\documentclass[12pt,french]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Intégrales}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
\item Dérivées
\item Primitives
\item Logarithme népérien
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Intégrale}]
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $\text{I}=\intervFF{a}{b}$.\\
On appelle \definmot{intégrale de f sur I} l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=a$ et celle d'équation $x=b$.\\
On note alors cette intégrale :
\[
\int_a^b f(x)\dx.
\]
\end{pasbox}

On peut visualiser $\dint_a^b f(x)\dx$ de la façon suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[gray!25] (-4,-1) grid (3,3);
\fill[bottom color=blue!25,top color=blue!35!black,opacity=0.5] (-3,0)  plot[domain=-3:2,samples=100] (\x,{0.125*\x*\x*\x+0.125*\x*\x-\x+1}) -- (2,0) -- (-3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-4,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,3);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\tiny\x};
}
\foreach\y in {-1,1,2,3}
{
	\draw[thick] (-.1,\y) -- (0.1,\y) node[right] {\tiny\y};
}
\node[below left] at (0,0) {\tiny O};
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-4:3,samples=100] (\x,{0.125*\x*\x*\x+0.125*\x*\x-\x+1}) node[right] {$\mathscr{C}_f$};
\draw[very thick,blue!50!black] plot[domain=-3:2,samples=100] (\x,{0.125*\x*\x*\x+0.125*\x*\x-\x+1});
\node[white] at (-1.5,1) {$\pmb{\int_{-3}^2 f(x)\dx}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Lien avec les primitives}]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\text{I}=\intervFF{a}{b}$, et soit F une primitive de $f$ sur I.\\
Alors,
\[
\int_a^b f(x)\dx = \text{F}(b)-\text{F}(a).
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=nota]
On note aussi :
\[
\int_a^b f(x)\dx = [\text{F}(x)]_a^b=\text{F}(b)-\text{F}(a).
\]
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=rem,pluriel]
\begin{itemize}
\item \og $\dint_a^b f(x)\dx$ \fg{} si lit : \og intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)\dx$. \fg{} 

\item Dans l'écriture $\dint_a^b f(x)\dx$, \og $x$ \fg{} est ce que l'on appelle une \emph{variable muette}, c'est-à-dire que l'on peut la remplacer par n'importe quelle lettre dans la mesure où il n'y a aucune ambiguïté. Ainsi,
\[ \int_a^b f(x)\dx = \int_a^b f(t)\dx[t].\]
\end{itemize}

\breakbox

\begin{itemize}
\item Dans l'écriture $\dint_a^b f(x)\dx$, $a$ et $b$ sont appelés les \emph{bornes de l'intégrale}.
\item $\dint_a^b f(x)\dx$ est toujours exprimée en \emph{unités d'aire} (u.a.) (où 1 u.a. représente l'aire du rectangle (ou carré) de côtés 1 (en abscisses) et 1 (en ordonnées).\\
Par exemple, si l'on prend 1,5 cm pour 1 unité en abscisses et 2 cm pour unité en ordonnées, 1 u.a. = 3 cm$^2$.
\end{itemize}
\end{pasbox}



\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Valeur moyenne d'une fonction}]
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\intervFF{a}{b}$, $a\neq b$.\\
On appelle \definmot{valeur moyenne de f sur \intervFF{a}{b}} le nombre défini par :
\[
\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\dx.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Lorsqu'un bénéfice (par exemple) est désigné par une fonction $f$, le bénéfice moyen sur une période (donc sur un intervalle \intervFF{a}{b}) correspond à la valeur moyenne de $f$.
\end{pasbox}

\enlargethispage*{4em}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Le bénéfice d'une multinationale s'exprime (en milliers d'euros) par la fonction :
\[
f(x)=\e^{2x}-1
\]
où $x$ est exprimé en années.

\medskip

Le bénéfice moyen de cette entreprise au cours des 10 premières années (donc sur l'intervalle \intervFF{0}{10}) est :
\begin{align*}
\mu & = \dfrac{1}{10-0}\int_0^{10}\left(\e^{0,5x}-1\right)\dx\qquad\text{où }F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x}-x\text{ est une primitive de }f(x)\\
& = \dfrac{1}{10} \big( F(10)-F(0) \big) \\
& =  \dfrac{1}{10}\left[ \left(\dfrac{1}{2}\e^{2\times10}-10\right)-\left(\dfrac{1}{2}\e^{2\times0}-0\right) \right]\\
& = \dfrac{1}{10}\big( 0,5\e^{20}-10-0,5 \big)\\
& =  \dfrac{1}{10} \big( 0,5\e^{20}-10,5 \big)\\
\mu & \approx \numprint{24258258,7205}
\end{align*}
La valeur moyenne est exprimée dans la même unité que $f(x)$ donc le bénéfice moyen est d'environ \numprint{2425825872} \euro{} (à l'euro près).
\end{pasbox}

\end{document}	