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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
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% "Fiche"
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\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
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\selectfont{\Large Sujet}

\bigskip

\emph{{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
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% Titre
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\color{purple}\Huge #1
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
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% Partie corrigé
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\newpage
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% "Fiche"
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\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}
\selectfont{\Large Corrigé}

\bigskip

\emph{{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
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% Partie barème
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\begin{center}
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\selectfont{\Large Barème}

\bigskip

\emph{{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
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% Sections
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% Paragraph

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% Partie

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\begin{center}
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\color{purple}Partie #1
\end{center}
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% Itemize

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% enumerate

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\lfoot{\fontfamily{lmss}\selectfont\color{purple}Document disponible sur mathweb.fr}
\rfoot{\fontfamily{lmss}\selectfont\color{purple}Stéphane Pasquet}

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\chead{}
\rhead{}

\hyphenpenalty=10000 % interdit la césure
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Baccalauréat Série ES\\
Sujet d'entraînement 2017}

\vspace*{-2em}

\section*{Exercice 1 - Commun à tous les candidats (5 points)}

\partie{A}

Sur une étagère de magasin se trouvent des paquets de céréales de trois marques différentes : \pourcent{50} sont de la marque du distributeur, \pourcent{20} sont d'une marque de haute qualité et le reste sont d'une marque qualité supérieure.

Un enfant se trouve au niveau de cette étagère et prend au hasard un paquet de ces céréales.

La mère de l'enfant remet le paquet de céréales sur l'étagère dans \pourcent{70} des cas s'il s'agit d'un paquet de marque distributeur et dans \pourcent{50} des cas s'il s'agit d'un paquet de haute qualité. On note $x$ la probabilité qu'elle remette le paquet de marque supérieure sur l'étagère.

On note :
\begin{itemize}
\item D l'événement : \og le paquet choisi est de la marque du distributeur \fg{} ;
\item H l'événement : \og le paquet choisi est de la marque de haute qualité \fg{} ;
\item S l'événement : \og le paquet choisi est de la marque de qualité supérieure \fg{} ;
\item R l'événement : \og la mère de l'enfant remet le paquet sur l'étagère \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre des probabilités suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (D) at (2,2) {D};
\node (H) at (2,0) {H};
\node (S) at (2,-2) {S};
\node (DR) at (4,2.5) {R};
\node (DRB) at (4,1.5) {\evcont{R}};
\node (HR) at (4,0.5) {R};
\node (HRB) at (4,-.5) {\evcont{R}};
\node (SR) at (4,-1.5) {R};
\node (SRB) at (4,-2.5) {\evcont{R}};
\draw (0,0) -- (D.west);
\draw (0,0) -- (H.west);
\draw (0,0) -- (S.west);
\draw (D.east) -- (DR.west);
\draw (D.east) -- (DRB.west);
\draw (H.east) -- (HR.west);
\draw (H.east) -- (HRB.west);
\draw (S.east) -- (SR.west);
\draw (S.east) -- (SRB.west);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Montrer que la probabilité que l'enfant prenne un paquet de marque distributeur et que sa mère le remette sur l'étagère est égale à 0,35.

\item On sait que la probabilité que la mère remette le paquet sur l'étagère est égale à 0,63.

Calculer la probabilité que la mère remette le paquet sur l'étagère sachant que l'enfant à pris un paquet de marque supérieure.

\item Sur une journée, il y a eu 20 mères qui sont passées devant cette étagère avec un enfant qui ont pris au hasard un paquet de céréales. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de mères ayant remis le paquet de céréales choisi par leur enfant.

Déterminer la probabilité (à 0,0001 près) qu'il y ait eu moins de 5 mères ayant remis le paquet de céréales sur l'étagère.
\end{enumerate}

\partie{B}

Sur un paquet de céréales de marque supérieure, on peut voir la mention : \og 350 g \fg.

Lors du contrôle de qualité dans l'usine qui confectionne ces paquets, on estime que \pourcent{98} d'entre eux sont conformes concernant la masse, c'est-à-dire ont une masse comprise entre 345 g et 355 g.

\begin{enumerate}
\item Sur un lot de \numprint{1500} paquets pris sur une chaîne de production, 35 ont une masse non conforme.

À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95}, doit-on conclure qu'il faut stopper la production sur cette chaîne ?

\item On choisit au hasard un paquet de cette production et on note $Y$ la variable aléatoire représentant sa masse (en grammes). 

On admet que $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu=350$ et d'écart-type $\sigma=5$.

Déterminer la valeur approchée de $h$ (au dixième près) pour laquelle :
\[
\text{P}(350-h \leqslant Y\leqslant 350+h) = 0,5.
\]
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Commun à tous les candidats (6 points)}

Lors de la sortie d'un nouvel article, une marque a modélisé la proportion de ses consommateurs inscrits dans sa base de données ayant envie de l'acheter à l'aide de la fonction suivante :
\[
f(t)=a\e^{-kt}+b\e^{-5kt}
\]
où :
\begin{itemize}
\item $a$, $b$ et $k$ sont trois nombres réels, 
\item $t$ est le temps (en mois) écoulé depuis la date de sortie de l'article;
\item $f(t)$ est exprimée en écriture décimale, c'est-à-dire que si la proportion est égale à \pourcent{30} après $n$ jours, alors $f(n)=0,3$.
\end{itemize} 


\partie{A}

Dans cette partie, on se propose de trouver les valeurs de $a$ et $b$.

