\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{kpfonts}
\usepackage{cellspace,tabularx}
\usepackage{multicol}
\setlength{\cellspacetoplimit}{3pt}
\setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{shapes.geometric,decorations.markings}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{eso-pic}
\usepackage[urlcolor=purple,colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{numprint}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{ulem}
\usepackage{pdfpages}
\definecolor{violet}{cmyk}{0.28,0.89,0,0.28}
\definecolor{vert}{cmyk}{0.17,0,0.17,0.07}
\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[vert] (12cm,-4.5cm) rectangle +(4cm,-1.5cm);
% "Fiche"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}
\selectfont{\Large Corrigé}

\bigskip

\emph{{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont
\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
};
\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
}
% Sections
\titleformat{\section}[block]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\fontsize{16}{14}\selectfont\color{violet}}
{\thesection}
{1em}
{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont}
\setlength{\parindent}{0pt}

% Paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont\color{purple}}{\theparagraph}{1em}{}

% Subsection

\titleformat{\subsection}
{\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont\color{purple}}{\theparagraph}{1em}{}

% Partie

\newcommand{\partie}[1]{%
\begin{center}
\fontsize{20}{18}
\fontfamily{lmss}
\fontseries{b}
\fontshape{sc}
\selectfont
\color{violet}Partie #1
\end{center}
}

% Itemize

\setlist[itemize,1]{label={\color{purple}\textbullet}}
\setlist[itemize,2]{label={\color{purple}$\star$}}

% enumerate

\setlist[enumerate,1]{label={\color{purple}\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label={\color{purple}\alph*.}}

% footpage

\cfoot{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{white}\fcolorbox{violet}{violet}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

% headpage
\lhead{}
\chead{}
\rhead{}

\begin{document}
\includepdf[pages={1-8}]{sujetOBL}
\includepdf[pages={1,7-9}]{sujetSPE}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Baccalauréat Série ES\\
Pondichéry, avril 2016}

\section*{Exercice 1 - Commun à tous les candidats}

\begin{enumerate}
\item $f(x)=3x-x\ln x$ donc :
\begin{align*}
f'(x) & = 3\times1 - \left(1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}\right)\\
& = 3-(\ln x+1)\\
&=3-\ln x-1\\
\Aboxed{f'(x) & = 2-\ln x}\qquad \big(\text{Réponce (c)}\big)
\end{align*}

\item La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_1$ est :
\[u_1\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\]
donc ici, la somme demandée est :
\[
1\times\dfrac{1-2^{13}}{1-2}=\dfrac{2^{13}-1}{2-1}=2^{13}-1=\numprint{8191}\qquad \big(\text{Réponce (b)}\big)
\]

\item Procédons par élimination:
\begin{itemize}
\item Il y a 10 petits carreaux sous le segment entre 2 et 7, et il y en a 8 entre 3 et 7; par conséquent, $\rm P(3\leqslant X \leqslant 7)=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$. Ainsi, la réponse (a) est fausse.

\item $\probavar[\geqslant]{X}{4}=\dfrac{6}{10}=0,6$ car il y a 6 petits carreaux sous le segment entre 4 et 7.

De plus, $\rm P(2\leqslant X\leqslant 5)=\dfrac{6}{10}=0,6$ pour les mêmes raisons donc \uline{la réponse (b) est vraie}.

\item L'espérance mathématique est $\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{7+2}{2}=\dfrac{9}{2}$.
\end{itemize}

\item Un intervalle de confiance est $\intervFF{f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$. Son amplitude est sa longueur, donc ici égale à $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

On veut donc résoudre l'équation :
\begin{align*}
\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,02 & \Longleftrightarrow 2=0,02\sqrt{n}\\
& \Longleftrightarrow \dfrac{2}{0,02}=\sqrt{n}\\
& \Longleftrightarrow 100=\sqrt{n}\\
& \Longleftrightarrow n = 100^2=\numprint{10000}\qquad\big(\text{Réponse (c)}\big)
\end{align*}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Commun à tous les candidats}

