\documentclass[12pt]{article}
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\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Continuité}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Nombre dérivé
\item \'Equation de la tangente
\item Formule de dérivation
\end{prerequis}

(ces notions ne seront pas utiles directement dans le cous, mais elles le seront dans les exercices où il faudra étudier les variations de fonctions)

\newpage %----------------- DEBUT


\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonction continue}]
Une fonction continue sur un intervalle $I$ est une fonction définie en tout nombre de $I$.

Autrement dit, $f$ est continue sur $I$ si, pour tout $x$ de $I$, $f(x)$ existe.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Dire qu'une fonction est continue sur I signifie que l'on peut tracer sa courbe représentative en un seul morceau sur I (sans lever le crayon).
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Fonctions usuelles continues}]
On admet que toutes les fonctions que l'on rencontre au lycée sont continues sur leur domaine de définition.\\
On admet aussi que :
\begin{itemize}
\item le produit de deux fonctions continues sur I est une fonction continue sur I ;
\item Le quotient de deux fonctions continues sur I dont le dénominateur ne s'annule pas  sur I est une fonction continue sur I.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item La fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est continue sur $\intervOO{-\infty}{0}$ et $\intervOO{0}{+\infty}$. On n'écrira pas qu'elle est continue sur \R*.
\item La fonction $x\mapsto\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+1}$ est continue sur \R.\\
En effet, la seule valeur interdite est $x=-1$ et sur $\intervOO{-\infty}{-1}$ et sur \intervOO{-1}{+\infty}, cette fonction est continue comme quotient de deux fonctions continues (deux polyn\^omes).\\
Or, pour $x\neq-1$, $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+1}=\dfrac{x-2}{x-1}$, donc $\limite{x}{-1}{\left(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+2x+1}\right)}=\dfrac{-1-2}{-1-1}=\dfrac{3}{2}$.\\
Finalement, la fonction est continue en $-1$ et donc sur \R.
\end{itemize}
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Théorème des valeurs intermédiaires}]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle \intervFF{a}{b} de \R. On note respectivement $m$ et $M$ le minimum et le maximum de $f(x)$ sur \intervFF{a}{b}.

Pour tout réel $k$ tel que $m \leqslant k \leqslant M$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans \intervFF{a}{b}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=0,125x^3-1,6x^2-6,5x+100$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=0.03,xscale=0.5]
\draw[->,thick] (-10,0) -- (20,0);
\draw[->,thick] (0,-10) -- (0,140);
\foreach\x in {-10,-5,5,10,15}
{
\draw[thick] (\x,2) -- (\x,-2) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-10,10,20,40,60,80,100,120}
{
\draw[thick] (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[left] {\y};
}
\clip (-10,-10) rectangle (20,140);
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-10:20,samples=100] (\x,{0.125*\x*\x*\x-1.6*\x*\x-6.5*\x+100});
\draw[red] (-10,60) -- (20,60) node[below left] {$\mathscr{D}$};
\node[blue!50!black] at (18,120) {${\cal C}_f$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\breakbox
L'équation $f(x)=60$ admet une unique solution sur \intervFF{-10}{20} car :
\begin{itemize}
\item $f$ est continue sur cet intervalle ;
\item $m=f(-10)$ et $M=f(20)$ ;
\item $60\in\intervFF{m}{M}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires}]
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \intervFF{a}{b} de \R. 

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans \intervFF{a}{b}.
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3+x-2$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=0.7]
\draw[->,thick] (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw[->,thick] (0,-3) -- (0,3);
\foreach\x in {-2,-1,1,2}
{
\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-2,-1,1,2,3}
{
\draw[thick] (0.05,\y) -- (-0.05,\y) node[left] {\y};
}
\clip (-2,-4) rectangle (2,3);
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{\x*\x*\x+\x-2});
\draw[red] (-2,2) -- (2,2) node[below left] {$\mathscr{D}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur \intervFF{1}{2} car :
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et strictement croissante sur cet intervalle ;
\item $f(1)=0$ et $f(2)=8$, donc $2~\in~\intervFF{f(1)}{f(2)}$.
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Dérivée seconde}]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ telle que $f'(x)$ existe.