Pour cela, on constate que :
\begin{itemize}
\item la proportion est maximale à la date de sortie;
\item le nombre dérivé de $f$ en $t=0$ doit être nul.
\end{itemize}
 
\bigskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $a+b=1$.
\item Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B}

Dans cette partie, on suppose que :
\[
f(t)=1,25\e^{-0,5t}-0,25\e^{-2,5t}
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur \intervFO{0}{+\infty}.
\item On suppose que la dérivée seconde de $f$ est donnée par l'expression suivante :
\[
f''(t)=-0,3125\big(5\e^{-2,5t}-\e^{-0,5t}\big)
\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'inéquation $f''(t)<0$ est équivalente à  l'inéquation : 
\[ \ln(5)-2,5t>-0,5t \]
\item En déduire la convexité de la fonction $f$ ainsi que l'existence pour la courbe\linebreak représentative de la fonction $f$ d'un point d'inflexion. Donner alors une valeur approchée à 0,001 près de l'ordonnée de ce point d'inflexion.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{C}

On donne ci-dessous la courbe représentative de $f$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=5,>=latex]
\draw[gray,dashed] (0,0) grid[xstep=1,ystep=0.1] (10,1.2);
\draw[thick,->] (0,0) -- (10,0) node[below left,outer ysep=1em] {mois};
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,1.2);
\draw[purple,very thick] plot[domain=0:10,samples=100] (\x,{1.25*exp(-0.5*\x)-0.25*exp(-2.5*\x)});
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} { \draw[thick] (\x,0.025) -- (\x,-0.025) node[below] {\x}; }
\foreach\y/\p in {0.1/{0,1},0.2/{0,2},0.3/{0,3},0.4/{0,4},0.5/{0,5},0.6/{0,6},0.7/{0,7},0.8/{0,8},0.9/{0,9},1/1} { \draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\p}; }
\end{tikzpicture}
\end{center}

Indiquer sur ce graphique à quel moment la décroissance de l'envie pour l'article commence à diminuer et en donner une valeur approchée (en jours) en supposant que le mois de sortie de l'article dure 31 jours.

\newpage

\section*{Exercice 3 - Candidats n'ayant pas choisi l'option de spécialité (6 points)}

Le jeu \og SimulTown \fg{} permet à un joueur de simuler la gestion d'une ville dont il est le maire. Pour cela, il doit décider du pourcentage annuel moyen d'émigration ainsi que du nombre moyen de nouveaux habitants par année.

En début de partie, il y a \numprint{100000} habitants dans la ville. Un joueur décide que chaque année, \pourcent{5} des habitants quittent la ville et \numprint{20000} personnes s'y installent.

\medskip

On note $u_n$ le nombre d'habitants (exprimé en milliers) après $n$ années. Ainsi, $u_0=100$.

\begin{enumerate}
\item Expliquer pour tout entier naturel $n$ non nul l'égalité suivante :
\[
u_{n+1}=0,95u_n+20
\]
\item Montrer que $u_1=115$.
\end{enumerate}

Pour tout entier naturel $n$, on pose :
\[
v_n=u_n-400
\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique. Préciser alors son premier terme et sa raison.
\item En déduire une expression de $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
\item Quel est le nombre maximum d'habitants que peut espérer avoir cette ville ?
\item À partir de combien d'années le nombre d'habitants sera-t-il supérieur à \numprint{300000} ?
\item Chaque année, les impôts permettent à la ville de récolter 500 \euro{} par habitant.

Que permet alors d'afficher l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries\arraybackslash}lSl|}
\hline
Variables : & N et $k$ entiers naturels\\
            & U et S nombres réels\\
Traitement : & U prend la valeur 100\\
& S prend la valeur \numprint{50000000}\\
& Pour $k$ allant de 1 à N\\
& \qquad U prend la valeur 0.95U+20\\
& \qquad S prend la valeur S+\numprint{500000}U\\
& Fin du Pour
\\
Sortie : & Afficher S\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 - Candidats ayant choisi l'option de spécialité (6 points)}

\partie{A}

Le jeu \og SimultTown Pro \fg{} permet à un joueur de gérer deux villes, désignées par la suite par les lettres A et B. Il peut, entre autre, gérer les flux migratoires des villes A et B.

Un joueur décide que chaque année :
\begin{itemize}
\item \pourcent{30} des habitants de la ville A déménagent pour aller dans la ville B;
\item \pourcent{10} des habitants de la ville B déménagent pour aller dans la ville A;
\item les autres habitants restent dans leur ville.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Compléter le graphe probabiliste suivant représentant la situation :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\node[circle,draw] (A) at (0,0) {A};
\node[circle,draw] (B) at (4,0) {B};
\draw[->] (A.north east) to[bend left=30] (B.north west);
\draw[<-] (A.south east) to[bend right=30] (B.south west);
\draw[->] (A) edge [loop left]  ();
\draw[->] (B) edge [loop right]  ();
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item \'Ecrire la matrice de transition M de ce graphe.