\partie{A : étude graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.25,xscale=0.7]
\draw[gray,dashed] (0,0) grid (15.5,50.5);
\draw[very thick,->,>=latex] (-1,0) -- (15.5,0);
\draw[very thick,->,>=latex] (0,-1) -- (0,50.5);
\node[below left] at (0,0) {O};
\foreach\x in {1,2,...,15}
{
	\draw[very thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,scale=0.7] {\x};
}
\foreach\x in {2,4,...,50}
{
	\draw[very thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left,scale=0.7] {\x};
}
\draw[very thick,green!50!black,dashed,<->,>=stealth'] (0,{0.3*4.5*4.5-4.5+exp(-4.5+5)}) node[left,scale=0.5] {minimum} --(4.5,{0.3*4.5*4.5-4.5+exp(-4.5+5)}) -- (4.5,0) node[below, outer ysep=1em,scale=0.7] {4,5};
\draw[very thick,violet,dashed] (6,0) -- (6,18) -- (0,18);
\draw[very thick,violet,dashed] (6,5) -- (0,5);
\node[purple] at (2,45) {$\mathscr{C}$};
\node[blue] at (1,1) {$\Delta$};
\clip (0,0) rectangle (15.5,50.5);
\draw[thick,purple] plot[domain=0:15,samples=100] (\x,{0.3*\x*\x-\x+exp(-\x+5)});
\draw[thick,blue] plot[domain=0:15] (\x,{3*\x});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le coût quotidien de granulés est minimal pour une quantité de 4,5 tonnes.

\item
\begin{enumerate}
\item $C(6)\approx5$ et $R(6)=18$ donc le bénéfice quotidien pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus est $18-5=13$, soit \numprint{1300} \euro.

\item \og Résultat net positif \fg{} signifie $R(x)>C(x)$. La droite ($R(x)$) est au-dessus de la courbe ($C(x)$) sur approximativement \intervFF{2,8}{13,2} (avec la précision permise par le graphique).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B : étude d'une fonction}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
g'(x) & = -0,6\times1+(-1)\times\e^{-x+5}\\
\Aboxed{g'(x) & = -0,6-\e^{-x+5}}
\end{aligned}$

\item Une exponentielle étant toujours strictement positive, $-\e^{-x+5}<0$ et donc $g'(x)<0$ pour tout $x$, et a fortiori sur \intervFF{1}{15}.
\end{enumerate}

\item \label{pAq}
\begin{enumerate}
\item Le tableau de variation de $g$ est le suivant :

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorV=violet!10,colorC=violet!10,colorL=violet!10]{$x$/0.5,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{1,15}
\tkzTabLine{,-}
\tkzTabVar{+/$58$,-/$5$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\columnbreak

$g(1)=-0,6+4+\e^{-1+5}=3,4+\e^4\approx58$

\medskip

$g(15)=-0,6\times15+4+\e^{-15+5}\approx-5$
\end{multicols}

\item À l'aide de la calculatrice, on trouve \uline{$\alpha\approx6,9$}.

\item\label{pAq2c} On déduit le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorV=violet!10,colorC=violet!10,colorL=violet!10]{$x$/0.5,$g(x)$/1}{1,$\alpha$,15}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{C : application économique}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
D(x) & = R(x)-C(x)\\
& = 3x-\left(0,3x^2-x+\e^{-x+5}\right)\\
& = 3x-0,3x^2+x-\e^{-x+5}\\
\Aboxed{D(x) & = -0,3x^2+4x-\e^{-x+5}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
D'(x) & = -0,3\times2x+4\times1-(-1)\e^{-x+5}\\
& = -0,6x+4+\e^{-x+5}\\
\Aboxed{D'(x) & = g(x)}
\end{aligned}$

\item D'après la question \ref{pAq}\ref{pAq2c} de la partie B, on déduit :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorV=violet!10,colorC=violet!10,colorL=violet!10]{$x$/0.5,$D'(x)$/0.5,$D$/1}{1,$\alpha$,15}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item
\begin{enumerate}

\item D'après le tableau de variation de $D$, le bénéfice est maximal pour une quantité de $\alpha$ tonnes, soit à peu près \uline{6,9 tonnes}.

