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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Loi normale, intervalles de fluctuation, estimation}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Variables aléatoires discrètes (avec espérance et écart-type)
\item Loi binomiale
\end{prerequis}

\newpage %---------------------- DEBUT DU COURS

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Loi binomiale (rappels)}]
Soit X une variable aléatoire discrète désignant le nombre de succès obtenus après $n$ répétitions d'une même expérience à deux issues. Si $p$ représente la probabilité d'obtenir un succès lors d'une expérience, X suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, et on note :
\[ \text{X} \sim \mathscr{B}\coord{n}{p}.\]
Dans ce cas, on a :
\[ \forall~k\in\entInterv{0}{n},\ \probavar{X}{k}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\quad , \quad \esp{X}=np\quad\text{et}\quad\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.\]
\end{pasbox}

\input{graphiqueLoiBinomiale}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95}}]
Un \definmot{intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95}} relatif à un échantillon de taille $n$ est un intervalle dans lequel est la fréquence observée dans un échantillon de même taille $n$ avec une probabilité de \pourcent{95}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
En classe de Seconde, on a vu que \intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}} était un intervalle de fluctuation \emph{approché} au seuil de \pourcent{95} relatif aux échantillon de taille $n$.\\
Quelques fois, la probabilité que la fréquence appartienne à cet intervalle est très proche de 0,95 mais en étant inférieure (d'où le \og \emph{approché} \fg).\\
Dans la pratique, on utilise cet intervalle lorsque $p\in\intervFF{0,2}{0,8}$ et $n\geqslant25$.
\end{pasbox}



\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi normale centrée réduite}]
Une variable aléatoire X à densité $f$ sur I suit une \definmot{loi normale centrée réduite} si \linebreak$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}$ et $\text{I}=\intervFF{a}{b}$, $a$ et $b$ étant deux réels, $a<b$.\\
On note alors :
\[ \text{X} \sim \mathscr{N}\coord{0}{1}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel]
Soit $\text{X} \sim \mathscr{N}\coord{0}{1}$. Alors,
\begin{enumerate}
\item $\forall~u\in\R^+,\ \probavar[\leqslant]{X}{-u}=\probavar[\geqslant]{X}{u}$ ,
\item $\probavar[\leqslant]{X}{0}=\probavar[\geqslant]{X}{0}=\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}



\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Espérance et écart-type de la loi normale centrée réduite}]
Soit $ \text{X} \sim \mathscr{N}\coord{0}{1}$. Alors,
\[ \esp{X}=0 \qquad\text{et}\qquad\sigma(\text{X})=1 .\]
\end{pasbox}


\begin{aretenir}[0.5]
\begin{itemize}
\item $\text{P}(-1,96\leqslant\text{X}\leqslant1,96)\approx0,95$.
\item $\text{P}(-2,58\leqslant\text{X}\leqslant2,58)\approx0,99$.
\end{itemize}

Cela signifie que si une variable aléatoire X suit la loi $\mathscr{N}\coord{0}{1}$, alors \pourcent{95} de ses valeurs se trouvent entre $-1,96$ et $1,96$, et \pourcent{99} entre $-2,58$ et $2,58$.
\end{aretenir}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi normale}]
Une variable aléatoire X suit une loi normale $\mathscr{N}\coord{\mu}{\sigma^2}$, d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, si la variable aléatoire $\text{Z}=\dfrac{\text{X}-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathscr{N}\coord{0}{1}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit $\text{X} \sim \mathscr{N}\coord{\mu}{\sigma^2}$.\\
Alors,
\begin{align*}
\text{P}(\mu-\sigma\leqslant\text{X}\leqslant\mu+\sigma)\approx0,68 && \text{(à }10^{-2}\text{ près)}\\
\text{P}(\mu-2\sigma\leqslant\text{X}\leqslant\mu+2\sigma)\approx0,95 && \text{(à }10^{-2}\text{ près)}\\
\text{P}(\mu-3\sigma\leqslant\text{X}\leqslant\mu+3\sigma)\approx0,997 && \text{(à }10^{-3}\text{ près)}
\end{align*}
\end{pasbox}

\newpage

Ce dernier résultat nous dit que si X est une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathscr{N}\coord{\mu}{\sigma^2}$, alors
\begin{itemize}
\item \pourcent{68} de ses valeurs se trouvent dans \intervFF{\mu-\sigma}{\mu+\sigma} ;
\item \pourcent{95} de ses valeurs se trouvent dans \intervFF{\mu-2\sigma}{\mu+2\sigma} ;
\item \pourcent{99,7} de ses valeurs se trouvent dans \intervFF{\mu-3\sigma}{\mu+3\sigma}.
\end{itemize}

\medskip



\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95}}]
Si :
\[ n\geqslant 30\qquad ; \qquad np\geqslant 5\qquad ; \qquad n(1-p)\geqslant5.\]
alors l'intervalle $\text{I}_n=\intervFF{p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}{p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}$ est appelé un \definmot{intervalle de fluctuation asymptotique} au seuil de $1-\alpha$ de la variable aléatoire $\text{F}_n=\dfrac{\text{X}_n}{n}$.
\end{pasbox}



\begin{pasbox}[degrade,style=ex,name={Exemple d'application (d'après les ressources de l'E.N.)}]
Le responsable de la maintenance des machines à sous d'un casino doit vérifier qu'un certain type de machines est bien réglé sur une fréquence de succès de 0,06.

