ici, nous voyons le lien qu'il y a entre cette question et la question \ref{ex2speq2} de la partie A. Il y a 5 possibilités d'itinéraires qui relient E à B.
\end{enumerate}

\item On cherche ici à déterminer l'itinéraire le plus court ; on va donc utiliser l'algorithme de Dijkstra.

\begin{center}
\arrayrulecolor{violet}
\begin{tabular}{|*{18}{Sc|}}
\hline
\rowcolor{purple!10}
A	& B 	& C	& D	& E	& F	& G	& H &	Sélection \\ 
\hline
0	& $\infty$ & $\infty$	& $\infty$ & $\infty$	& $\infty$ & $\infty$	& $\infty$ & 	A(0)\\ 
\hline
X 	& 12 (A)	& $\infty$ 	&14 (A)	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& B(12)\\ 
\hline
X & X 	& $\infty$ 	&14 (A)	& $\infty$ 	&21 (B)	&28 (B)	&33 (B)	&D(14)\\ \hline
X	& X 	& $\infty$ 	& X 	&24 (D)	&21 (B)	&28 (B)	&33 (B)	&F(21)\\ \hline
X & X 	&31 (F)	& X 	&24 (D)	& X 	&28 (B)	&32 (F)	&E(24)\\ \hline
X	& X 	&31 (F)	& X 	& X 	& X 	&28 (B)	&32 (F)	&G(28)\\ \hline
X & X 	&31 (F)	& X 	& X 	& X 	& X 	&32 (F)	&C(31)\\ \hline
X	& X 	& X 	& X 	& X 	& X 	& X 	&32 (F)	&H(32)\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Le chemin ainsi obtenu est : A - B - F - H et le parcours fera alors 32 km.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (6 points) - Commun à tous les candidats}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $f'(-3)$ représente le coefficient directeur de la tangente à $(\cal C)$ au point d'abscisse $-3$, c'est-à-dire en A. Or, cette tangente est horizontale donc son coefficient directeur est nul, donc : 
\[
\boxed{f'(-3)=0}
\]

\item \underline{$f(0)=2$} (c'est l'ordonnée du point B). Pour calculer $f'(0)$, on cherche le coefficient directeur de la tangente tracée au point B en utilisant la formule vue en Seconde :
\[
\dfrac{-4-8}{2-(-2)}=\dfrac{-12}{4}=-3.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{f'(0)=-3}
\]
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $f(x)=a+(x+b)\e^{-x}$. Pour calculer $f'(x)$ (qui est une somme), on doit calculer la dérivée de $a$ et de $(x+b)\e^{-x}$.

La dérivée de $a$ vaut 0 car c'est une fonction constante.

$(x+b)\e^{-x}$ est de la forme $uv$, avec $u(x)=x+b$ et $v(x)=\e^{-x}$ donc sa dérivée est $u'v+uv'$, où $u'(x)=1$ et $v'(x)=-\e^{-x}$.

On a alors :
\begin{align*}
f'(x) & = 1\times\e^{-x}+(x+b)\big(-\e^{-x}\big)\\
      & = \e^{-x}\big[1-(x+b)\big]\\
\Aboxed{f'(x) & = (1-b-x)\e^{-x}}      
\end{align*}

\item De la question \ref{ex3q1}\ref{ex3q1b} et dece qui vient d'être écrit, on peut établir :
\[
f(0)=2 \iff a+(0+b)\e^{-0}=2 \iff a+b=2\qquad\text{car }\e^0=1
\]
et
\[
f'(0)=-3\iff(1-b-0)\e^{-0}=-3\iff1-b=-3.
\]
Finalement, $a$ et $b$ satisfont le système :
\[
\begin{cases}
a+b=2\\
1-b=-3
\end{cases}
\]

\item De l'équation $1-b=-3$, on tire : $1+3=b$, soit \underline{$b=4$}.

De l'équation $a+b=2$, on déduit : $a=2-4$, soit \underline{$a=-2$}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item En remplaçant $a$ par $-2$ et $b$ par 4 dans l'expression de $f'(x)$, on obtient :
\[
f'(x)=(1-4-x)\e^{-x}
\]
soit : \underline{$f'(x)=(-x-3)\e^{-x}$}.

Une exponentielle étant toujours strictement positive sur $\R$, $f'(x)$ est toujours du signe de $-x-3$.

Or, $-x-3>0 \iff -x>3 \iff x<-3$, d'où le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=purple!10,colorL=purple!10,colorV=purple!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.6,$f$/0.8}{$-4$,$-3$,3}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Sur \intervFF{-3}{3}, $f$ est continue et strictement décroissante.

De plus, $f(-3)=-2+\e^3\approx18,09>0$ et $f(3)=-3+7\e^{-3}\approx-2,65<0$.

Ainsi, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, $f(x)=0$ admet une unique solution sur \intervFF{-3}{3}.

\`A l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha\approx0,895084$, soit à 0,01 près : \underline{$\alpha\approx0,90$}.

\item 
\begin{enumerate}
\item Sur \intervFF{-3}{0}, $f(x)\geqslant0$ donc l'aire délimitée par $(\cal C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-3$ et $x=0$ est donnée par l'intégrale $\dint_{-3}^0 f(x)\dx$.

\newpage

\item Le logiciel de calcul formel donne, avec $F(x)=-2x+(-x-5)\e^{-x}$ :
\[
F'(x)=x\e^{-x}+4\e^{-x}-2,\quad\text{soit :}F'(x)=(x+4)\e^{-x}-2=f(x).
\]

Par conséquent, $F$ est une primitive de $f$ et donc :
\begin{align*}
\dint_{-3}^0 f(x)\dx & = F(0)-F(-3)\\
										 & = \big[-2\times0 +(-0-5)\e^{-0}\big] - \big[-2\times(-3)+(-(-3)-5)\e^{-(-3)}\big]\\
										 & = -5-\big(6-2\e^3\big)\\
\Aboxed{	\dint_{-3}^0 f(x)\dx	 & = 2\e^3-11}
\end{align*}

\underline{L'aire cherchée est donc à peu près égale à 29,17 unités d'aire.}

\paragraph*{N.B.} Quitte à se servir d'un logiciel de calcul formel, on se demande pourquoi les concepteurs du sujet ne lui ont pas directement demandé de calculer cette aire... C'est en tout cas ce que ferait n'importe quelle personne sensée non ? Sans compter que l'on ne se sert même pas de la valeur de $\alpha$ après l'avoir trouvée... Ce genre de sujet contribue à mon avis à l'image déplorable qu'ont les maths aux yeux des élèves. Par pitié, concevez des sujets qui ont un sens plutôt que des sujets qui font faire des mathématiques pures dénuées de sens pratique !

[Coup de gueule perso. Reprenons la correction...]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 (3 points) - Commun à tous les candidats}

$f(x)=3x(1-\ln x)$ donc $f'(x)=3(1-\ln x)+3x\times\left(-\dfrac{1}{x}\right)=-3\ln x$.

Sur \intervOO{0}{1}, $\ln x<0$ donc $f'(x)>0$ ;

Sur \intervFO{1}{+\infty}, $\ln x\geqslant1$ donc $f'(x)\leqslant0$ d'où le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=purple!10,colorL=purple!10,colorV=purple!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.6,$f$/0.8}{$0$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,z,-}
\tkzTabVar{D-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Nous voyons alors qu'au point d'abscisse 1, la tangente $T$ est horizontale et que $\mathcal{C}_f$ est toujours au-dessous de $T$.
\end{document}