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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
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\fill[vert] (12cm,-4.5cm) rectangle +(4cm,-1.5cm);
% "Fiche"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Fiche}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
};
\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
}
% Sections
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% headpage
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Les fonctions en \\Terminale ES}
\section{Dérivation}

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle I,

\begin{itemize}
\item \textbf{Le nombre dérivé} de $f$ en $a\in\text{I}$ correspond au \textbf{coefficient directeur de la tangente} à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $x=a$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray!50] (-5,-1) grid (2,8);
\clip (-5,-1) rectangle (2,8);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-5,0) -- (2,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,8);
\draw[thick,violet] plot[domain=-5:2,samples=70] (\x,{exp(\x)});
\draw[thick,red] plot[domain=-5:2] (\x,{\x+1});
\draw[thick] (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {1};
\draw[thick] (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left] {1};
\node[below left] at (0,0) {O};
\node[violet] at (1.5,6) {$\mathscr{C}_f$};
\node[red] at (-2.25,-0.75) {T};
\draw[dashed,blue,thick,->,>=stealth'] (0,1) -- (1,1) node[midway,below] {$+1$};
\draw[dashed,purple,thick,->,>=stealth'] (1,1) -- (1,2) node[midway,right] {$+1$};
\end{tikzpicture}

\medskip

Ici, le coefficient directeur de (T), tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $x=0$,

est égal à \textcolor{purple}{+1}, donc $f'(0)=1$.
\end{center}

\item \textbf{\'Equation de la tangente :}
\[ y = f'(a)(x-a)+f(a).\]

\newpage

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(0,\LenToUnit{\dimexpr\paperheight-2cm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=-90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
	\put(\LenToUnit{\dimexpr\paperwidth-1.5cm},0)
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
}

\item \textbf{Tableaux des principales dérivées :}

\begin{center}
\arrayrulecolor{violet}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline\rowcolor{violet!10}
\bfseries\textcolor{violet}{Fonctions} & \bfseries\textcolor{violet}{Dérivées}\\
\hline
$x^n$ & $nx^{n-1}$\\
\hline
$\ln x$ & $\dfrac{1}{x}$\\
\hline
$\e^x$ & $\e^x$\\
\hline
\end{tabular}
\hspace*{1em}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline\rowcolor{violet!10}
\bfseries\textcolor{violet}{Fonctions} & \bfseries\textcolor{violet}{Dérivées}\\
\hline
$u^n$ & $nu'u^{n-1}$\\
\hline
$\ln u$ & $\dfrac{u'}{u}$\\
\hline
$\e^u$ & $u'\e^u$\\
\hline
\end{tabular}
\hspace*{1em}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline\rowcolor{violet!10}
\bfseries\textcolor{violet}{Fonctions} & \bfseries\textcolor{violet}{Dérivées}\\
\hline
$uv$ & $u'v+uv'$\\
\hline
$\dfrac{u}{v}$ & $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}

\section{Continuité}

\begin{itemize}
\item \textbf{Théorème des valeurs intermédiaires}

Si :
\begin{enumerate}
\item $f$ est continue sur \intervFF{a}{b},
\item $c$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$,
\end{enumerate}
alors l'équation $f(x)=c$ admet \underline{au moins} une solution sur \intervOO{a}{b}.

\medskip

\item \textbf{Théorème des valeurs intermédiaires (corollaire)}

Si :
\begin{enumerate}
\item $f$ est continue \underline{et strictement monotone} (croissante OU décroissante) sur \intervFF{a}{b},
\item $c$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$,
\end{enumerate}
alors l'équation $f(x)=c$ admet \underline{une unique} solution sur \intervOO{a}{b}.
\end{itemize}

\section{Convexité \& concavité}

\begin{tabular}[t]{|>{\centering\arraybackslash}m{0.5\linewidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.5\linewidth}|}
\hline\rowcolor{purple!10}\bfseries $f$ est convexe sur I si ... & \bfseries $f$ est concave sur I si ...\\
\hline
$f''(x)\geqslant0$ sur I & $f''(x)\leqslant0$ sur I\\
\hline
$f'$ est croissante sur I & $f'$ est décroissante sur I\\
\hline
Sa courbe représentative est toujours au-dessus de ses tangentes & Sa courbe représentative est toujours au-dessous de ses tangentes\\
\hline
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->,>=stealth'] (-5,0) -- (1,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,4);
\draw[thick,violet] plot[domain=-5:1] (\x,{exp(\x)});
\node[below right,rounded corners,fill=purple!10,draw=purple] at (-5,4) {\begin{minipage}{4cm}La fonction exponentielle est un exemple de fonction convexe sur \R.\end{minipage}};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\node at (1,2.5){};
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (6,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-4) -- (0,2);
\draw[thick,violet] plot[domain=0.01:6,samples=70] (\x,{ln(\x)});
\node[below right,rounded corners,fill=purple!10,draw=purple] at (1,-1) {\begin{minipage}{4cm}La fonction logarithme népérien est un exemple de fonction concave sur $\R^+$.\end{minipage}};
\end{tikzpicture}\\
\hline
\end{tabular}