\item On suppose qu'il y a \numprint{150000} habitants dans la ville A et \numprint{350000} dans la ville B en début de partie.

À l'aide de votre calculatrice, déterminer le nombre d'habitants des villes A et B après 5 ans.

\item Déterminer l'état stable de ce graphe et interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\partie{B}

Le joueur peut aussi gérer le trajet d'un livreur de pizzas. Dans la ville A, le livreur doit passer chez six personnes, représentées par les lettres C, D, E, F, G et H, en commençant par C. Les temps de parcours (en minute) d'un domicile à l'autre sont donnés par le graphe suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[circle,draw,fill=gray!30] (C) at (0,0) {\textbf{C}};
\node[circle,draw] (D) at (1,3) {D};
\node[circle,draw] (E) at (2,-1) {E};
\node[circle,draw] (F) at (4,0) {F};
\node[circle,draw] (G) at (5,-2) {G};
\node[circle,draw] (H) at (7,1) {H};
\draw (C) -- (D) node[midway,fill=white] {4};
\draw (C) -- (E) node[midway,fill=white] {3};
\draw (E) -- (G) node[midway,fill=white] {4};
\draw (E) -- (F) node[midway,fill=white] {5};
\draw (D) -- (F) node[midway,fill=white] {6};
\draw (C) -- (F) node[midway,fill=white] {3};
\draw (F) -- (G) node[midway,fill=white] {2};
\draw (D) -- (H) node[midway,fill=white] {7};
\draw (G) -- (H) node[midway,fill=white] {3};
\draw (F) -- (H) node[midway,fill=white] {10};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Indiquer le chemin qu'il doit emprunter afin de passer chez toutes les personnes en un minimum de temps.

\newpage

\section*{Exercice 4 - Commun à tous les candidats}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question ainsi que la proposition correcte sans justification.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse n'enlève pas de point.

\begin{enumerate}
\item Le bénéfice mensuel d'une entreprise, exprimé en millier d'euros, est donné par la fonction suivante :
\[
B(x)=0,5\e^{0,2x-0,1x-0,2}
\]
où $x$ représente le nombre de mois depuis l'ouverture de l'entreprise.

Le bénéfice moyen de cette entreprise sur la première année est à peu près égal à :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item \numprint{15460} \euro
\item \numprint{1288} \euro
\item \numprint{3879} \euro
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item L'équation $\ln\big(2x^2+4x+1\big)=\ln(x)$ admet :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item aucune solution
\item une solution
\item deux solutions
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Le prix d'une maison baisse de \pourcent{5,6} par an. En 2017, elle vaut \numprint{220000} \euro.

À partir de quelle année le prix de cette maison sera inférieur à \numprint{190000} \euro{} ?

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item 2022
\item 2023
\item 2024
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\corrige

\section*{Exercice 1 - Commun à tous les candidats (5 points)}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item On a l'arbre suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (D) at (2,2) {D};
\node (H) at (2,0) {H};
\node (S) at (2,-2) {S};
\node (DR) at (4,2.5) {R};
\node (DRB) at (4,1.5) {\evcont{R}};
\node (HR) at (4,0.5) {R};
\node (HRB) at (4,-.5) {\evcont{R}};
\node (SR) at (4,-1.5) {R};
\node (SRB) at (4,-2.5) {\evcont{R}};
\draw (0,0) -- (D.west) node[midway,fill=white] {0,5};
\draw (0,0) -- (H.west) node[midway,fill=white] {0,2};
\draw (0,0) -- (S.west) node[midway,fill=white] {0,3};
\draw (D.east) -- (DR.west) node[midway,fill=white] {0,7};
\draw (D.east) -- (DRB.west) node[midway,fill=white] {0,3};
\draw (H.east) -- (HR.west) node[midway,fill=white] {0,5};
\draw (H.east) -- (HRB.west) node[midway,fill=white] {0,5};
\draw (S.east) -- (SR.west) node[midway,fill=white] {$x$};
\draw (S.east) -- (SRB.west) node[midway,fill=white] {$1-x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La probabilité que l'enfant prenne un paquet de marque distributeur et que sa mère le remette sur l'étagère correspond à est égale à $\proba{D\cap R}$. 

\begin{align*}
\proba{D\cap R} & = \proba{D}\times\probacond{R}{D}\\
\proba{D\cap R} & = 0,5 \times 0,7\\
\pmb{\proba{D\cap R}} & \pmb{=0,35.}
\end{align*}

\item On sait que la probabilité que la mère remette le paquet sur l'étagère est égale à 0,63, ce qui signifie que $\proba{R}=0,63$.