Il décide de régler chaque machine pour laquelle il aura observé, dans l'historique des jeux, une fréquence de succès se situant en dehors d'un intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95}.

Lors du contrôle d'une machine, le technicien constate qu'elle a fourni 9 succès sur 85 jeux.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fréquence observée $f$ de succès de cette machine.
\item Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95} de la fréquence de succès.
\item Le technicien va-t-il modifier le réglage de la machine ?
\item Quelle aurait été sa décision s'il y avait eu 21 succès sur 200 jeux ?
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item La fréquence observée est : $f=\dfrac{9}{85}\approx0,106$.
\item Ici, $n=85\geqslant30$, $p=0,06$ donc $np=5,1\geqslant5$ et $n(1-p)=79,9\geqslant5$.

Un intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} est donc :
\[
\text{I}=\intervFF{0,06-1,96\dfrac{\sqrt{0,06\times0,94}}{\sqrt{85}}}{0,06+1,96\dfrac{\sqrt{0,06\times0,94}}{\sqrt{85}}}\approx\intervFF{0,0096}{0,1104}.
\]
\item $f\in\text{I}$ donc le réglage de la machine n'est pas à modifier.
\item Dans cette question, $f\approx0,105$ et $\text{I}\approx\intervFF{0,0271}{0,0929}$ donc $f\notin\text{I}$. Il faut donc régler la machine.
\end{enumerate}

\newpage


\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Intervalle de confiance}]
Soit $f$ une fréquence observée sur une population de taille $n\geqslant30$ telle que $nf\geqslant5$ et $n(1-f)\geqslant5$.

L'intervalle  $\intervFF{f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$  est appelé un \definmot{intervalle de confiance} au seuil de \pourcent{95} de la probabilité de l'événement observé.
\end{pasbox}



\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,name={Exemple d'application : sondages et élections}]
Pour le 2\ieme{} tour d'une élection présidentielle, l'institut de sondages A réalise un sondage qui montre que \pourcent{52,5} des intentions de votes sont pour le candidat 1, et donc \pourcent{47,5} pour le candidat 2 (en ne tenant pas compte ni de l'abstention ni des votes blancs).

L'institut B réalise son propre sondage et constate que \pourcent{50,5} des intentions de votes sont pour le candidat 1.

Les deux sondages ont été faits sur un échantillon de \numprint{1112} personnes.

L'intervalle de confiance pour l'institut A est $\intervFF{0,525-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1112}}}}{0,525+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1112}}}}$, soit \intervFF{0,4951}{0,5549} pour le candidat 1.

\medskip

L'intervalle de confiance pour l'institut B est $\intervFF{0,505-\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1112}}}}{0,505+\dfrac{1}{\sqrt{\numprint{1112}}}}$, soit \intervFF{0,4751}{0,5349} pour le candidat 1.

L'intersection des deux intervalles n'étant pas vide, les résultats des deux sondages ne sont pas en contradiction.

De plus, ces intervalles contiennent des valeurs inférieures à 0,5 ; ainsi, le candidat 1 n'est pas totalement sûr de gagner les élections.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,pluriel]
\begin{enumerate}
\item Remarquez l'importance de connaître la taille de l'échantillon sur lequel le sondage est effectué. Sans ce nombre, impossible de faire des conclusions probantes.
\item Comme pour les intervalles de fluctuation, il existe différents intervalles de confiance. Par exemple, l'intervalle :
\[
\intervFF{f-1,96\dfrac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}}{f+1,96\dfrac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}}}.
\]
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,name={Contr\^ole du Loto}]
Le site \url{http://www.lototest.com} offre certaines statistiques concernant le Loto, et notamment concernant le nouveau Loto (depuis 2008).\\
On y trouve, au 16 août 2013, que sur 763 tirages, la fréquence maximale enregistrée pour un numéro est de \pourcent{2,49} (le numéro 23) et la fréquence minimale est de \pourcent{1,6} (les numéros 42 et 19).

\medskip

La question que l'on est en droit de se poser est si ces fréquences sont acceptables au seuil de \pourcent{95} ?

\medskip

La probabilité d'un numéro quelconque est : $p=\dfrac{1}{49}\approx\pourcent{2,04}$.\\
Un intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95} est :
\[
\intervFF{0,0204-1,96\frac{\sqrt{0,0204\times(1-0,0204)}}{\sqrt{763}}}{0,0204-1,96\frac{\sqrt{0,0204\times(1-0,0204)}}{\sqrt{763}}}\approx\intervFF{0,0104}{0,031}.
\]
On constate donc que la fréquence minimale observée ainsi que la fréquence maximale observée sont dans cet intervalle.\\
On peut donc conclure qu'il n'y a aucune anomalie concernant les tirages observés.
\end{pasbox}
\end{document}	