\item Le bénéfice maximal est donc  $D(6,9)\approx13,167$ soit \uline{\numprint{1317} \euro}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Commun à tous les candidats}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé, on a :
\begin{itemize}
\item $\proba{G}=0,49$
\item $\proba{T}=0,2$
\item $\probacond{R}{T}=0,906$
\item $\probacond{R}{G}=0,915$
\end{itemize}

\item ~\par 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (2,2) node[right] (G) {G} node[midway,fill=white] {0,49};
\draw (0,0) -- (2,0) node[right] (T) {T} node[midway,fill=white] {0,2};
\draw (0,0) -- (2,-2) node[right] (S) {S} node[midway,fill=white] {0,31};
%
\draw (G.east) -- ($(G.east)+(2,0.6)$) node[right] (GR) {R} node[midway,fill=white,scale=0.8] {0,915};
\draw (G.east) -- ($(G.east)+(2,-0.6)$) node[right] (GRB) {\evcont{R}} node[midway,fill=white,scale=0.8] {0,085};
%
\draw (T.east) -- ($(T.east)+(2,0.6)$) node[right] (TR) {R} node[midway,fill=white,scale=0.8] {0,906};
\draw (T.east) -- ($(T.east)+(2,-0.6)$) node[right] (TRB) {\evcont{R}} node[midway,fill=white,scale=0.8] {0,094};
%
\draw (S.east) -- ($(S.east)+(2,0.6)$) node[right] (SR) {R} node[midway,fill=white,scale=0.8] {?};
\draw (S.east) -- ($(S.east)+(2,-0.6)$) node[right] (SRB) {\evcont{R}} node[midway,fill=white,scale=0.8] {?};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La probabilité que le candidat se soit présenté au baccalauréat technologique et l'ait obtenu est :
\begin{align*}
\proba{T\cap R} & = \proba{T}\times\probacond{R}{T}\\
& = 0,2\times0,906\\
\Aboxed{\proba{T\cap R} & = \numprint{0,1812}}
\end{align*}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\proba{R} & = \proba{T\cap R} + \proba{G\cap R} + \proba{S\cap R}\\
0,878 & = \numprint{0,1812} + 0,49\times0,915 + \proba{S\cap R}\\
\proba{S\cap R} & = 0,878-\numprint{0,1812}- 0,49\times0,915 \\
\Aboxed{\proba{S\cap R} & = \numprint{0,24845}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\probacond{R}{S} & = \dfrac{\proba{S\cap R}}{\proba{S}}\\[6pt]\\
& = \dfrac{\numprint{0,24845}}{0,31}\\
& \approx0,801
\end{aligned}$

\uline{Ainsi, sachant que le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel, la probabilité qu'il ait été reçu est \pourcent{80,1}.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve :
\[
\boxed{\rm P(9\leqslant X_M \leqslant 16)\approx0,68}
\]

\item On cherche d'abord les courbes de Gauss symétriques par rapport à 12,5 (pour $X_M$) et 13,2 (pour $X_F$) : on peut exclure alors le graphique 3 qui comporte une courbe symétrique par rapport à 10.

L'écart-type pour $X_F$ étant plus petit que pour $X_M$, il faut que la courbe symétrique par rapport à 13,2 soit plus \og affinée \fg{} que l'autre. \uline{Cela correspond au graphique 2} (la courbe la \og plus à droite \fg{} doit être plus fine que l'autre).
\end{enumerate}


\section*{Exercice 4 - Commun à tous les candidats}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $u_1=u_0\times1,015-300$ (car $u_0$ augmente de \pourcent{1,5} puis baisse de 300 \euro).

