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\bigskip

\emph{{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
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\newpage
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\color{violet}Corrigé
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Baccalauréat Série ES\\
Amérique du nord,\\ mai 2016}

\section*{Exercice 1 (5 points) - Commun à tous les candidats}

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\partie{A}

À une sortie d'autoroute, la gare de péage comporte trois voies.

Une étude statistique a montré que :

\begin{itemize}
\item \pourcent{28} des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés; un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes;
\item \pourcent{52} des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, \pourcent{75} franchissent le péage en moins de 10 secondes ;
\item les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement  (pièces ou billets).
\end{itemize}

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les événements suivants :

\begin{itemize}
\item G : \og l'automobiliste emprunte la voie de gauche \fg{} ;
\item C  : \og l'automobiliste emprunte la voie du centre \fg{} ;
\item D  : \og l'automobiliste emprunte la voie de droite \fg{} ;
\item T  : \og l'automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes \fg.
\end{itemize} 

On note $\evcont{T}$ l'événement contraire de l'événement T.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

Cet arbre sera complété au fur et à  mesure de l'exercice.

\item Calculer la probabilité $\proba{C \cap T}$.
\item L'étude a aussi montré que \pourcent{70} des automobilistes passent le péage en moins de 10~secondes.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\proba{D \cap T} = 0,03$.
\item Calculer la probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B}

Quelques kilomètres avant la sortie de l'autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire V qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h$^{-1}$.

On admet que V suit la loi normale d'espérance $\mu = 120$ et d'écart-type $\sigma = 7,5$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $\proba{120 < V < 130}$. On arrondira le résultat au millième.
\item Une contravention est envoyée à l'automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h$^{-1}$.

Déterminer la probabilité qu'un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (5 points) - Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série~L}

Une société propose un service d'abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Le 1\ier{} janvier 2016, on compte \numprint{4000} abonnés.

À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d'un mois sur l'autre, \pourcent{8} des anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, \numprint{8000} nouvelles personnes s'abonnent.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'abonnés à  la date du 1\ier{} février 2016.

Pour la suite de l'exercice, on modélise cette situation par une suite numérique \suite{u}{n}{} où $u_n$  représente le nombre de milliers d'abonnés au bout de $n$ mois après le 1\ier{} janvier 2016.

La suite \suite{u}{n}{} est donc définie par : 

\[
u_0 = 4\quad  \text{et, pour tout entier naturel } \:n,\: u_{n+1} = 0,92 u_n + 8.\]

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Variables}\\
$N$ est un nombre entier naturel\\
$U$ est un nombre réel\\
\textbf{Traitement}\\
$U$ prend la valeur 4\\
$N$ prend la valeur 0\\
Tant que $U < 40$\\
\hspace{0,5cm}$U$ prend la valeur $0,92 \times U + 8$\\
\hspace{0,5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
		
Les valeurs de $U$ seront arrondies au dixième.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $U$& 4&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
Valeur de $N$& 0&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
Condition $U < 40$& vraie&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\item On considère la suite \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 100$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite \suite{v}{n}{} est géométrique de raison $0,92$ et calculer son premier terme $v_0$.
\item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 100 - 96 \times  0,92^n$.
\end{enumerate}

\item  En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à  partir de laquelle le nombre d'abonnés devient supérieur à  \numprint{70000}.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (5 points) - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement.

Jusqu'en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier.

Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d'avis: \pourcent{10} des abonnés à  la version papier passent à  la version numérique et \pourcent{6} des abonnés à  la version numérique passent à  la version papier.

On admet que le nombre global d'abonnés reste constant dans le temps.

