\documentclass[12pt,french]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{pas-algo}
\usepackage[everytoc,ant]{pas-cours}
\usepackage{pas-math}
\usepackage[hmargin=2cm,vmargin=1.5cm]{geometry}
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{multicol}
\usepackage{cellspace}
\usepackage{tabularx,eurosym}
\setlength{\cellspacetoplimit}{3pt}
\setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt}
\usepackage{pas-tableur}
\usepackage[final]{pdfpages}
\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Suites numériques}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Suites arithmétiques et géométriques (1\iere{} ES)
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

{\titreFONT\Large Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques}
\addcontentsline{toc}{section}{Rappels de 1\iere{} ES}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sc|*2{S{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline
& \bfseries Suites arithmétiques & \bfseries Suites géométriques\\
\hline
\bfseries Formule de récurrence & $u_{n+1}=u_n+r$ & $u_{n+1}=qu_n$\\
\hline
\bfseries Formule explicite & $u_n=u_0+nr$ & $u_n=u_0\times q^n$\\
& $u_n=u_p+(n-p)r$, $p\in\N$ & $u_n=u_p \times q^{n-p}$, $p\in\N$\\
\hline
\bfseries Somme des 1\iers{} termes & 
$\begin{aligned}[t] & u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}+u_n\\=\ & (n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}\\=\ &\tiny\raisebox{1pt}{\text{nb termes}}\times\frac{\text{1\ier{} terme + \text{dernier terme}}}{2}\end{aligned}$ & $\begin{aligned}[t]
& u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}+u_n\\=\ & u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q},\ q\neq1\\=\ &\text{1\ier{} terme}\times\frac{1-q^{\text{nb termes}}}{1-q}\end{aligned}$\\
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,pluriel]
\begin{itemize}
\item Quand on parle d'intér\^ets composés, il est souvent question de suites géométriques ;
\item Quand on parle d'augmentation régulière, il est souvent question de suites arithmétiques.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel,notitlebreak]
\begin{enumerate}
\item Une usine de bonbons souhaite augmenter sa production de 10 bo\^ites par semaine. La production initiale est de 50 bo\^ites.\\
Si on note $p_n$ la production de bo\^ites de bonbons la $n$\ieme{} semaine, alors :
\begin{quote}
$p_0=50$,\\
$p_{n+1}=p_n+10$.
\end{quote}
On a donc ici une suite arithmétique de \textbf{raison} $r=10$ et de \textbf{premier terme} $p_0=50$.\\
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, 
\[ u_n=u_0+nr,\]
soit :
\[u_n=50+10r.\]
Si cette usine stocke toute sa production, alors le nombre de bo\^ites de bonbons dans son stock à la $n$\ieme{} semaine sera :
\begin{align*}
u_0+u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n & =(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}\\
&= (n+1)\times\dfrac{50+(50+10n)}{2}\\
& = (n+1)\times\dfrac{100+10n}{2}\\
& = (n+1)(50+5n).
\end{align*}
\end{enumerate}
\breakbox
\begin{enumerate}[start=2]
\item On place \numprint{10000} \euro{} sur un compte à intér\^ets composés rapportant \pourcent{2} par an.
Le capital sur ce compte est une suite \suite{c}{n}{} telle que :
\begin{quote}
$c_0=\numprint{10000}$,\\
$c_{n+1}=1,02c_n$.
\end{quote}
On a donc ici une suite géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme \numprint{10000}.\\
Ainsi, pour tout entier naturel $n$,
\[ c_n=\numprint{10000}\times(1,02)^n.\]
Par exemple, au bout de 10 ans, le capital du compte est, en euros :
\[ \numprint{10000}\times(1,02)^{10}\approx\numprint{12189,94}.\]
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Limite d'une suite géométrique}]
Soit \suite{u}{n}{}une suite géométrique de raison $q>0$.
\begin{itemize}
\item Si $0<q<1$, alors les termes $u_n$ ont une valeur de plus en plus proche de 0.\\
On dira alors que la \definmot{limite} de \suite{u}{n}{} vaut 0 et on écrira : \limite{n}{+\infty}{\suite{u}{n}{}}=0.
\item Si $q=1$, les termes de la suite sont tous égaux. On dira que la suite est \definmot{constante} et on aura : $\limite{n}{+\infty}{\suite{u}{n}{}}=u_0$.
\item Si $q>1$ et $u_0>0$, les termes de la suite auront une valeur de plus en plus grande.\\
On dira alors que la limite de \suite{u}{n}{} est \og $+\infty$ \fg{} et on écrira : $\limite{n}{+\infty}{\suite{u}{n}{}}=+\infty$.\\
Si $u_0<0$, on a : $\limite{n}{+\infty}{\suite{u}{n}{}}=-\infty$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Suite convergente}]
On dira d'une suite \suite{u}{n}{} qu'elle est \definmot{convergente} si sa limite, quand $n$ tend vers $+\infty$, est un nombre fini.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $u_n=1+\dfrac{1}{n}$.\\
On sait que $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$ donc $\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=1$.\\
Ainsi, \suite{u}{n}{} converge vers 1.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Limite de la somme $1+q+q^2+\cdots q^n$}]
\begin{itemize}
\item Si $0<q<1$, alors la limite de $1+q+q^2+\cdots+q^n$ vaut $\dfrac{1}{1-q}$.
\item Si $q>1$, alors la limite de $1+q+q^2+\cdots+q^n$ vaut $+\infty$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
On sait que :
\[ 1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
\begin{itemize}
\item Si $0<q<1$, alors on peut écrire $q$ sous la forme $q=\dfrac{1}{p}$, où $p>1$. On constate alors que $\limite{n}{+\infty}{\left(q^n\right)}=\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{p^n}\right)}=0$ car $\limite{n}{+\infty}{\left(p^n\right)}=+\infty$.\\
Ainsi, \[ \limite{n}{+\infty}{\left(1+q+q^2+\cdots+q^n \right)}=\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} \right)}=\dfrac{1-0}{1-q}=\dfrac{1}{1-q}.\]