\uline{Ainsi, $u_1=\numprint{5700}\times1,015-300=\numprint{5485,5}$.}

\item De la même façon on a :
\begin{align*}
u_2 & = u_1\times1,015-300\\
& = \numprint{5485,5}\times1,015-300\\
\Aboxed{u_2& = \numprint{5267,78}}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \raisebox{-1.9em}{\begin{tabular}{|>{\bfseries\arraybackslash}Sc|*7{Sc|}}
\hline
Valeur de u & 5700 & 5485,5 & 5267,78 & 5046,80 & 4822,50 & 4594,84 & 4363,76\\
\hline
Valeur de n & 0 & 1 & 2  & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
u $>$ 4500 & vrai & vrai& vrai & vrai& vrai & vrai &faux\\
\hline
\end{tabular}}

\item L'algorithme affiche la première valeur de $n$ pour laquelle $u<4500$ donc $n=6$.

Cela signifie qu'à partir de la 6\ieme{} mensualité, le montant à rembourser sera inférieur à \numprint{4500}~\euro.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = u_{n+1}-\numprint{20000}\\
			  & = 1,015u_n-300-\numprint{20000}\\
			  & = 1,015u_n-\numprint{20300}\\
			  & = 1,015\left(u_n-\dfrac{\numprint{20300}}{1,015}\right)\qquad\text{(on a ici factorisé par 1,015)}\\
			  & = 1,015\big(u_n-\numprint{20000}\big)\\
\Aboxed{v_{n+1} & = 1,015\times v_n}
\end{aligned}$

\item D'après la question précédente, on déduit que la suite \suite{v}{n}{} est géométrique de raison $q=1,015$ et de premier terme $v_0=u_0-\numprint{20000}=\numprint{5700}-\numprint{20000}=-\numprint{14300}$. Ainsi,
\[
\forall n\in\N,\qquad v_n=v_0\times q^n=-\numprint{14300}\times1,015^n\;,
\]
et donc, à partir de l'égalité : $v_n=u_n-\numprint{20000}$, on en déduit :
\[
u_n=v_n+\numprint{20000} 
\]
soit :
\[
\boxed{u_n=\numprint{20000}-\numprint{14300}\times1,015^n}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Au 26 avril 2017, $n=15$ et $u_{15}=\numprint{20000}-\numprint{14300}\times1,015^{15}\approx\numprint{2121,68}$.

\item On cherche $n$ pour que $u_n\leqslant0$ :
\begin{align*}
										& u_n \leqslant 0\\
\Longleftrightarrow & \numprint{20000}-\numprint{14300}\times1,015^n \leqslant 0\\
\Longleftrightarrow & -\numprint{14300}\times1,015^n\leqslant -\numprint{20000}\\
\Longleftrightarrow & \numprint{14300}\times1,015^n\geqslant \numprint{20000}\\
\Longleftrightarrow & 1,015^n \geqslant \dfrac{\numprint{20000}}{\numprint{14300}}\\
\end{align*}

\begin{align*}
\Longleftrightarrow & 1,015^n \geqslant1,4\\
\Longleftrightarrow & \ln\big(1,015^n\big) \geqslant \ln(1,4)\\
\Longleftrightarrow & n\ln(1,015)\geqslant\ln(1,4)\\
\Longleftrightarrow & n \geqslant \dfrac{\ln(1,4)}{\ln(1,015)}\\
\Longleftrightarrow & n \geqslant 22,56
\end{align*}

\uline{Il faudra donc 23 mois pour rembourser la totalité du crédit.}

\item $u_{22}\approx157,84$ donc \uline{la dernière mensualité sera de $157,84\times1,015=160,21$~\euro.}

\item L'acheteur verse 300~\euro{} pendant 22 mois, puis 160,21~\euro. 