Or, $\proba{R}=\proba{D\cap R}+\proba{H\cap R}+\proba{S\cap R}$, d'où :

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{align*}
 & 0,35 + 0,2\times0,5+0,3x=0,63\\
\Leftrightarrow{} & 0,35+0,1+0,3x =0,63\\
\Leftrightarrow{} & 0,3x=0,63-0,35-0,1\\
\Leftrightarrow{} & 0,3x = 0,18\\
\Leftrightarrow{} & x = \dfrac{0,18}{0,3}\\[6pt]
\Leftrightarrow{} & x = 0,6
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\textbf{La probabilité que la mère de l'enfant remette le paquet sur l'étagère sachant que l'enfant a pris un paquet de marque supérieure est donc égale à 0,6.}
\end{minipage}

\item On peut assimiler cette expérience à une répétition du  schéma de Bernoulli : \og la mère remet ou ne remet pas le paquet de céréales sur l'étagère \fg, schéma à deux issues, dont le succès est ; \og la mère remet le paquet sur l'étagère \fg, de probabilité $p=0,63$.

Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,63$. La probabilité qu'il y ait eu moins de 5 mères ayant remis le paquet de céréales sur l'étagère est donc :
\[
\pmb{\probavar[\leqslant]{X}{5}\approx0,0006}
\]
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item Ici, $p=0,02$ représente la probabilité qu'un paquet soit non conforme concernant la masse. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95} correspondant à un échantillon de $N=\numprint{1500}$ paquets est (car $n\geqslant30$, $np=300>5$ et $n(1-p)=\numprint{1470}>5$):
\[
I_f=\intervFF{p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{N}}}{p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{N}}}\approx\intervFF{0,013}{0,027}
\]
La proportion de paquets non conformes est ici $f=\dfrac{35}{\numprint{1500}}\approx0,02333...$ et $f\in I_f$ donc \textbf{il n'y a aucune raison de stopper la production sur cette chaîne (au risque de se tromper de 5\;\%).}

\item $\begin{aligned}[t]
\text{P}(350-h \leqslant Y\leqslant 350+h) = 0,5 & \Leftrightarrow 2\text{P}(350\leqslant Y\leqslant 350+h) = 0,5\\
&\Leftrightarrow \text{P}(350\leqslant Y\leqslant 350+h) = 0,25\\
&\Leftrightarrow \text{P}(Y\leqslant 350+h)-0,5 = 0,25\\
&\Leftrightarrow \text{P}(Y\leqslant 350+h)= 0,75
\end{aligned}$

\medskip

La calculatrice nous donne alors $350+h\approx353,37$, soit $\pmb{h\approx3,4}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Commun à tous les candidats (6 points)}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item Pour $t=0$, la proportion est maximale, donc égale à \pourcent{100}; ainsi, $f(0)=1$.

Or, $f(0)=a\e^0+b\e^0=a+b$.

\medskip

\textbf{Ainsi, $\pmb{a+b=1}$.}

\item $f(t)=a\e^{kt}+b\e^{5kt}$.

Ainsi, $f'(t)=ka\e^{kt}-5kb\e^{5kt}=k\big( a\e^{kt}+5b\e^{5kt} \big)$ et donc :
\begin{align*}
f'(0)=0 & \Leftrightarrow k\big(a\e^{k\times0}+5b\e^{5k\times0}=0\\
& \Leftrightarrow k(a+5b)=0\\
& \Leftrightarrow a+5b=0\\
& \Leftrightarrow a = -5b
\end{align*}

\medskip

Comme $a+b=1$, nous avons $-5b+b=1$, soit $-4b=1$ et donc $b=\dfrac{1}{-4}=-0,25$. Alors, $a=-5\times(-0,25)=1,25$.

\medskip

\textbf{Finalement, $\pmb{f(t)=1,25\e^{kt}-0,25\e^{kt}}$ avec $\pmb{a=1,25}$ et $\pmb{b=-0,25}$.}
\end{enumerate}

\newpage

\partie{B}

Dans cette partie, on suppose que :
\[
f(t)=1,25\e^{-0,5t}-0,25\e^{-2,5t}
\]

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f'(t) & =1,25\times(-0,5)\e^{-0,5t}-0,25\times(-2,5)\e^{-2,5t}\\
& = -0,625\e^{-0,5t}+0,625\e^{-2,5t}\\
& =-0,625\big(\e^{-0,5t}-\e^{-2,5t}\big).
\end{aligned}$

\medskip

Or, $-0,5>-2,5$ donc $\e^{-0,5t}>\e^{-2,5t}$ pour $t>0$.

Ainsi, $\e^{-0,5t}-\e^{-2,5t}>0$ et donc $-0,625\big(\e^{-0,5t}-\e^{-2,5t}\big)<0$ sur \intervFO{0}{+\infty} car on multiplie par un nombre négatif ($-0,625$).