\item Si $q>1$, alors $\limite{n}{+\infty}{q^n}=+\infty$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(1-q^{n+1}\right)}=-\infty$ et comme $1-q<0$, on a : $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\right)=+\infty$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item $\limite{n}{+\infty}{\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\right)}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$.
\item $\limite{n}{+\infty}{\left(1+1,1+(1,1)^2+(1,1)^3+\cdots+(1,1)^n\right)}=+\infty$ car $1,1>1$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Si \suite{u}{n}{}est une suite géométrique de raison $q$,
\begin{itemize}
\item Si $0<q<1$, alors $\limite{n}{+\infty}{(u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n)}=\dfrac{u_0}{1-q}$.
\item Si $q>1$, alors la somme des $n$ premiers termes tend vers un infini dont le signe est celui du premier terme $u_0$ : $\limite{n}{+\infty}{(u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n)}=\pm\infty$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Suite arithmético-géométrique}]
On dit d'une suite \suite{u}{n}{} qu'elle est \definmot{arithmético-géométrique} si, pour tout entier naturel $n$, il existe deux réels $a\neq1$, $a\neq0$ et $b\neq0$ tels que : 
\[ u_{n+1}=au_n+b.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Si $a=0$, la relation de récurrence devient : $u_{n+1}=b$ et la suite est donc constante.\\
Si $a=1$, la relation de récurrence devient : $u_{n+1}=u_n+b$ et la suite est donc simplement arithmétique de raison $b$.\\
Si $b=0$, la relation de récurrence devient : $u_{n+1}=au_n$ et la suite est donc simplement géométrique de raison $a$.
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={\'Etude d'une suite arithmético-géométrique}]
Soit \suite{u}{n}{} une suite arithmético-géométrique.\\
On étudie en général \suite{u}{n}{} en considérant une autre suite \suite{v}{n}{}, telle que $v_n=u_n-\alpha$, qui s'avère \^etre  géométrique.