Le coût total est donc :
\[
300\times22+160,21=\uline{\numprint{6760,21}~\text{\euro}}.
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 - Candidats ayant suivis l'enseignement de spécialité}

\begin{enumerate}
\item On a le graphe suivant :
\begin{center}
\tikzset{%
	fleche/.style args={#1}{%
		postaction = decorate,%
		decoration={%
			name=markings,
    		mark=at position #1 with {\arrow[scale=2]{>}}
    	}
	}
}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
% A -> B
\draw[fleche=0.5] (A) to[bend right=30] (B);
\node[below] at ($0.5*(A)+0.5*(B)+(0,-1)$) {0,1};
% B -> A
\draw[fleche=0.5] (B) to[bend right=30] (A);
\draw[fleche=0.5,yscale=15,xscale=3] (A.west) to[loop left] (A.west);
\node[above] at ($0.5*(B)+0.5*(A)+(0,0.7)$) {0,4};
\node at ($(A.west)+(-1.6,0)$) {0,9};
\draw[fleche=0.5,yscale=15,xscale=3] (B.east) to[loop right] (B.east);
\node at ($(B.east)+(1.6,0)$) {0,6};
\node[circle,draw,fill=white] at (A) {A};
\node[circle,draw,fill=white] at (B) {B};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition du graphe est :
\[
\boxed{
M=\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1\\
0,4 & 0,6
\end{pmatrix}}
\]

\item 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve :
\[
\boxed{
M^4 = \begin{pmatrix}
0,8125 & 0,1875\\
0,75 & 0,25
\end{pmatrix}}
\]

\item $\begin{pmatrix}a_5 & b_5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_0 & b_0\end{pmatrix}M^4=\begin{pmatrix}0,8125 & 0,1875 \end{pmatrix}$.

Ainsi, $a_5=0,8125$ : c'est la probabilité pour que la personne interrogée fasse sont 5\ieme{} achat sur Internet.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item L'état stable est défini par l'égalité : $P=PM$, soit $\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1\\
0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$, soit :
\[
\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0,9a + 0,4b & 0,1a + 0,6b\end{pmatrix}
\]
Ainsi, 
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a = 0,9a+0,4b\\
b = 0,1a+0,6b
\end{array}
\right.
\qquad
\text{soit :}
\qquad
0,1a-0,4b=0.
\]
De plus, par définition, $a+b=1$ ; on arrive alors au système :
\[
\boxed{
\left\{
\begin{array}{l}
0,1a-0,4b=0\\
a+b=1
\end{array}
\right.}
\]

\item De l'équation $a+b=1$, on déduit : $b=1-a$. On remplace alors dans la première équation : 
\[
0,1a-0,4(1-a)=0\Longleftrightarrow  0,1a-0,4+0,4a=0 \Longleftrightarrow 0,5a=0,4 \Longleftrightarrow a = \dfrac{0,4}{0,5}=0,8.
\]
Ainsi, $b=1-0,8=0,2$.

L'état stable est donc $P=\begin{pmatrix}0,8 & 0,2\end{pmatrix}$.

\item On déduit de la question précédente qu'à long terme, la probabilité pour que la personne fasse ses achats sur Internet est égale à 0,8.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On a : $a_n+b_n=1$ pour tout entier naturel $n$.

De plus, $P_{n+1}=P_n\times M$ donc $a_{n+1}=0,9a_n+0,4b_n=0,9a_n+0,4(1-a_n)$, soit :
\[
\boxed{a_{n+1}=0,5a_n+0,4}
\]

\item On a l'algorithme complété suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries\arraybackslash}Sl@{~~}Sl|}
\hline
Variables :& $N$ est un entier naturel\\
				  & $A$ est un nombre réel\\
Initialisation :& Affecter à $N$ la valeur 1\\
& Affecter à $A$ la valeur 1\\
Traitement  :& Tant que {\color{purple} $A>0,801$}\\
& \begin{tabular}{@{\qquad}|l}
Affecter à $A$ la valeur $0,5\times A+0,4$\\
Affecter à $N$ la valeur {\color{purple} $N+1$}
\end{tabular}\\
& Fin du Tant que\\
Sortie :& Afficher $N$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item À l'aide de la calculatrice, on trouve $n=9$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}