Pour tout nombre entier naturel $n$, on note :

\begin{itemize}
\item $a_n$ la probabilité qu'un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l'année \mbox{$2010 + n$};
\item $b_n$ la probabilité qu'un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l'année $2010 + n$ ;
\item $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice correspondant à  l'état probabiliste de l'année $2010 + n$.
\end{itemize}

On a donc $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $P_0 = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où le sommet A représente l'état \og abonné à  la version papier\fg{} et B l'état \og abonné à  la version numérique \fg.
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre A, B des sommets.
\item Montrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,9& 0,1\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[
a_{n+1} = 0,9a_n + 0,06 b_n \qquad\text{et}\qquad b_{n+1} = 0,1 a_n + 0,94 b_n.
\]

\newpage

Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l'évolution des deux types d'abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1cm}|X|}
\multicolumn{1}{l}{\textbf{Algorithme 1}}&\multicolumn{1}{l}{}&\multicolumn{1}{l}{\textbf{Algorithme 2}}\\\cline{1-1}\cline{3-3}
Entrée&&Entrée\\
Saisir $n$&&Saisir $n$\\
Traitement&&Traitement\\
$a$ prend la valeur 1&&$a$ prend la valeur 1\\
$b$ prend la valeur $0$&&$b$ prend la valeur 0 \\
Pour $i$ allant de $1$ à  $n$&&Pour $i$ allant de $1$ à  $n$\\
\hspace{0,4cm}$a$ prend la valeur $0,9 \times a + 0,06 \times b$&&\hspace{0,4cm} $c$ prend la valeur  $a$\\
\hspace{0,4cm}$b$ prend la valeur $0,1 \times a + 0,94 \times b$&&\hspace{0,4cm}$a$ prend la valeur $0,9 \times a + 0,06 \times b$\\
\hspace{0,4cm}Afficher $a$ et $b$&&\hspace{0,4cm}$b$ prend la valeur $0,1 \times c + 0,94 \times b$\\
Fin Pour&&\hspace{0,4cm}Afficher $a$ et $b$\\
&&Fin Pour\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}
\end{center}

Sachant qu'un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser lequel en justifiant la réponse.
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,84 a_n + 0,06$.
\item On considère la suite \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = a_n - 0,375$.
		
Montrer que la suite \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer $u_0$.
\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a $a_n = 0,375 + 0,625 \times 0,84^n$.

\end{enumerate}
\item En résolvant une inéquation, déterminer l'année à  partir de laquelle la proportion d'abonnés à  la version papier du magazine devient inférieure à  \pourcent{50}.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (4 points) - Commun à tous les candidats}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle \intervFF{10}{50}. La probabilité que ce nombre appartienne à  l'intervalle \intervFF{15}{20} est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textcolor{purple}{a.} $\dfrac{5}{50}$ & 
\textcolor{purple}{b.} $\dfrac{1}{8}$ &
\textcolor{purple}{c.} $\dfrac{1}{40}$ &
\textcolor{purple}{d.} $\dfrac{1}{5}$
\end{tabularx}
\medskip

\item Le prix d'un produit est passé de 200~\euro{} à  100~\euro.

Cette évolution correspond à  deux baisses successives et identiques d'environ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textcolor{purple}{a.} \pourcent{50} &
\textcolor{purple}{b.} \pourcent{25} &
\textcolor{purple}{c.} \pourcent{29} &
\textcolor{purple}{d.} \pourcent{71}
\end{tabularx}

\newpage

\item On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle \intervFF{0}{18}.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-40)(20,50)
\multido{\n=0+2}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](\n,-40)(\n,50)}
\multido{\n=-40+10}{10}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-1.99,-40)(20,50)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=violet]{0}{18}{x 2 sub x dup mul 31 x mul sub 274 add mul 5 mul 83 div}
\uput[u](17,33){\color{violet}$\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}


On peut affirmer que :

\begin{enumerate}
\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{18} sont négatives sur l'intervalle \intervFF{0}{2}.
\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{18} sont négatives sur l'intervalle \intervFF{8}{12}.
\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{0}{18} sont croissantes sur l'intervalle \intervFF{0}{2}.
\item Toutes les primitives de la fonction $f$sur l'intervalle \intervFF{0}{18} sont croissantes sur l'intervalle \intervFF{8}{12}.
\end{enumerate}

\item Lors d'un sondage, \pourcent{53,5} des personnes interrogées ont déclaré qu'elles voteront pour le candidat A aux prochaines élections. L'intervalle de confiance au seuil de \pourcent{95} donné par l'institut de sondage est \intervFF{\pourcent{51}}{\pourcent{56}}. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textcolor{purple}{a.}	40 &
\textcolor{purple}{b.} 400&
\textcolor{purple}{c.} \numprint{1600}&
\textcolor{purple}{d.} \numprint{6400}
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 (6 points) - Commun à tous les candidats}