\medskip

Considérons la suite \suite{u}{n}{} définie par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=3\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n-2
\end{array}
\right.
\]
Considérons alors la suite géométrique \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[ v_n=u_n-\alpha.\]

\begin{enumerate}
\item \textbf{Que vaut $\pmb{\alpha}$ ?}\\
Si \suite{v}{n}{} est une suite géométrique, alors, pour tout entier naturel $n$, on doit avoir :
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
& v_{n+1}=qv_n\\
\Leftrightarrow\ & u_{n+1}-\alpha = q(u_n-\alpha)\\
\Leftrightarrow\ & \dfrac{1}{3}u_n-2-\alpha=q(u_n-\alpha)\\
\Leftrightarrow\ & \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}\left(u_n-(\textcolor{blue}{6+3\alpha}) \right)=\textcolor{red}{q}(u_n-\textcolor{blue}{\alpha})
\end{align*}

\begin{align*}
\Leftrightarrow\ & \left\lbrace\begin{array}{l}q=\dfrac{1}{3}\\6+3\alpha=\alpha\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow\ & q=\dfrac{1}{3}\quad\text{et}\quad\alpha=-3
\end{align*}
\end{multicols}

\item \textbf{Comment trouver l'expression du terme général $\pmb{u_n}$ ?}\\
La suite \suite{v}{n}{} définie par : $v_n=u_n+3$ est donc une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=u_0+3=6$.\\
Ainsi, pour tout entier naturel $n$,
\[ v_n=6\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{6}{3^n},\]
et donc :
\[ \pmb{u_n}=v_n-3\pmb{=\dfrac{6}{3^n}-3}.\]
On peut m\^eme dire que $\limite{n}{+\infty}{\suite{u}{n}{}}=-3$ car $\limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{6}{3^n}\right)}=0$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\bonus{Algorithmique (utilisation d'un tableur)}

Considérons la suite \suite{u}{n}{}définie pour tout entier naturel $n$  par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=3\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+8
\end{array}
\right.
\]
Nous souhaitons générer les premiers termes de cette suite dans un tableur.\\

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7.5cm}
Pour cela, nous allons mettre les valeurs de $n$ dans la première colonne, et celles de $u_n$ dans la seconde :
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
~\par
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur[3]{A,B}
\celtxt[c]{A}{1}{n}
\celtxt[c]{B}{1}{u(n)}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7.5cm}
On commence à entrer \og 0 \fg{} dans la cellule \texttt{A2} et la valeur de $u_0$ dans \texttt{B2} :
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
~\par
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur[3]{A,B}
\celtxt[c]{A}{1}{n}
\celtxt[c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[c]{A}{2}{0}
\celtxt[c]{B}{2}{3}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7.5cm}
Ensuite, on entre la formule \og \texttt{=A2+1} \fg{} dans la cellule \texttt{A3} afin que, par copier-glisser, cette formule génère les autres valeurs de $n$ dans la colonne \texttt{A} :
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
~\par
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur[3]{A,B}
\celtxt[c]{A}{1}{n}
\celtxt[c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[c]{A}{2}{0}
\celtxt[c]{B}{2}{3}
\celtxt{A}{3}{=A2+1}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7.5cm}
Pour copier-glisser la formule fra\^ichement rentrée, on se place sur la cellule \texttt{A3}, puis on clique sur le petit carré noir en bas à droite de la cellule et, tout en laissant le bouton de la souris enfoncé, on fait glisser le curseur vers le bas jusqu'à la ligne que l'on veut (par exemple, jusqu'à la 30\ieme{} ligne).
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
~\par
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur[3]{A,B}
\celtxt[c]{A}{1}{n}
\celtxt[c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[c]{A}{2}{0}
\celtxt[c]{B}{2}{3}
\celtxt[c]{A}{3}{1}
\selecCell{A}{3}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7.5cm}
Maintenant, on entre dans la cellule \texttt{B3} la formule qui permet de calculer $u_1$ : \og \texttt{=B2/5+8} \fg.\\
Ensuite, par copier-glisser, on copie la formule sur toute la colonne B jusqu'à la dernière ligne.
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
~\par
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur[3]{A,B}
\celtxt[c]{A}{1}{n}
\celtxt[c]{B}{1}{u(n)}
\celtxt[c]{A}{2}{0}
\celtxt[c]{B}{2}{3}
\celtxt[c]{A}{3}{1}
\celtxt{B}{3}{=B2/5+8}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