\medskip

\textbf{Ainsi, $\pmb{f}$ est strictement décroissante sur $\pmb{\intervFO{0}{+\infty}}$.}

\item $f''(t)=-0,3125\big(5\e^{-2,5t}-\e^{-0,5t}\big)$.
\begin{align*}
f''(t)<0 & \Leftrightarrow -0,3125\big(5\e^{-2,5t}-\e^{-0,5t}\big)<0\\
& \Leftrightarrow 5\e^{-2,5t}-\e^{-0,5t}>0\\
& \Leftrightarrow \e^{\ln(5)}\times\e^{-2,5t}>\e^{-0,5t}\\
&\Leftrightarrow \e^{\ln(5)-2,5t}>\e^{-0,5t}\\
& \Leftrightarrow \pmb{\ln(5)-2,5t>-0,5t}
\end{align*}

\item On continue la résolution de l'inéquation précédente :
\begin{align*}
\ln(5)-2,5t>-0,5t & \Leftrightarrow -2,5t+0,5t>-\ln(5)\\
& \Leftrightarrow -2t > -\ln(5)\\
& \Leftrightarrow t < \dfrac{-\ln(5)}{-2}\\
& \Leftrightarrow t<\dfrac{\ln(5)}{2}
\end{align*}

\textbf{Ainsi, $\pmb{f''(t)<0}$ pour $\pmb{t<\dfrac{\ln5}{2}}$ donc la fonction $\pmb{f}$ est concave sur $\pmb{\intervFF{0}{\dfrac{\ln5}{2}}}$ et convexe sur $\pmb{\intervFF{\dfrac{\ln5}{2}}{+\infty}}$.}

De plus, il y a un point d'inflexion d'abscisse $x=\dfrac{\ln5}{2}$ et d'ordonnée :
\[
f\left(\dfrac{\ln5}{2}\right) \approx 0,804
\]
\end{enumerate}

\newpage

\partie{C}

La décroissance de l'envie pour l'article commence à diminuer au niveau du point d'inflexion.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=5,>=latex]
\draw[gray,dashed] (0,0) grid[xstep=1,ystep=0.1] (10,1.2);
\draw[thick,->] (0,0) -- (10,0) node[below left,outer ysep=1em] {mois};
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,1.2);
\draw[purple,very thick] plot[domain=0:10,samples=100] (\x,{1.25*exp(-0.5*\x)-0.25*exp(-2.5*\x)});
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} { \draw[thick] (\x,0.025) -- (\x,-0.025) node[below] {\x}; }
\foreach\y/\p in {0.1/{0,1},0.2/{0,2},0.3/{0,3},0.4/{0,4},0.5/{0,5},0.6/{0,6},0.7/{0,7},0.8/{0,8},0.9/{0,9},1/1} { \draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\p}; }
\draw[very thick,blue!50!black,dashed] ({ln(5)/2},0) node[below,outer ysep=1.5em] {$\frac{\ln5}{2}$} -- ({ln(5)/2},{1.25*exp(-0.5*ln(5)/2)-0.25*exp(-2.5*ln(5)/2)}) -- (0,{1.25*exp(-0.5*ln(5)/2)-0.25*exp(-2.5*ln(5)/2)}) node[left,outer xsep=2.5em] {$f\left(\frac{\ln5}{2}\right)$};
\fill[blue!50!black] ({ln(5)/2},{1.25*exp(-0.5*ln(5)/2)-0.25*exp(-2.5*ln(5)/2)}) circle[x radius=2pt,y radius=0.4pt];
\end{tikzpicture}
\end{center}

$\dfrac{\ln5}{2}\approx0,8047$ et $0,8047\times31\approx24,9$.

\bigskip

\textbf{C'est donc au bout de 25 jours que la décroissance de l'envie d'acheter le produit commence à diminuer.}

\section*{Exercice 3 - Candidats n'ayant pas choisi l'option de spécialité (6 points)}

\begin{enumerate}
\item D'une année à l'autre, il y a \pourcent{5} d'habitants en moins dans la ville, donc il en reste \pourcent{95}, auxquels s'ajoutent les \numprint{20000} nouveaux. Ainsi, comme $u_n$ représente le nombre d'habitants exprimé en milliers, 
\[
\pmb{u_{n+1}=0,95u_n+20}
\]

\item À l'aide de la relation de récurrence précédente, on a :
\[
\pmb{u_1=0,95\times100+20=115}
\]
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \textcolor{red}{u_{n+1}}-400\\
& = \textcolor{red}{0,95u_n+20}-400\\
& = 0,95u_n-380\\
& = 0,95\left(u_n-\dfrac{380}{0,95}\right)\\[6pt]
& = 0,95(\textcolor{green!50!black}{u_n-400})\\
& = 0,95\textcolor{green!50!black}{v_n}
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $v_{n+1}=0,95v_0$ pour tout entier naturel $n$, ce qui signifie que la suite \suite{v}{n}{} est géométrique de raison $\pmb{q=0,95}$.

$v_0=u_0-400$ d'après l'égalité $v_n=u_n-400$. Ainsi, le premier terme de \suite{v}{n}{} est :\linebreak $\pmb{v_0=100-400=-300}$.

\item D'après la question précédente, $v_n=v_0\times q^n$, donc $\pmb{v_n=-300\times0,95^n}$.

