\documentclass[12pt,french]{article}
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		\begin{minipage}{\linewidth}
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		\vspace*{2pt}
	  \end{minipage}
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	\begin{quote}
	\fcolorbox{black}{white}{\usebox{\xcasBox}}
	\end{quote}
}
%\input{module-cours}
\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Matrices et applications}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

%\begin{prerequis}
%\item 
%\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice}]
Une \definmot{matrice} est un tableau contenant différentes valeurs de nombres, que l'on \og encadre \fg{} par des parenthèses.\\
Si le tableau a $n$ lignes et $p$ colonnes, on dira que la matrice est de \definmot{dimension} $n\times p$.\\
Les nombres de la matrice sont appelés les \definmot{coefficients} de la matrice.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\begin{pmatrix}1 & -1 & 3\\0 & 2 & -3\end{pmatrix}$ est une matrice de dimension $2\times3$.
\item $\begin{pmatrix}1 & -1\\0 & -2\\-1 & 3\end{pmatrix}$ est une matrice de dimension $3\times2$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=nota]
Quand on parle d'une matrice A de dimension $n\times p$, il est commun de noter $a_{ij}$ le coefficient situé à la $i$\ieme{} ligne et $j$\ieme{} colonne.\\
On écrit alors $\text{A}=\left(a_{ij}\right)_{1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j \leqslant p}$. Si $n=p$, on peut écrire $\text{A}=\left(a_{ij}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ ou plus simplement $\text{A}=\left(a_{ij}\right)$ s'il ne peut pas y avoir d'ambiguïté.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice ligne, matrice colonne},pluriel]
\begin{itemize}
\item Une \definmot{matrice ligne} est une matrice à 1 ligne.
\item Une \definmot{matrice colonne} est une matrice à 1 colonne.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 4\end{pmatrix}$ est une matrice ligne.
\item $\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\2\end{pmatrix}$ est une matrice colonne.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice transposée}]
La \definmot{transposée} d'une matrice A, de dimension $n\times p$, est la matrice notée $^t$A, de dimension $p\times n$, obtenue à partir de A en faisant en sorte que les lignes de A deviennent les colonnes de $^t$A.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Si $\text{A}=\begin{pmatrix}1 & -1\\0 & 3\\-2 & 5\end{pmatrix}$, alors $^t\text{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\\-1 & 3 & 5\end{pmatrix}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice carrée}]
Une \definmot{matrice carrée} est une matrice ayant le m\^eme nombre de lignes et de colonnes.\\
Si $n$ est le nombre de lignes et colonnes, on dit que la matrice est d'\definmot{ordre} $n$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\begin{pmatrix}1 & -1\\2 & -3\end{pmatrix}$ est une matrice carrée d'ordre 2.
\item $\begin{pmatrix}0 & -1 & 3\\-1 & 0 & 2\\-2 & -1 & 0\end{pmatrix}$ est une matrice carrée d'ordre 3.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice diagonale}]
Une \definmot{matrice diagonale} est une matrice carrée de la forme :
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & a_{33} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots &  &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\]
Tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale principale (du haut/gauche vers le bas/droit).
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ est une matrice diagonale.
\item $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$ est une matrice diagonale.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice nulle}]
La \definmot{matrice nulle} de dimension $n\times p$ est la matrice où tous les coefficients sont nuls.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ est la matrice nulle de dimension $2\times3$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice identité}]
La \definmot{matrice identité d'ordre n} est la matrice carrée diagonale d'ordre $n$ où tous les coefficients non nuls sont égaux à 1.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$ est la matrice identité d'ordre 2.
\item $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ est la matrice identité d'ordre 3.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Il est commun de noter I$_n$ la matrice identité d'ordre $n$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice triangulaire},pluriel]
Une \definmot{matrice triangulaire supérieure} est une matrice carrée où tous les coefficients au-dessous de la diagonale principale sont nuls.\\
Une \definmot{matrice triangulaire inférieure} est une matrice carrée où tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont nuls.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\0 & -1 & 1\\0 & 0 & -2\end{pmatrix}$ est une matrice triangulaire supérieure.
\item $\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\2 & -3 & 5\end{pmatrix}$ est une matrice triangulaire inférieure.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Egalité de deux matrices}]
Deux matrices $\text{A}=\left(a_{ij}\right)$ et $\text{B}=\left(b_{ij}\right)$ sont égales si :
\begin{itemize}
\item elles ont la m\^eme dimension ;
\item pour tout $i$ et $j$, $a_{ij}=b_{ij}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soient $\text{A}=\begin{pmatrix}1-x & 1\\ 3 & 1+y\end{pmatrix}$ et $\text{B}=\begin{pmatrix}x^2 & 1\\z-1 & 1-y^2\end{pmatrix}$.\\
Déterminer $x$, $y$ et $z$ pour que $\text{A}=\text{B}$.
\begin{align*}
\text{A}=\text{B} & \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
1-x=x^2\\3=z-1\\1+y=1-y^2
\end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
x^2+x-1=0\\
z=4\\
y^2+y=0
\end{array} \right.\\
& \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\z = 4\\
y=0\quad\text{ou}\quad y=-1
\end{array} \right.
\end{align*}
Il y a donc 4 matrices A possibles.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice somme}]
Soient A et B deux matrices de m\^eme dimension.\\
On définit la \definmot{matrice somme} de A et B par :
\[ \text{A}+\text{B}=\left(a_{ij}+b_{ij}\right).\]
\end{pasbox} 

