\documentclass[12pt,french]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Logarithme Népérien}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Raisonnement par récurrence
\item Fonction exponentielle
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Logarithme népérien}]
On définit la fonction \definmot{logarithme népérien} comme étant la fonction \definmot{$\ln$} définie de $\R*_+$ dans $\R$ telle que :
\[ 
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\forall~x\in\R,\ \ln\left(\e^x\right)=x\\
\forall~x\in\R*_+,\ \e^{\ln x}=x
\end{array}
\right.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
On dit que la fonction $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
\end{pasbox}

Graphiquement, cela se traduit par une symétrie de la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à la première bissectrice (droite d'équation $y=x$) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[->,>=stealth',thick] (-5.5,0) -- (5.5,0);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,-5.5) -- (0,5.5);
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\draw[dashed] (0,1) -- (1,0);
\draw (0.4,0.6) -- (0.5,0.7) -- (0.6,0.6);
\draw[green!50!black,very thick] plot[domain=-5:1.6,samples=100] (\x,{exp(\x)}) node[right] {$y=\e^x$};
\draw[blue!50!black,very thick] plot[domain=0.01:5,samples=100] (\x,{ln(\x)}) node[right] {$y=\ln x$};
\draw[very thick,red!50!black] (-5,-5) -- (5,5) node[right] {$y=x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
\[ \forall~a\in\R*_+,\ \forall~b\in\R,\ \ln a = b \Longleftrightarrow a = \e^b.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
La fonction exponentielle étant continue et strictement croissante, on a :
\[ \ln a = b \Longleftrightarrow \e^{\ln a}=\e^b.\]
Or, par définition, $\e^{\ln a}=a$. D'où le résultat.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,name={Valeurs remarquables}]
\begin{itemize}
\item $\ln 1 = 0$ (car $\e^0=1 \Leftrightarrow\ln\e^0=\ln 1 \Leftrightarrow 0=\ln 1$).
\item $\ln\e=1$ (car $\e^1=\e\Leftrightarrow\ln\e^1=\ln\e\Leftrightarrow 1=\ln\e$).
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Sens de variation}]
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\R*_+$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que $\ln a<\ln b$.\\
Alors,
\begin{align*}
\ln a < \ln b & \Longleftrightarrow \e^{\ln a} < \e^{\ln b}\quad\text{car la fonction exponentielle est strictement croissante sur }\R\\
& \Longleftrightarrow a < b
\end{align*}

D'où le résultat.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Relation fonctionnelle de la fonction logarithme népérien}]
\[
\forall\coord{a}{b}\in\R*_+\times\R*_+,\ \ln(ab)=\ln a + \ln b.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
D'une part, nous avons :
\[ \e^{\ln(ab)} = ab,\]
et d'autre part, nous avons :
\[ 
\e^{\ln a+\ln b}=\e^{\ln a}\times\e^{\ln b}=ab.
\]
Ainsi,
\[ \e^{\ln(ab)}=\e^{\ln a+\ln b}\]
et donc, parce que $x=y\Leftrightarrow\e^x=\e^y$ :
\[ \ln (ab)=\ln a + \ln b.\]

\vspace*{-2.2em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Propriétés algébriques}]
Soit $a$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier relatif. Alors :

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln a$
\item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$
\item $\ln\left(a^n\right)=n\ln a$
\item $\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\ln a$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
\begin{enumerate}
\item $a\times\dfrac{1}{a}=1$ donc $\ln\left(a\times\dfrac{1}{a}\right)=\ln 1 = 0$.\\
On en déduit alors que $\ln a + \ln\dfrac{1}{a}=0$, soit $\ln\dfrac{1}{a}=-\ln a$.

\item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a\times\dfrac{1}{b}\right)=\ln a + \ln\dfrac{1}{b}=\ln a - \ln b$ d'après le point précédent.

\item La démonstration se fait par récurrence sur $n$ à l'aide de la propriété : \linebreak$\ln\left(a^2\right)=\ln (a\times a)=\ln a + \ln a = 2\ln a$.

\item $\ln a = \ln\left(\sqrt{a}^2\right) = 2\ln\sqrt{a}$. D'où le résultat, en divisant par deux.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln\dfrac{1}{3}=-\ln 3$
\item $\ln\dfrac{3}{2}=\ln 3-\ln 2$
\item $\ln8=\ln\left(2^3\right)=3\ln 2$
\item $\ln\sqrt{7}=\dfrac{1}{2}\ln 7$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Equations},pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\forall\coord{a}{b}\in\R*_+\times\R*_+,\ \ln a = \ln b \Longleftrightarrow a = b.$
\item $\forall~k\in\R,\ \ln x = k \Longleftrightarrow x= \e^k$.
\item $\forall~k\in\R*_+,\ \e^x = k \Longleftrightarrow x= \ln k$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\ln a = \ln b & \Longleftrightarrow \e^{\ln a}=\e^{\ln b}\\
& = \Longleftrightarrow a = b.\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\ln x = k & \Longleftrightarrow \e^{\ln x}=\e^k\\
& \Longleftrightarrow x = \e^k.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^x=k & \Longleftrightarrow \ln\e^x=\ln k\\
& \Longleftrightarrow x = \ln k.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Inéquations},pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\forall\coord{a}{b}\in\R*_+\times\R*_+,\ \ln a < \ln b \Longleftrightarrow a < b.$
\item $\forall~k\in\R,\ \ln x < k \Longleftrightarrow x< \e^k$.
\item $\forall~k\in\R*_+,\ \e^x < k \Longleftrightarrow x< \ln k$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

Ces propriétés se démontrent de la même façon que les précédentes.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Dérivée de la fonction logarithme népérien (admis)}]
Sur \intervOO{0}{+\infty}, la dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction inverse.
\[ \left(\ln x\right)^\prime = \frac{1}{x}.\]
\end{pasbox}

Par ce théorème, on retrouve la stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $\R*_+$ car sur cet ensemble, $\dfrac{1}{x}>0$.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Conservation du sens de variation par composition}]
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle I telle que $u(x)>0$ sur I.\\
Alors, la fonction définie par $\ln u$ possède les mêmes variations que $u$ sur I.
\end{pasbox}

Ce théorème résulte de la propriété $a<b \Longleftrightarrow \ln a<\ln b$.

\medskip

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Dérivée de $\ln u$}]
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle I telle que $u(x)>0$ sur I.\\
Alors,
\[ \left(\ln u\right)^\prime=\dfrac{u^\prime}{u}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
On sait que :
\[ \left(\e^v\right)'=v'\e^v\]
donc en posant $v=\ln u$, on a :
\[ \left(\e^{\ln u}\right)'=\left(\ln u\right)'\e^{\ln u}\]
soit :
\[ u'=\left(\ln u\right)'\times u\]
ou encore :
\[ \dfrac{u'}{u}=\left(\ln u\right)'.\]

\vspace*{-2em}
\end{pasbox}
\end{document}	