Or, $v_n=u_n-400$ donc $u_n=v_n+400$, donc $\pmb{u_n=400-300\times0,95^n}$.

\item $0<0,95<1$ donc $\limite{n}{+\infty}{0,95^0}=0$. Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=400$.

\medskip

\textbf{La ville peut donc espérer avoir au maximum \numprint{400000} habitants.}

\item $\begin{aligned}[t]
u_n\geqslant300 & \Longleftrightarrow 400-300\times0,95^n\geqslant300\\
& \Longleftrightarrow -300\times0,95^n\geqslant-100\\
& \Longleftrightarrow 0,95^n \leqslant \dfrac{1}{3}\\[6pt]
& \Longleftrightarrow \ln\big(0,95^n\big)\leqslant\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\\[6pt]
& \Longleftrightarrow n\ln(0,95)\leqslant-\ln3\\
& \Longleftrightarrow n \geqslant \dfrac{-\ln3}{\ln0,95}\text{ (car $\ln0,95<0$)}\\
& \Longleftrightarrow n \geqslant 21,42
\end{aligned}$

\medskip

\textbf{Ainsi, il faudra attendre 22 ans pour que la population de la ville dépasse\linebreak \numprint{300000} habitants.}

\item Dans la boucle de l'algorithme, on voit que l'on calcule le nombre d'habitants pour chaque année écoulée (exprimé en milliers) et après, on ajoute à la valeur stockée dans la variable "S" la valeur : \numprint{500000}U, soit $500\times\numprint{1000}\times U$, ce qui correspond à l'impôt sur tous les habitants.

\medskip

\textbf{Ainsi, l'algorithme affiche le montant total que la ville aura récolté sur tous ses habitants et sur N années au nom des impôts.}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Candidats ayant choisi l'option de spécialité (6 points)}

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item Le graphe probabiliste représentant la situation est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\node[circle,draw] (A) at (0,0) {A};
\node[circle,draw] (B) at (4,0) {B};
\draw[->] (A.north east) to[bend left=30] (B.north west);
\node at ($0.5*(A)+0.5*(B)+(0,1.1)$) {0,3};
\draw[<-] (A.south east) to[bend right=30] (B.south west);
\node at ($0.5*(A)+0.5*(B)+(0,-1.2)$) {0,1};
\draw[->] (A) edge [loop left]  node {0,7} ();
\draw[->] (B) edge [loop right] node {0,9} ();
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition est : $\pmb{M=\begin{pmatrix}0,7 & 0,3\\0,1 & 0,9\end{pmatrix}}$.

\item On calcule : $\begin{pmatrix}
\numprint{150000} & \numprint{350000}
\end{pmatrix}M^5=\begin{pmatrix}
\numprint{126944} & \numprint{373056}
\end{pmatrix}$.

\medskip


\textbf{Il y aura donc \numprint{126944} habitants dans la ville A et \numprint{373056} dans la ville B.}

\item L'état stable $P$ du graphe est tel que $P=PM$, soit $PI=PM$ (où $I$ est la matrice identité).

Alors, $PI-PM=0$ et donc $P(I-M)=0$

\[
I-M=\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0,7&0,3\\0,1&0,9
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,3 & -0,3\\
-0,1 & 0,1
\end{pmatrix}
\]
Ainsi, en posant $P=\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}$ avec $a+b=1$ :
\[
P(I-M)=0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,3 & -0,3\\
-0,1 & 0,1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0
\end{pmatrix}\qquad,\qquad a+b=1
\]
soit :
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
0,3a-0,1b=0\\
a+b=1
\end{array}
\right.
&
\Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
0,3a=0,1b\\
a+b=1
\end{array}
\right.\\
& \Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
a=\dfrac{0,1b}{0,3}\\
a+b=1
\end{array}
\right.\\
& \Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
a=\dfrac{1b}{3}\\
\dfrac{b}{3}+b=1
\end{array}
\right.\\
& \Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
a=\dfrac{1b}{3}\\[10pt]
\dfrac{b}{3}+\dfrac{3b}{3}=\dfrac{3}{3}
\end{array}
\right.\\
& \Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
a=\dfrac{1b}{3}\\[10pt]
4b=3
\end{array}
\right.\\
& \Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
a=\dfrac{1}{3}b\\[10pt]
b=\dfrac{3}{4}
\end{array}
\right.\\
& \Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
a=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\\[10pt]
b=\dfrac{3}{4}
\end{array}
\right.
\end{align*}

L'état stable du graphe est donc $\begin{pmatrix}
0,25 & 0,75
\end{pmatrix}$, ce qui signifie qu'à longs termes, un quart de la population totale des deux villes se trouvera dans la ville A et les autres dans la villes B.

La population totale des deux villes est $\numprint{150000}+\numprint{350000}=\numprint{500000}$ habitants et\linebreak
 $\numprint{500000}\div4=\numprint{125000}$.

\medskip

\textbf{Donc \numprint{125000} habitants seront dans la ville A et \numprint{375000} seront dans la ville B.}
\end{enumerate}

\partie{B}

On pourrait dans un premier temps penser à l'algorithme de Dijkstra, mais ce dernier ne permet pas de répondre à la question car il n'est pas précisé le dernier sommet (celui vers lequel on doit se diriger).