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
$\begin{aligned}[t]
\begin{pmatrix}
1 & 2\\-1 & 3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-5 & 2\\3 & -8
\end{pmatrix}
& =
\begin{pmatrix}
1+(-5) & 2+2\\-1+3 & 3+(-8)
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
-4 & 4\\ 2&-5
\end{pmatrix}
\end{aligned}$
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Commutativité de l'addition}]
\begin{itemize}
\item Pour toute matrice A, en notant O la matrice nulle de m\^eme dimension que A, on a :
\[ \text{A}+\text{O}=\text{O}+\text{A}=\text{A}.\]
\item Pour toutes matrices A et B de m\^eme dimension, 
\[ \text{A}+\text{B}=\text{B}+\text{A}.\]
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Multiplication par un réel}]
Soit $k$ un nombre réel et soit A une matrice.\\
Alors,
\[ k\text{A}=\left(k\times a_{ij}\right).\]
\emph{(On multiplie tous les coefficients de A par k).}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Si $\text{A}=\begin{pmatrix}
-2 & 3\\5 & -1\end{pmatrix}$, alors :
\[ 2\text{A}=\begin{pmatrix}-4 & 6\\10 & -2\end{pmatrix}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Distributivité}]
Soient A et B deux matrices de m\^eme dimension, et soit $k$ un nombre réel.\\
Alors,
\[ k(\text{A}+\text{B})=k\text{A}+k\text{B}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne}]
Soit A une matrice ligne de dimension $1\times n$ et soit B une matrice colonne de dimension $n\times1$.\\
Le produit de A par B est une matrice de dimension $1\times1$ définie par :
\begin{align*}
 \text{AB} & = 
 \begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 b_{11}\\b_{21}\\b_{31}\\\vdots\\b_{n1}
 \end{pmatrix}
 \\ 
 & =
 \begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}+\cdots+a_{n1}b_{1n}
\end{pmatrix}.
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{2} & \textcolor{green!50!black}{-1} & \textcolor{red}{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{-3} \\ \textcolor{green!50!black}{-2} \\ \textcolor{red}{5}
\end{pmatrix} & =
\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{2\times(-3)}+\textcolor{green!50!black}{(-1)\times(-2)}+\textcolor{red}{3\times5}
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
-6+2+15
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
11
\end{pmatrix}.
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Multiplication d'une matrice par une matrice colonne}]
On pose :
\[ \text{A}=\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{-1} & \textcolor{green!50!black}{2} & \textcolor{red}{1}\\
\textcolor{blue}{3} & \textcolor{green!50!black}{-5} & \textcolor{red}{0}
\end{pmatrix}\qquad\text{et} \qquad
\text{X}=\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{7}\\\textcolor{green!50!black}{-5}\\\textcolor{red}{4}
\end{pmatrix}.\]
Le produit de A par X est défini comme suit :
\begin{align*}
\text{AX} & = \begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{-1\times7}+\textcolor{green!50!black}{2\times(-5)}+\textcolor{red}{1\times4}\\
\textcolor{blue}{3\times7}+\textcolor{green!50!black}{(-5)\times(-5)}+\textcolor{red}{0\times4}
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
-7-10+4\\
21+25+0
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
-13\\
46
\end{pmatrix}.
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Multiplication de deux matrices}]
Soient A, une matrice de dimension $n\times p$, et B, une matrice de dimension $p\times m$.\\
La matrice produit AB est obtenue en multipliant chaque vecteur ligne de A par chaque vecteur colonne de B.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On pose :
\[
\text{A}=\begin{pmatrix}
-1 & 2 & -3\\
-2 & 0 & 1
\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad
\text{B}=\begin{pmatrix}
5 & 7\\
6 & -3\\
4 & -4
\end{pmatrix}.
\]
Alors,
\begin{align*}
\text{AB} & = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & -3\\
-2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 & 7\\
6 & -3\\
4 & -4
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
(-1)\times5+2\times6+(-3)\times4 & (-1)\times7+2\times(-3)+(-3)\times(-4)\\
(-2)\times5+0\times6+1\times4 & (-2)\times7+0\times(-3)+1\times(-4)
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
-5 & -1\\
-6 & -18
\end{pmatrix}.
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Soit A une matrice carrée d'ordre $n$ et soit I$_n$ la matrice identité d'ordre $n$.\\
Alors,
\[ \text{AI}_n=\text{I}_n\text{A}=\text{A}. \]
\end{pasbox}