\partie{A : étude d'une fonction}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle \intervOF{0}{1,5} par :

\[f(x) = 9x^2(1 - 2\ln x) + 10.\]

\newpage

La courbe représentative de $f$ est donnée ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.2,xscale=5]
\draw[gray,dashed] (0,0) grid[xstep=0.5,ystep=5] (2,25);
\draw[thick,->,>=latex] (0,0) -- (2,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,0) -- (0,25);
\node[below left] at (0,0) {0};
\foreach\x in {0.5,1,1.5}
{
	\node[below] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {5,10,15,20}
{
	\node[left] at (0,\y) {$\y$};
}
\draw[violet,thick] plot[domain=0.01:1.5,samples=100] (\x,{9*\x*\x*(1-2*ln(\x))+10});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = - 36 x \ln x$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervOF{0}{1,5}.
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle \intervOF{0}{1,5}.
\item Déduire de la question précédente les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervOF{0}{1,5}.
\end{enumerate}

\item On admet que $f''(x) = - 36 \ln x - 36$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervOF{0}{1,5}.
	
Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion dont l'abscisse est $\e^{ -1}$.
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle \intervOF{0}{1,5} par :
	
\[F(x) = 10 x + 5x^3 - 6x^3\ln x.\]
	
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur \intervOF{0}{1,5}.
\item Calculer $\dint_1^{1,5}  f(x)\dx$. 
		
On donnera le résultat arrondi au centième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip	
	
\partie{B : application économique}
	
\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
\medskip
	
Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.
	
Le prix de l'action depuis un an et demi est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, où $x$ représente le nombre d'années écoulées depuis l'introduction en bourse et $f(x)$ représente le prix de l'action, exprimé en euros.
	
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
	
\smallskip
	
\textbf{Proposition 1 :}
	
\og Sur la période des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur. \fg

\smallskip
	
\textbf{Proposition 2 :}	

\og Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été inférieure à  17~\euro. \fg

\corrige

\section*{Exercice 1}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilités est le suivant : (les deux probabilités en rouge ont été trouvées ultérieurement)
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (G) at (2,2) {G};
\node (C) at (2,0) {C};
\node (D) at (2,-2) {D};
\node (GT) at (4,2.5) {T};
\node (GTB) at (4,1.5) {\evcont{T}};
%
\node (CT) at (4,.5) {T};
\node (CTB) at (4,-.5) {\evcont{T}};
%
\node (DT) at (4,-1.5) {T};
\node (DTB) at (4,-2.5) {\evcont{T}};
%
\draw (0,0) -- (G.west) node[midway,fill=white] {0,28};
\draw (0,0) -- (C.west) node[midway,fill=white] {0,52};
\draw (0,0) -- (D.west) node[midway,fill=white] {0,20};
%
\draw (G.east) -- (GT.west) node[midway,fill=white] {1};
\draw (G.east) -- (GTB.west) node[midway,fill=white] {0};
%
\draw (C.east) -- (CT.west) node[midway,fill=white] {0,75};
\draw (C.east) -- (CTB.west) node[midway,fill=white] {0,25};
%
\draw (D.east) -- (DT.west) node[midway,fill=white] {\color{red}0,15};
\draw (D.east) -- (DTB.west) node[midway,fill=white] {\color{red}0,85};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\proba{P \cap T}=\proba{C}\times\probacond{T}{C}=0,52\times0,75=\underline{0,39}$.

\item L'énoncé nous dit que $\proba{T}=0,7$.
\begin{enumerate}
\item D'après la formule des probabilités totales,
\[
\proba{T}=\proba{G \cap T} + \proba{C \cap T} + \proba{D \cap T}
\]
soit :
\[
0,7 = 0,28\times1 + 0,39 + \proba{D \cap T}
\]
donc :
\[
\proba{D \cap T} = 0,7-0,39-0,28=\underline{0,03}.
\]

\item On cherche :
\[
\probacond{T}{D}=\dfrac{\proba{D \cap T}}{\proba{D}}=\dfrac{0,03}{0,2}=0,15.
\]
Ainsi, la probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est égale à 0,15.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve : $\proba{120 < V < 130}\approx 0,409$.

