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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Primitives}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Généralités sur les fonctions
\item Fonction exponentielle
\item Fonction logarithme
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Primitives d'une fonction continue}]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle I de \R.\\
On dit que F est \definmot{une primitive} de $f$ sur I si $F$ est dérivable sur I et si, pour tout réel $x$ de I, $F'(x)=f(x)$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2$ est une primitive de $f(x)=x$ sur \R ;
\item $F(x)=-\dfrac{1}{3}\sin(3x+5)-7$ est une primitive de $f(x)=\cos(3x+5)$ sur \R.
\item $F(x)=-\dfrac{1}{x}$ est une primitive de $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ sur \intervOO{0}{+\infty} et sur \intervOO{-\infty}{0}.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=thm,name={Existence}]
Toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives sur cet intervalle.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Une fonction continue sur un intervalle I admet une infinité de primitives.\\
En effet, si $F$ est une primitive de $f$ sur I, alors, pour $k\in\R$, $F+k$ l'est aussi car, sur I : $$(F(x)+k)'=F'(x)+k' = f(x)+0=f(x).$$
On dit que les primitives sont définies à une constante près.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit $f$ une fonction continue sur I, et soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$.\\
Alors, $F-G$ est une fonction constante sur I.
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit $f$ une fonction continue sur I. Soient $x_0$ et $y_0$ deux réels, $x_0\in\text{I}$.\\
Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur I telle que $F(x_0)=y_0$.
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Trouvons la primitive de la fonction carré qui prend la valeur 1 en 2.

\medskip

L'ensemble des primitives de la fonction carré est l'ensemble des fonctions $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3+k$, $k\in\R$.\\
On veut que $F(2)=1$, donc $\dfrac{1}{3}2^3+k=1$, soit $k=1-\dfrac{8}{3}=-\dfrac{5}{3}$.\\
On trouve alors que la primitive cherchée est la fonction $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{3}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle I de \R. Soient $a$ et $b$ deux nombres de I. Soit $F$ une primitive de $f$.\\
La différence $F(a)-F(b)$ ne dépend pas de la primitive choisie.
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Primitives des fonctions usuelles},notitlebreak]
\arrayrulecolor{red!50!black}
\begin{center}
\begin{tabular}{|*3{Sc|}}
\hline\rowcolor{red!50!black}\color{white}
$f(x)$ & \color{white}$F(x)$ & \color{white}I\\
\hline
0 & $k$, $k\in\R$ & \R\\
\hline
1 & $x+k$, $k\in\R$ & \R\\
\hline
$\dfrac{1}{x^2}$ & $-\dfrac{1}{x}+k$, $k\in\R$ & $\R*_+$ et $\R*_-$\\
\hline
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ & $2\sqrt{x}+k$, $k\in\R$ & $\R*_+$\\
\hline
$x^n$, $n\in\N$ & $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k$, $k\in\R$ & \R\\
\hline
$x^n$, $n\in\N$ & $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k$, $k\in\R$ & \R\\
\hline
$\dfrac{1}{x^n}$, $n\geqslant2$ & $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}+k$, $k\in\R$ & $\R*_-$ et $\R*_+$\\
\hline
$\cos x$ & $\sin x+k$, $k\in\R$ & \R\\
\hline
$\sin x$ & $-\cos x+k$, $k\in\R$ & \R\\
\hline
$\e^x$ & $\e^x$ & \R\\
\hline
$\dfrac{1}{x}$\rule[-1em]{0pt}{2.5em} & $\ln x+k$, $k\in\R$ & $\R*_+$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Il existe des fonctions dont on ne conna\^it pas de primitives ; par exemple, $x \mapsto \e^{-x^2}$.
\end{pasbox}
\end{document}	