\documentclass[12pt,french]{article}
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Probabilités continues}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Intégration
\item Fonction exponentielle
\item Conditionnement et indépendance
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Variable aléatoire discrète}]
On considère une expérience aléatoire sur un univers $\Omega$ \textbf{fini}.\\
Une \definmot{variable aléatoire X} est une application de $\Omega$ dans \R{} qui, à chaque issue, associe un nombre réel.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Si l'on considère l'expérience aléatoire consistant à jeter un dé cubique non truqué, et si X est la variable aléatoire représentant l'ensemble des issues possibles, alors $\text{X}=\{1;2;3;4;5;6\}$.
\[
\fonction[\text{X}]{\Omega}{\entInterv{1}{6}}{\omega}{\text{X}(\omega)}
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète}]
Soit $\text{X}\;:\;\Omega \rightarrow \R$ une variable aléatoire.\\
La \definmot{loi de probabilité de X} est la donnée :

\begin{enumerate}
\item Des valeurs possibles $\{x_1;x_2;\ldots;x_n\}$ prises par X ;
\item Des probabilités $\probavar{X}{x_i}$, pour $i$ variant de 1 à $n$, de sorte que :
\[
\sum_{i=1}^n \probavar{X}{x_i}=1.
\]
\end{enumerate}

En général, on donne la loi de probabilité de X sous forme de tableau.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Dans le cas de l'exemple précédent (du dé cubique), la loi de probabilité de X est :
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\[
\begin{array}{|*7{c|}}
\hline
x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
\probavar{X}{x_i} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\
\hline
\end{array}
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète}]
Soit $\text{X}=\{x_1;x_2;\ldots;x_n\}$ une variable aléatoire. On note, pour $i$ variant de 1 à $n$,\linebreak$p_i=\probavar{X}{x_i}$.\\
On définit l'\definmot{espérance mathématique} de X par :
\[ \esp{X}=\sum_{i=1}^n x_ip_i\; .\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Dans notre exemple précédent,

$\begin{aligned}[t]
\esp{X} & =1\times\dfrac{1}{6}+2\times\dfrac{1}{6}+3\times\dfrac{1}{6}+4\times\dfrac{1}{6}+5\times\dfrac{1}{6}+6\times\dfrac{1}{6}\\
& = (1+2+3+4+5+6)\times\dfrac{1}{6}\\
& = \dfrac{21}{6}
\end{aligned}$
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Densité de probabilité}]
Une fonction $f\;:\; I=\intervFF{a}{b} \rightarrow \R$ est une \definmot{densité de probabilité} si :
\begin{enumerate}
\item $f$ est continue sur $I$ ;
\item $\forall x\in I,\ f(x)\geqslant 0$ ;
\item $\dint_a^b f(x)\dx=1$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item \fonction[f]{\intervFF{0}{1}}{\R}{x}{1} est une loi de densité.
\item \fonction[f]{\intervFO{0}{+\infty}}{\R}{x}{\e^{-x}} est une loi de densité.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel]
Soit X une variable aléatoire à densité $f$ sur I.
\begin{enumerate}
\item $\forall \alpha \in \text{I},\ \probavar{X}{\alpha}=0$ ;

\item $\probavar[\leqslant]{X}{a}=1-\probavar[>]{X}{a}$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,pluriel]
\begin{enumerate}
\item La première propriété signifie simplement que dans le cas d'une variable aléatoire continue, écrire $\probavar{X}{2}$ (par exemple) n'a pas de sens puisque la probabilité est toujours égale à~0.

\item Par exemple, $\probavar[\leqslant]{X}{3}=1-\probavar[>]{X}{3}$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Loi uniforme sur \intervFF{a}{b}}]
Soit X une variable aléatoire à densité $f$ sur I.\\
On dit que \definmot{X suit la loi uniforme} si $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$ et $\text{I}=\intervFF{a}{b}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\text{I}=\intervFF{a}{b}$.\\
Alors, si $c$ et $d$ sont deux nombres de \intervFF{a}{b} :
\[
\proba{c \leqslant X \leqslant d}=\dfrac{d-c}{b-a}\;.
\]
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On choisit au hasard un nombre entre 0 et 1. La probabilité qu'il soit compris entre 0,3 et 0,4 est :
\[
\probavar[\in]{X}{\intervFF{0,3}{0,4}}=\dfrac{0,4-0,3}{1-0}=0,1.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Espérance mathématique d'une loi uniforme}]
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\text{I}=\intervFF{a}{b}$.\\
Alors, son espérance est :
\[
\esp{X}=\dfrac{a+b}{2}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
L'espérance est donc le milieu de l'intervalle \intervFF{a}{b}.
\end{pasbox}


\end{document}	