On doit alors regarder toutes les chaînes eulériennes et indiquer le temps total correspondant. Pour cela, on peut s'aider d'un arbre des possibles (voir page suivante) : on constate alors que le parcourt le plus rapide est : C-D-H-G-F-E (avec un temps de 21 minutes).


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[grow=right,%
level 1/.style={sibling distance=20em},%
level 2/.style={sibling distance=8em},%
level 3/.style={sibling distance=3em},%
level 4/.style={sibling distance=1.5em},%
level 6/.style={->,>=latex,color=red,right},%
level distance=2cm]]
\node {C} % root
	child { node {E} % L1
		child { node {F} % L2
			child { node {G} % L3
				child { node {H} % L4
					child { node {D} 
						child { node {$3+5+2+3+7=20$}}} % L5	
				}
			}
			child { node {H} %L3
				child { node {G} } % L4
				child { node {D} } % L4
			}
			child { node {D} % L3
				child { node {H} % L4
					 child { node {G}
					 	child { node {$3+5+6+7+3=24$}} } % L5
				}
			}
		}
		child { node {G} % L2
			child { node {F} % L3
				child { node {D} % L4
					child { node {H}
						child { node {$3+4+2+6+7=22$}}} % L5
				}
				child { node {H} % L4
					child { node {D}
						child { node{$3+4+2+10+7=26$}}} % L5
				}
			}
			child { node {H} % L3
				child { node {F} % L4
					child { node {D}
						child {node{$3+4+3+10+6=26$}}} % L5
				}
				child { node {D} % L4
					child { node {F}
						child { node {$3+4+3+7+6=23$} }} % L5
				}
			}
		}
	}
	child { node {F} % L1	
		child { node {E} % L2
			child { node {G} % L3
				child { node {H} % L4
					child { node {D}
						child { node {$3+5+4+3+7=22$} } } % L5
				}
			}
		}
		child { node {G} % L2
		 child { node {E} % L3
		 }
		 child { node {H} % L3
		 	child { node {D} % L4
		 	}
		 }
		}
		child { node {H} % L2
			child { node {D} % L3
			}
			child { node {G} % L3
				child { node {E} } % L4
			}
		}
		child { node {D} % L2
			child { node {H} % L3
				child { node {G} % L4
					child { node {E}
						child { node {$3+6+7+3+4=23$} } } % L5
				}
			}
		}
	}
	child { node {D} % L1
		child { node {H} % L2
			child { node {F} % L3
				child { node {G} % L4
					child { node {E} 
						child { node {$4+6+10+3+4=27$}}
					} % L5
				}
				child { node {E} % L4
					child { node {G} 
						child { node {$4+7+10+5+4=30$}}} % L5
				}
			}
			child { node {G} % L3
				child { node {F} % L4
					child { node {E} 
						child { node {$4+7+3+2+5=21$}}
					} % L5
				}
				child { node {E} % L4
					child { node {F} 
						child { node {$4+7+3+4+5=23$}}
					} % L5
				}
			}
		}
		child { node {F} % L2
			child { node {E} % L3
				child { node {G} % L4
					child { node {H} 
						child { node {$4+6+5+4+3=22$} }
					} % L5
				}
			}
			child { node {G} % L3
				child { node {E} } % L4
				child { node {H} } % L4
			}
			child { node {H} % L3
				child { node {G}  % L4
					child { node {E} 
						child { node {$4+6+10+3+4=27$}}} % L5				
				}
			}
		}
	};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\section*{Exercice 4 - Commun à tous les candidats}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Réponse b}. \numprint{1288} \euro. En effet, le bénéfice moyen sur la première année se calcule avec la valeur moyenne de la fonction $B$ sur \intervFF{0}{12}:
\[
\mu=\dfrac{1}{12}\dint_0^{12}B(x)\dx
\]
Une primitive de $B(x)$ est :
\[
F(x)=0,5\times\dfrac{1}{0,2}\e^{0,2x}-0,1\dfrac{x^2}{2}-0,2x
\]
et $\mu=\dfrac{1}{12}(F(12)-F(0))\approx1,288$.

Comme $B(x)$ est exprimé en millier d'euros, la valeur moyenne obtenue l'est aussi. On la multiplie donc par \numprint{1000} pour obtenir le bénéfice moyen en euro.

\medskip

\paragraph*{Remarque :} on peut aussi utiliser la calculatrice pour trouver la valeur approchée de l'intégrale, ce qui évite le calcul de la primitive. Dans un QCM, c'est autorisé.

\item \textbf{Réponse a.} Le domaine de définition de l'équation $\ln\big(2x^2+4x+1\big)=\ln(x)$ est l'ensemble des $x$ tels que 
\[
x>0\qquad\text{et}\qquad2x^2+4x+1>0
\]
car un logarithme n'existe que si son opérande (ce qu'il y a à l'intérieur) est strictement positif.