\item On cherche : $\proba{V \geqslant 138} \approx 0,008$ (il faut ici entrer en borne inférieure : 138 et en borne supérieure : 10\verb+^+99).
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2 (non Spé.)}

\begin{enumerate}
\item Le nombre initial d'abonnés est \numprint{4000}.

\pourcent{8} se désabonnent, ce qui donne : $\numprint{4000}\times(1-0,08)=\numprint{4000}\times0,92=\numprint{3680}$.

\numprint{8000} nouvelles inscriptions se font donc au 1\ier{} février, il y aura $\numprint{3680}+\numprint{8000}=\numprint{11680}$ abonnés.

\item 
\begin{enumerate}
\item Le tableau rempli est :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|*7{Sc|}}
\hline		
Valeur de $U$ & 4 & 11,7 & 18,7 & 25,2 & 31,2 & 36,7 & 41,8 \\ 
\hline
Valeur de $N$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 
\hline
Condition $U < 40$ & vraie & vraie & vraie & vraie& vraie& vraie& fausse \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item La valeur affichée par l'algorithme est donc $N=6$ : c'est le rang du premier mois où le nombre d'abonnés dépassera \numprint{40000}.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} 
& = u_{n+1}-100\\
& = 0,92u_n+8-100\\
& = 0,92u_n-92\\
& = 0,92\left(u_n-\dfrac{92}{0,92}\right)\\[6pt]
& = 0,92(u_n-100)\\
v_{n+1} & = 0,92v_n.
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, \suite{v}{n}{} est géométrique de raison $q=0,92$.}

Son premier terme est : $v_0=u_0-100=4-100$, soit \underline{$v_0=-96$}.

\item \suite{v}{n}{} étant une suite géométrique, $v_n=v_0\times q^n$ donc ici,
\[
\boxed{v_n=-96\times0,92^n}
\]

\item On sait que $v_n=u_n-100$, donc $u_n=v_n+100$, soit : 
\[
\boxed{u_n=-96\times0,92^n+100}
\]
d'après la question précédente.
\end{enumerate}

\item On cherche le premier entier $n$ tel que $u_n\geqslant70$.
\begin{align*}
u_n\geqslant70 & \Longleftrightarrow -96\times0,92^n+100\geqslant70\\
& \Longleftrightarrow -96\times0,92^n\geqslant70-100\\
& \Longleftrightarrow -96\times0,92^n\geqslant-30\\
& \Longleftrightarrow 0,92^n \leqslant\dfrac{-30}{-96}\\
& \Longleftrightarrow \ln\left(0,92^n\right) \leqslant \ln\left(\dfrac{30}{96}\right)\\
& \Longleftrightarrow n\ln0,92 \leqslant-1,163\\
& \Longleftrightarrow n \geqslant \dfrac{-1,163}{\ln0,92} \quad \text{(on n'oublie pas que }\ln0,92<0\text{ car }0<0,92<1)\\
& \Longleftrightarrow n \geqslant 13,9
\end{align*}

\underline{Ainsi, c'est à partir du 14\ieme{} mois que le nombre d'abonnés sera supérieur à \numprint{70000}.}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2 (Spé.)}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Le graphe est le suivant :

\begin{center}
\tikzset{%
	fleche/.style args={#1}{%
		postaction = decorate,%
		decoration={%
			name=markings,
    		mark=at position #1 with {\arrow[scale=2]{>}}
    	}
	}
}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
% A -> B
\draw[fleche=0.5] (A) to[bend right=30] (B);
\node[below] at ($0.5*(A)+0.5*(B)+(0,-1)$) {0,1};
% B -> A
\draw[fleche=0.5] (B) to[bend right=30] (A);
\node[above] at ($0.5*(B)+0.5*(A)+(0,0.5)$) {0,06};
% A -> A
\draw[fleche=0.5,yscale=15,xscale=3] (A.west) to[loop left] (A.west);
\node at ($(A.west)+(-1.6,0)$) {0,9};
% B -> B
\draw[fleche=0.5,yscale=15,xscale=3] (B.east) to[loop right] (B.east);
\node at ($(B.east)+(1.6,0)$) {0,94};
%
\node[circle,draw,fill=white] at (A) {A};
\node[circle,draw,fill=white] at (B) {B};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition est : 
\[
\boxed{M=\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1\\
0,06 & 0,94
\end{pmatrix}}
\]