La \definmot{dérivée seconde} de $f$ est la dérivée de $f'(x)$; elle est notée : $f''(x)$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonction convexe, fonction concave}]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

On dira qu'elle est \definmot{convexe sur $I$} si $f'(x)\geqslant0$ pour tout $x$ de $I$.

On dira qu'elle est \definmot{concave sur $I$} si $f'(x)\leqslant0$ pour tout $x$ de $I$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item La fonction $f\;:\;x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est concave sur \intervOO{0}{+\infty} car $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$ pour tout $x>0$.
\item La fonction $g\;:\;x\mapsto x^3$ est convexe sur \R car $g'(x)=3x^2\geqslant0$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm]
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{|>{\centering\arraybackslash}m{0.45\linewidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.45\linewidth}|}
\hline\rowcolor{purple!10}\bfseries $f$ est convexe sur I si ... & \bfseries $f$ est concave sur I si ...\\
\hline
$f''(x)\geqslant0$ sur I & $f''(x)\leqslant0$ sur I\\
\hline
$f'$ est croissante sur I & $f'$ est décroissante sur I\\
\hline
Sa courbe représentative est toujours au-dessus de ses tangentes & Sa courbe représentative est toujours au-dessous de ses tangentes\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item La fonction $f$, dont la courbe représentative est :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\clip (-5,-1) rectangle (1,4);
\draw[->,>=stealth'] (-5,0) -- (1,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,4);
\draw[thick,violet] plot[domain=-5:1] (\x,{exp(\x)});
\draw[red,dashed] plot[domain=-5:1] (\x,{exp(-1)*(\x+1)+exp(-1)});
\draw[blue,dashed] plot[domain=-5:1] (\x,{exp(0.5)*(\x-0.5)+exp(0.5)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
est \textbf{convexe} car la courbe est toujours au-dessus de ses tangentes.
\end{itemize}
\breakbox
\begin{itemize}
\item La fonction $f$, dont la courbe représentative est :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\clip (0,-4) rectangle (6,2);
\node at (1,2.5){};
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (6,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-4) -- (0,2);
\draw[thick,violet] plot[domain=0.01:6,samples=70] (\x,{ln(\x)});
\draw[red,dashed] plot[domain=0:6] (\x,{\x-1});
\draw[blue,dashed] plot[domain=0:6] (\x,{(0.25*(\x-4)+ln(4)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
est \textbf{concave} car la courbe est toujours en-dessous de ses tangentes.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Point d'inflexion}]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

Sa courbe représentative admet un \definmot{point d'inflexion} pour $x=a$ si $f''(x)$ s'annule en changeant de signe en $x=a$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item La courbe représentative de $f\;:\;x\mapsto x^3$ admet un point d'inflexion en $x=0$ car $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$ et $\begin{cases}f''(0)=0\\f''(x)<0\text{ pour }x<0\\f''(x)>0\text{ pour }x>0\end{cases}$.

\item La courbe représentative de la fonction $g\;:\;x\mapsto x^2$ n'admet pas de point d'inflexion en $x=0$ car $g'(x)=2x$, $g''(x)=2$ et donc $g''(0)\neq0$.

\item La courbe représentative de la fonction $h\;:\;x\mapsto x^4$ n'admet pas de point d'inflexion en $x=0$ car $h'(x)=4x^3$, $h''(x)=12x^2$ et donc $\begin{cases}f''(0)=0\\f''(x)>0\text{ pour }x<0\\f''(x)>0\text{ pour }x>0\end{cases}$.

(la dérivée seconde ne change pas de signe donc il n'y a pas de point d'inflexion)
\end{itemize}
\end{pasbox}
\end{document}	