\begin{attention}
Si A et B sont deux matrices carrées de m\^eme ordre, on peut calculer le produit AB et le produit BA, mais dans un cas général, \[ \text{AB}\neq\text{BA}.\]
\end{attention}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel]
Soient A, B et C telles que leurs sommes et leur produits existent.\\
Alors,
\begin{itemize}
\item $(\text{A}\times\text{B})\times\text{C}=\text{A}\times(\text{B}\times\text{C})$
\item $\text{A}\times(\text{B}+\text{C})=\text{A}\times\text{B}+\text{A}\times\text{C}$
\item $\text{A}\times(k\text{B})=(k\text{A})\times\text{B}=k(\text{A}\times\text{B})$, où $k\in\R$
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=nota,name={Puissance d'une matrice}]
Soit A une matrice carrée et $n\in\N*$.\\
Alors, on notera :
\[ \text{A}^n=\underbrace{\text{A}\times\text{A}\times\cdots\times\text{A}}_{n\text{ fois}}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Puissance d'une matrice diagonale}]
Soit D une matrice diagonale d'ordre $n$, dont les coefficients sont notés $d_1$, $d_2$, ..., $d_n$.\\
Alors,
\[
\text{D}^k=\begin{pmatrix}
d_1^k & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & d_2^k & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & d_3^k & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots &  & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & d_n^k
\end{pmatrix}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $\text{D}=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}$. Alors, $\text{D}^2=\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 9
\end{pmatrix}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Matrice inverse}]
Soit A une matrice carrée d'ordre $n$.\\
On définit la \definmot{matrice inverse} de A (quand elle existe) par la matrice notée $\text{A}^{-1}$ telle que : \[\text{A}\text{A}^{-1}=\text{A}^{-1}\text{A}=\text{I}_n.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Si la matrice de A existe, on dit que A est inversible.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $\text{A}=\begin{pmatrix}
8 & 5\\3 & 2\end{pmatrix}$. Posons alors $\text{A}^{-1}=\begin{pmatrix}x & y\\z & t\end{pmatrix}$ (en supposant qu'elle existe).\\
Alors,
\begin{align*}
\text{A}\text{A}^{-1}=\text{I}_2 & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
8 & 5\\3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x& y\\z & t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\\
& \Leftrightarrow \begin{pmatrix}8x+5z & 8y+5t\\3x+2z & 3y+2t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\0 & 1
\end{pmatrix}\\
& \Leftrightarrow \left\lbrace
\begin{array}{l}
8x+5z=1\\
3x+2z=0
\end{array}
\right.\quad\text{et}\quad\left\lbrace
\begin{array}{l}
8y+5t=0\\
3y+2t=1
\end{array}
\right.\\
& \Leftrightarrow \left\lbrace
\begin{array}{l}
16x+10z=2\\
15x+10z=0
\end{array}
\right.\quad\text{et}\quad\left\lbrace
\begin{array}{l}
16y+10t=0\\
15y+10t=5
\end{array}
\right.\\
& \Leftrightarrow \left\lbrace
\begin{array}{l}
x=2\\
z=-3
\end{array}
\right.\quad\text{et}\quad\left\lbrace
\begin{array}{l}
y=-5\\
t=8
\end{array}
\right.
\end{align*}
Ainsi,
\[\text{A}^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -5\\-3 & 8\end{pmatrix}.\]
On peut alors vérifier que $\text{A}\text{A}^{-1}=\text{I}_2$ et que $\text{A}^{-1}\text{A}=\text{I}_2$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={\'Ecriture matricielle d'un système}]
On considère le système :
\[
\systeme{ax+by=c,a'x+b'y=c'}.
\]
L'écriture matricielle de ce système est :
\[
\begin{pmatrix}
a & b\\
a' & b'
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
c\\c'
\end{pmatrix}
\]
ou encore :
\[
\text{AX}=\text{B}\quad,\quad\text{où}\quad\text{A}=\begin{pmatrix}
a & b\\
a' & b'
\end{pmatrix},\ \text{B}=\begin{pmatrix}
c\\c'
\end{pmatrix},\ \text{X}=\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Nous avons vu le cas où le système avait 2 équations et 2 inconnues, mais ceci reste valable pour un nombre d'équations et d'inconnues supérieur.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Un système linéaire d'écriture matricielle AX=B admet une unique solution si la matrice A est inversible.\\
Dans ce cas, la solution est donnée par le vecteur colonne :
\[ \text{X}=\text{A}^{-1}\text{B}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,endsymb]
On démontre ce résultat de la façon suivante :
\begin{align*}
\text{AX}=\text{B} & \Leftrightarrow \text{A}^{-1}\text{AX}=\text{A}^{-1}\text{B}\\
& \Leftrightarrow \text{I}_n\text{X}=\text{A}^{-1}\text{B},\ \text{où } \text{I}_n\text{ est la matrice identité}\\
& \Leftrightarrow \text{X}=\text{A}^{-1}\text{B}.
\end{align*}