\item $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1\\
0,06 & 0,94
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\times0,9+0\times0,06 & 1\times0,1+0\times0,94
\end{pmatrix}$

\underline{On obtient bien : $P_1=\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\end{pmatrix}$.}
\end{enumerate}

\item L'algorithme à retenir est le l'algorithme 2.

En effet, dans le premier, dans la boucle, pour calculer $a_{n+1}$, on entre l'instruction : \og $a$ prend la valeur $0,9\times a+0,06\times b$ \fg, ce qui signifie que $a_{n+1}=0,9a_n+0,06b_n$.


Or, la ligne suivante utilise la lettre $a$ pour désigner $a_n$, ce qui n'est pas correct car à cette étape, $a$ désigne $a_{n+1}$. Il faut donc une lettre intermédiaire pour désigner $a_n$, ce que fait la lettre $c$ dans l'algorithme 2.

\item
\begin{enumerate}
\item On sait que $a_n+n_n=1$, donc $b_n=1-a_n$.

Ainsi, $a_{n+1}=0,9a_n+0,06(1-a_n)=0,9a_n+0,06-0,06a_n=0,84a_n+0,06$.

\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}
& = a_{n+1}-0,375\\
& = 0,84a_n+0,06-0,375\\
& = 0,84a_n-0,315\\
& = 0,84\left(a_n-\dfrac{0,315}{0,84}\right)\\
& = 0,84(a_n-0,375)\\
u_{n+1} & = 0,84u_n.
\end{aligned}$

Par conséquent, \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=0,84$ et de premier terme $u_0=a_0-0,375=1-0,375$ soit $u_0=0,625$.

\item \suite{u}{n}{}est géométrique donc $u_n=u_0\times q^n$ soit $u_n=0,625\times0,84^n$.

Or, $u_n=a_n-0,375$ donc $a_n=u_n+0,375=0,625\times0,84^n+0,375$.
\end{enumerate}

\item On cherche le premier entier $n$ tel que $a_n<0,5$
\begin{align*}
a_n<0,5  & \Longleftrightarrow 0,625\times0,84^n+0,375<0,5\\
& \Longleftrightarrow 0,625\times0,84^n<0,5-0,375\\
& \Longleftrightarrow 0,625\times0,84^n<0,125\\
& \Longleftrightarrow 0,84^n<\dfrac{0,125}{0,625}\\
& \Longleftrightarrow 0,84^n < 0,2\\
& \Longleftrightarrow \ln\left(0,84^n\right)<\ln0,2\\
& \Longleftrightarrow n\ln0,84<\ln0,2\\
& \Longleftrightarrow n > \dfrac{\ln0,2}{\ln0,84}\\
& \Longleftrightarrow n > 9,23
\end{align*}

Ainsi, c'est à partir de la 10\ieme{} année que la proportion d'abonnés à la version papier du magazine sera inférieure à \pourcent{50}.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}

\begin{enumerate}
\item Réponse \textcolor{purple}{b}. En effet, on  reconnaît ici une loi uniforme donc on calcule :

$\dfrac{20-15}{50-10}=\dfrac{5}{40}=\dfrac{1}{8}$.

\item Réponse \textcolor{purple}{c}. On cherche $x$ tel que $200\times(1-x)^2=100$, soit $(1-x)^2=0,5$, ou encore $1-x=\sqrt{0,5}$ et donc $x=1-\sqrt{0,5}\approx0,2929$, ce qui correspond à un pourcentage de \pourcent{29,29}.

\item Réponse \textcolor{purple}{d}. Le signe de $f$ (qui est la dérivée de ses primitives) donne les variations de ses primitives.

Sur \intervFF{8}{12}, on voit que $f(x)>0$ donc ses primitives sont croissantes sur cet intervalle.

