\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{La fonction exponentielle}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Puissances (notions de collège)
\item Raisonnement par récurrence
\item \'Etude de fonctions (continuité et dérivabilité)
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonction exponentielle}]
La \definmot{fonction exponentielle} est l'unique fonction $f$ définie sur \R{} et vérifiant les conditions :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $f'=f$
\item $f(0)=1$
\end{multicols}
\end{itemize}
Cette fonction est notée \definmot{exp}.
\end{pasbox}

L'existence et l'unicité d'une telle fonction est admise.

\bigskip


\begin{pasbox}[degrade,style=nota]
Afin d'alléger les notations, on notera :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $\exp(1)=\e\approx2,718$
\item $\exp(x)=\e^x$
\item $\e^0=1$
\item $\e^{x+y}=\e^x\e^y$
\item $\e^{-x}=\dfrac{1}{\e^x}$
\item $\e^{x-y}=\dfrac{\e^x}{\e^y}$
\item $\e^{nx}=\left(\e^x\right)^n$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Signe de la fonction exponentielle}]
Pour tout réel $x$,
\[ \e^x>0.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
En effet,
\begin{align*}
\e^x & = \e^{2\times\frac{x}{2}}\\
& = \left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^2
\end{align*}
Un carré étant toujours positif, $\e^x>0$ car l'exponentielle ne s'annule pas.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Nous venons de voir que :
\[
\e^x = \left(\e^{\frac{x}{2}}\right)^2.
\]
On en déduit alors :
\[ \sqrt{\e^x}=\e^{\frac{x}{2}}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation}]
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \R.
\end{pasbox}

\newpage

La courbe représentative de la fonction exponentielle est la suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',yscale=0.05]
\draw[thick,->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,{exp(5)});
\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (\x,1) -- (\x,-1) node[below] {\x};
}
\foreach \x in {20,40,60,80,100,120,140}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\draw[thick,blue] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{exp(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

On peut remarquer que la fonction cro\^it très rapidement, d'où l'expression \og cro\^itre de façon exponentielle \fg{} lorsque l'on parle d'une forte croissance.

\bigskip


\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Equations et inéquations}]
Pour tous réels $x$ et $y$,
\[
\e^x=\e^y \Leftrightarrow x=y \qquad ; \qquad \e^x<\e^y \Leftrightarrow x<y.
\]
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item Résoudre l'équation : $\e^{x^2}-\e^{2x-1}=0$.
\begin{align*}
\e^{x^2}-\e^{2x-1}=0 & \Leftrightarrow \e^{x^2}=\e^{2x-1}\\
& \Leftrightarrow x^2=2x-1\\
& \Leftrightarrow x^2-2x+1=0\\
& \Leftrightarrow (x-1)^2=0\\
& \Leftrightarrow x=1.
\end{align*}
L'équation admet donc une unique solution : $x=1$.

\item Résoudre l'inéquation : $\e^{2x}\geqslant\dfrac{\e}{\e^x}$.
\begin{align*}
\e^{2x}\geqslant\dfrac{\e}{\e^x} & \Leftrightarrow \e^{2x}\times\e^x\geqslant \e\\
& \Leftrightarrow \e^{3x}\geqslant\e^1\\
& \Leftrightarrow 3x\geqslant1\\
& \Leftrightarrow x\geqslant\dfrac{1}{3}.
\end{align*}
L'inéquation admet donc comme ensemble solution l'intervalle \intervFO{\dfrac{1}{3}}{+\infty}.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Dérivée de $\e^u$}]
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle I de \R.\\
La dérivée de la fonction $\e^u$ est :
\[ \left(\e^u\right)' = u'\e^u.\]
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On pose : $f(x)=\e^{-x^2}$. Donc, $f(x)=\e^{u(x)}$, avec $u(x)=-x^2$.\\$u'(x)=-2x$ donc :
\[ f'(x)=-2x\e^{-x^2}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Variation de $\e^u$}]
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle I de \R.\\
La fonction $\e^u$ admet les m\^emes variations que la fonction $u$.
\end{pasbox}

\end{document}	