\vspace*{-2em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère le système : \systeme{3x+5y+4z=2,2x+y+z=-1,x+y-z=3}.\\
On pose alors :
\[
\text{A}=\begin{pmatrix}
3 & 5 & 4\\
2 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad\text{B}=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\3
\end{pmatrix}.
\]
\`A l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel (XCAS, voir \og Bonus 1 \fg), on trouve :
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\[
\text{A}^{-1}=\begin{pmatrix}
-\frac{2}{13} & \frac{9}{13} & \frac{1}{13}\\
\frac{3}{13} & -\frac{7}{13} & \frac{5}{13}\\
\frac{1}{13} & \frac{2}{13} & -\frac{7}{13}
\end{pmatrix}.
\]
La solution du système est le vecteur colonne :
\[
\text{X}=\text{A}^{-1}\text{B}=\begin{pmatrix}
-\frac{10}{13}\\
\frac{28}{13}\\
-\frac{21}{13}
\end{pmatrix}.
\]
On en déduit alors que $x=-\dfrac{10}{13}$, $y=\dfrac{28}{13}$ et $z=-\dfrac{21}{13}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={}Matrice de Léontief]
On considère un pays virtuel, sans échange extérieur, partagé en 2 secteurs. Chaque secteur consomme des productions de l'autre et éventuellement une partie de sa propre production : ces consommations sont appelées \definmot{consommations intermédiaires}. Le reste correspond à la \definmot{consommation finale} (ou \definmot{demande}).\\
On nomme $x$ la production du secteur 1 et $y$ celle du secteur 2.\\
On pose :
\[ \text{A}=\frac{1}{x}\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12}\\c_{21} & c_{22}\end{pmatrix}\;,\]
où $c_{ij}$ représente la consommation intermédiaire du secteur $i$ sur le secteur $j$, la \definmot{matrice technologique}, ou \definmot{matrice des coefficients techniques}, ou encore \definmot{matrice d'échanges}.\\
En notant :
\[ \text{D}=\begin{pmatrix}x-(c_{11}+c_{12})\\ y-(c_{21}+c_{22})\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad\text{X}=\begin{pmatrix}
x\\y\end{pmatrix}\;,\]
la relation \og production = consommations intermédiaires + consommation finale \fg{} se traduit par l'égalité matricielle :
\[
\text{X}=\text{AX}+\text{D}\qquad\text{ou encore}\qquad(\text{I}_2-\text{A})\text{X}=\text{D}.
\]
On en déduit alors que si (I$_2-$A) est inversible, alors :
\[ \text{X}=(\text{I}_2-\text{A})^{-1}\text{D}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Une économie comporte deux secteurs de production : l'acier et l'électricité.\\
La production d'un euro d'acier nécessite : 0,3 euro d'acier et 0,2 euro d'électricité.\\
La production d'un euro d'électricité nécessite : 0,5 euro d'acier et 0,1 euro d'électricité.
Les demandes des consommateurs correspondent à \numprint{200000}~\euro{} d'acier et \numprint{500000}~\euro{} d'électricité.\\
Soit $x$ la quantité d'acier et $y$ la quantité d'électricité à produire, exprimées milliers d'euros.