On s'aperçoit alors que le tableur retourne des valeurs qui se rapprochent de plus en plus de 10 jusqu'à atteindre 10 à la ligne 15.\\
En fait, la suite n'atteint pas cette valeur mais la capacité d'affichage d'un tableur étant limitée, celui-ci arrondi le résultat et affiche \og 10 \fg{} quand il ne peut plus afficher toutes les décimales.

\medskip

On peut donc \textbf{conjecturer} (c'est-à-dire supposer) que \suite{u}{n}{} converge vers 10.

\bonus{Algorithmique (utilisation d'un algorithme)}

Considérons à nouveau la suite \suite{u}{n}{}définie pour tout entier naturel $n$  par :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u_0=3\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{5}u_n+8
\end{array}
\right.
\]
Nous souhaitons générer les premiers termes de cette suite à l'aide d'un algorithme.\\
Nous allons donc utiliser par exemple l'algorithme suivant :

\bigskip

\begin{algo}{}
\begin{algoentries}
n : indice du dernier terme à calculer\\
U : premier terme de la suite\\
i : entier de boucle
\end{algoentries}
\begin{algobody}
\begin{algofor}{i allant de 1 à n}
U/5+8$\rightarrow$U\\
Afficher U
\end{algofor}
\end{algobody}
\end{algo}

\bigskip

\textbf{Explications :}

\begin{itemize}
\item \textbf{Les entrées}\\
Nous devons donner à l'algorithme une valeur finale ; nous l'appelons ici \og $n$ \fg.\\
Ensuite, nous devons donner la valeur du premier terme de la suite : nous l'appelons ici \og U \fg.\\
Et enfin, \og i \fg{} sera le nom de la variable qui va nous servir dans la boucle.

\item \textbf{Le traitement}\\
Nous créons une boucle pour calculer et afficher chacun des termes de la suite : $u_1$, $u_2$, ..., $u_n$.\\
Dans la boucle, \og U/5+8$\rightarrow$U \fg{} signifie que l'on prend la valeur stockée dans U, on la divise par 5 et on ajoute 8 pour déterminer la valeur du terme suivant de la suite (d'après la formule de récurrence qui définit la suite).\\
Cette nouvelle valeur, nous la stockons dans \og U \fg{} pour nous en servir lors de la nouvelle itération de la boucle. Ensuite, nous l'affichons.\\
Regardons pas à pas ce qui se passe :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|S{>{\centering\arraybackslash}p{2.5cm}}|S{p{\dimexpr\linewidth-3.38cm}}|}
\hline
valeur de i & ce que fait l'algorithme\\
\hline
pas de valeur & Avant la boucle, U vaut $u_0$, donc \og 3 \fg{} pour nous.\\
\hline
i=1 & on calcule : U/5+8=3/5+8=8,6. Donc on stocke 8,6 dans U et on affiche 8,6.\\
\hline
i=2 & U vaut 8,6 donc on calcule 8,6/5+8=9,72 donc on stocke 9,72 dans U et on affiche 9,72.\\
\hline
i=3 & U vaut 9,72 donc on calcule 9,72/5+8=9,944 donc on stocke 9,944 dans U et on affiche 9,944.\\
\hline
i=4 & U vaut 9,944 donc on calcule 9,944/5+8=9,9888 donc on stocke 9,9888 dans U et on affiche 9,9888.\\
\hline
i=5 & U vaut 9,9888 donc on calcule 9,9888/5+8=9,99776 donc on stocke 9,99776 dans U et on affiche 9,99776.\\
\hline
\end{tabularx}
\end{itemize}

En utilisant le logiciel ALGOBOX, on a la page suivante.

\includepdf{ALGOBOX.pdf}
\end{document}	