\item Réponse \textcolor{purple}{c}. Un intervalle de confiance au seuil de \pourcent{95} est de la forme \intervFF{f-\dfrac{1}{\sqrt n}}{f+\dfrac{1}{\sqrt n}} où ici $f=0,535$.

La borne inférieure doit être égale à 0,51 donc il faut que $0,535-\dfrac{1}{\sqrt n}=0,51$. En testant les valeurs proposées, on trouve $n=\numprint{1600}$. C'est plus rapide que de résoudre l'équation :
\begin{align*}
0,535-\dfrac{1}{\sqrt n}=0,51 & \Longleftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt n}=0,535-0,51\\
& \Longleftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt n}=0,025\\
& \Longleftrightarrow \sqrt n = \dfrac{1}{0,025}=40\\
& \Longleftrightarrow n=40^2\\
& \Longleftarrow n=\numprint{1600}.
\end{align*}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $uv+10$ donc $f'=u'v+uv'+0$ avec :

$u(x)=9x^2 \qquad v(x)=1-2\ln x$

$u'(x)=18x\qquad v'(x)=-\dfrac{2}{x}$

\begin{align*}
f'(x) & = 18x\times(1-2\ln x)+9x^2\times\left(-\dfrac{2}{x}\right)\\[6pt]
& = 18x-36x\ln x- \dfrac{18x^2}{x}\\
& = 18x-36x\ln x-18x\\
\Aboxed{f'(x) & = -36x\ln x}
\end{align*}

\item Sur \intervOF{0}{1,5}, $x>0$ et $36>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-\ln x$.

Or, on sait que $\ln x>0$ si $x>1$ donc :
\begin{itemize}
\item $f'(x)>0$ sur \intervOO{0}{1};
\item $f'(x)<0$ sur \intervOF{1}{1,5}.
\end{itemize}

\item On en déduit que :
\begin{itemize}
\item $f$ est croissante sur \intervOO{0}{1};
\item $f$ est décroissante sur \intervOF{1}{1,5}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item La courbe de $f$ admet un point d'inflexion si $f''(x)$ change de signe.
\begin{align*}
-36\ln x-36 >0 & \Longleftrightarrow -36\ln x>36\\
& \Longleftrightarrow \ln x < -1\\
& \Longleftrightarrow x < \e^{-1}
\end{align*}

Ainsi, $f''(x)$ change de signe en $x=\e^{-1}$ donc la courbe de $f$ admet bien un point d'inflexion en $\e^{-1}$.

\item
\begin{enumerate}
\item Il faut dériver $F(x)$ et trouver $f(x)$ en n'oubliant pas que $6x^3\ln x$ est un produit (de la forme $uv$).
\begin{align*}
F'(x) & = 10\times1+5\times3x^2-\big[6\times3x^2\ln x+6x^3\times\dfrac{1}{x} \big]\\[6pt]
& = 10+15x^2-18x^2\ln x-6x^2\\
& = 9x^2-18x^2\ln x+10\\
& = 9x^2(1-2\ln x)+10\\
& = f(x).
\end{align*}

\underline{Donc $F$ est bien une primitive de $f$.}

\item $F(1,5)=15+5\times1,5^3-6\times1,5^3\ln1,5\approx23,66$.

$F(1)=15$

Donc $\dint_1^{1,5} f(x)\dx=F(1,5)-F(1)\approx8,66$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{B}

\textbf{Affirmation 1 : vraie.}


Au cours des 6 derniers mois, on est sur l'intervalle \intervFF{1}{1,5}.

$f(1)=19$ et $f(1,5)\approx13,83$.

Un quart de 19 est $\dfrac{19}{4}=4,75$ et $19-4,75=14,25$. De plus, $f(1,5)<14,25$ donc l'action a bien perdu plus d'un quart de sa valeur au cours des six derniers mois.

\bigskip

\textbf{Affirmation 2 : fausse.}

La valeur moyenne de l'action sur les six derniers mois est la valeur moyenne de la fonction $f$ :
\[
\mu=\dfrac{1}{1,5-1}\dint_1^{1,5}f(x)\dx\approx\dfrac{1}{0,5}\times8,66=17,32>17.
\]
\end{document}