\medskip

Si $x$ représente la production totale d'acier, on a (en milliers d'euros) :
\[ x = \underbrace{0,3x + 0,5y}_{\text{consommations intermédiaires}} + \underbrace{200}_{\text{demande}}.\]
De m\^eme,
\[ y=0,2x+0,1y+500.\]
On peut alors poser :
\[ \text{A}=\begin{pmatrix}0,3 & 0,5\\0,2 & 0,1\end{pmatrix}\quad,\quad\text{X}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\text{D}=\begin{pmatrix}200\\500\end{pmatrix}.\]
Alors,
\[
\text{X}=(\text{I}_2-\text{A})^{-1}\text{D}\approx\begin{pmatrix}
811,321\\735,849\end{pmatrix}\quad(\text{calculs effectués sur Xcas}).
\]
\end{pasbox}

%-------------------------------------------- BONUS

\bonus{Utilisation de XCAS}

Le logiciel XCAS est gratuit et permet d'effectuer des opérations sur les matrices.

\bigskip

{\titreFONT\large Définir une matrice}

\bigskip

Soit $\text{A}=\begin{pmatrix}-1 & 5\\0 & 2\end{pmatrix}$.

\medskip

Pour la définir dans XCAS, on tape :

\begin{xcas}
A:=[[-1,5],[0,2]]
\end{xcas}

\bigskip

{\titreFONT\large Trouver l'inverse d'une matrice}

\bigskip

\begin{xcas}
B:=inv(A)
\end{xcas}

\renewcommand\arraystretch{1.4}
Ici, le logiciel nous retourne la matrice :
\[ \text{B}=\begin{pmatrix}
-1 & \frac{5}{2}\\
0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}.\]

\bigskip

{\titreFONT\large Trouver le produit de deux matrices}

\bigskip

\begin{xcas}
A*B;B*A
\end{xcas}


Ici, le logiciel nous retourne la matrice :
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]

deux fois (le point-virgule sert à effectuer deux opérations à la suite), ce qui nous montre que B est l'inverse de A.

\bigskip

{\titreFONT\large Trouver la somme de deux matrices}

\bigskip

\begin{xcas}
A+B
\end{xcas}

Ici, le logiciel nous retourne la matrice :
\[
\begin{pmatrix}
-2 & \frac{15}{2}\\
0 & \frac{5}{2}
\end{pmatrix}
\]

\end{document}	