\medskip

Le discriminant de $2x^2+4x+1$ est :
\[
\Delta=4^2-4\times2\times1=16-8=8>0
\]
donc le polynôme admet deux racines :
\[
x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-4-\sqrt8}{4}=\dfrac{-4-2\sqrt2}{4}=\dfrac{-2-\sqrt2}{2}\approx-1,7
\]
et 
\[
x_2=\dfrac{-2+\sqrt2}{2}\approx-0,29
\]
Ainsi, $2x^2+4x+1>0$ si $x\in\intervOO{-\infty}{x_1}\cup\intervOO{x_2}{+\infty}$.

Or, $\ln(x)$ existe uniquement si $x>0$. On voit alors que les deux logarithmes n'ont pas le même domaine de définition.

\medskip

\textbf{L'équation n'a donc aucune solution.}

\item \textbf{Réponse a.} On peut utiliser le tableur de la calculatrice car si $p_n$ représente le prix de la maison après $n$ années, $p_{n+1}=\left(1-\dfrac{5,6}{100}\right)p_n$. On obtient le tableau de valeurs suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
Année & Prix\\
\hline
0 & \numprint{250000} \euro{}\\
\hline
1 & \numprint{236000} \euro{}\\
\hline
2 & \numprint{222784} \euro{}\\
\hline
3 & \numprint{210308,10} \euro{}\\
\hline
4 & \numprint{198530,84} \euro{}\\
\hline
5 & \numprint{187413,12} \euro{}\\
\hline
\end{tabular}\qquad\qquad\begin{minipage}{9cm}
$2017+5=2022$. 

\medskip

C'est donc en 2022 que le prix de la maison sera inférieur à \numprint{190000} \euro.
\end{minipage}
\end{center}
\end{enumerate}

\bareme

\section*{Exercice 1 - Commun à tous les candidats (5 points)}

\partie{A (2,5 points)}

\begin{enumerate}
\item 0,75 pt. $-0,25$ pt s'il y a une erreur. $-0,5$ pt s'il y en a deux. 0 pt s'il y en a plus.
\item 0,25 pt pour la formule + 0,5 pt pour le résultat. 
\item 0,5 pt pour le raisonnement + 0,5 pt pour le résultat.
\item 0,25 pt pour la justification de la loi binomiale + 0,25 pt pour le résultat.
\end{enumerate}

\partie{B (2,5 points)}


\begin{enumerate}
\item 0,25 pt pour la justification de la formule ($n\geqslant30$ et $np>5$)

+ 0,25 pt pour la formule

+ 0,25 pt pour l'intervalle

+ 0,25 pt pour la conclusion

\item 1 pt pour le raisonnement + 0,5 pt pour le résultat.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Commun à tous les candidats (6 points)}

\partie{A (1,5 point)}

\begin{enumerate}
\item 0,25 points pour traduire la condition initiale en $f(0)=1$

+ 0,25 pt pour avoir trouvé que $f(0)=a+b$

+ 0,25 pt pour avoir fait le lien entre $f(0)=a+b$ et $f(0)=1$.

\item 0,25 pt pour avoir correctement exprimé $f'(t)$

+ 0,25 pt pour avoir trouvé que $f'(0)=0 \Leftrightarrow a+5b=0$

+ 0,25 pt pour avoir résolu le système en trouvant $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\partie{B (3,5 points)}

\begin{enumerate}
\item 0,25 pt pour avoir trouvé $f'(t)$

+ 0,5 pt pour avoir trouvé le signe de $f'(t)$

\item 1 point pour avoir trouvé l'équivalence entre les deux inéquations.

\item 1 point pour avoir résolut l'inéquation

+ 0,5 pt pour la convexité (0,25 pt par intervalle)

+ 0,25 pt pour le point d'inflexion
\end{enumerate}

\partie{C (1 point)}

0,5 point pour le placement du point d'inflexion

+ 0,5 point pour l'interprétation.

\section*{Exercice 3 - Candidats n'ayant pas choisi l'option de spécialité (6 points)}

\begin{enumerate}
\item 0,5 point
\item 0,5 point
\item 1 point
\item 0,5 point pour $v_n$

+ 0,5 point pour $u_n$
\item 0,5 pt pour avoir fait le lien entre la question et le calcul de la limite de la suite $u$

+ 0,5 pt pour le calcul de la limite

\item 0,5 pt pour avoir écrit l'inéquation

+ 0,5 pt pour la résolution de l'inéquation

\item 1 point
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Candidats ayant choisi l'option de spécialité (6 points)}

\partie{A (4 points)}

\begin{enumerate}
\item 0,25 pt par probabilités : 1 pt au total.
\item 0,75 pt
\item 0,25 pt pour la formule avec $M^5$ + 0,5 pt pour le résultat.
\item 0,5 pt pour la définition de l'état stable

+ 0,75 pt pour la résolution du problème 

+ 0,25 pt pour le résultat final.
\end{enumerate}

\partie{B (2 points)}

2 points, peu importe le raisonnement.

\section*{Exercice 4 - Commun à tous les candidats (3 points)}

1pt par bonne réponse.
\end{document}