\section{Logarithmes et exponentielles}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item $\e^x\times\e^y=\e^{x+y}$
\item $\dfrac{\e^x}{\e^y}=\e^{x-y}$
\item $\left(\e^x\right)^n=\e^{nx}$
\item $\e^{\ln x}=x$ ($x>0$) et $\ln\left(\e^x\right)=x$\\(par définition)
\item $\e^x = \e^y \Longleftrightarrow x=y$
\item $\e^x > \e^y \Longleftrightarrow x>y$
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item $\ln(xy)=\ln x +\ln y$
\item $\ln\dfrac{x}{y}=\ln x - \ln y$
\item $\ln\left(x^n\right)=n\ln x$
\item $\ln x = \ln y \Longleftrightarrow x=y$
\item $\ln x > \ln y \Longleftrightarrow x>y$
\item $\ln a = b \Longleftrightarrow a=\e^b$
\end{itemize}
\end{minipage}

\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
q^n\geqslant b & \Longleftrightarrow \ln\left(q^n\right)\geqslant\ln b\\
& \Longleftrightarrow x\ln q \geqslant \ln b\\
& \Longleftrightarrow \left\lbrace 
\begin{array}{ll}
x \geqslant \dfrac{\ln b}{\ln q} & \text{si } q>1 \text{ (car }\ln q>0)\\
x \leqslant \dfrac{\ln b}{\ln q} & \text{si } 0<q<1 \text{ (car }\ln q<0)
\end{array}
\right.
\end{aligned}$
\end{itemize}

\section{Intégration \& primitives}

\begin{itemize}
\item Sur un intervalle I convenablement choisi, une \textbf{primitive F} d'une fonction $f$ est la fonction F telle que :
\[ \text{F}'=f.\]

\item \textbf{Tableau des principales primitives :}

\begin{center}
\arrayrulecolor{violet}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline\rowcolor{violet!10}
\bfseries\textcolor{violet}{Fonctions} & \bfseries\textcolor{violet}{Primitives}\\
\hline
$x^n$ & $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k,\ k\in\R$\\
\hline
$\dfrac{1}{x}$, $x>0$ & $\ln x+k,\ k\in\R$\\
\hline
$\e^x$ & $\e^x+k,\ k\in\R$\\
\hline
\end{tabular}
\hspace*{1em}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline\rowcolor{violet!10}
\bfseries\textcolor{violet}{Fonctions} & \bfseries\textcolor{violet}{Primitives}\\
\hline
$u'u^n$ & $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+k,\ k\in\R$\\
\hline
$\dfrac{u'}{u}$, $u>0$ & $\ln u+k,\ k\in\R$\\
\hline
$u'\e^u$ & $\e^u+k,\ k\in\R$\\
\hline
$\e^{ax+b}$ & $\dfrac{1}{a}\e^{ax+b}+k,\ k\in\R$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\paragraph*{Méthode pour trouver une primitive :} faire appara\^itre une formule de façon\linebreak explicite.

\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple :} On considère la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=x\e^{-x^2+1}.
\]

Pour trouver une primitive de $f$, on regarde les tableaux ci-dessus : $f$ fait intervenir une exponentielle, donc F est nécessairement de la forme $u'\e^u$.

On pose alors $u(x)=-x^2+1$, donc $u'(x)=-2x$. On fait alors appara\^itre $u'\e^u$ dans $f$ :

\[ f(x)= -\dfrac{1}{2}\times\left(-2x\e^{-x^2+1}\right)\]
donc :
\[ f=-\frac{1}{2}u'\e^u. \]
Ainsi, 
\[ \text{F}=-\frac{1}{2}\e^u\qquad\text{soit}\qquad\text{F}(x)=-\frac{1}{2}\e^{-x^2+1}.\]
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}

\item 
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
L'intégrale sur \intervFF{a}{b} d'une fonction continue $f$ est :
\[ \int_a^b f(x)\dx = \text{F}(b)-\text{F}(a).\]

Si $f\geqslant0$ sur \intervFF{a}{b}, elle représente l'aire du domaine délimité par :
\begin{itemize}
\item la courbe représentative de $f$ ;
\item l'axe des abscisses ;
\item la droite d'équation $x=a$ ;
\item la droite d'équation $x=b$.
\end{itemize}

Elle est alors exprimée en unité d'aire.

Ici, graphiquement, on peut affirmer (en comptant les carreaux) que :
\[ 10\leqslant\dint_{-3}^1 f(x)\dx\leqslant11.\]
\end{minipage}
\raisebox{-10em}{
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\shade[top color=violet!40,bottom color=violet!10] (-3,0) -- plot[domain=-3:1,samples=70] (\x,{exp(\x)-\x+1}) -- (1,0) -- cycle;
\draw[gray!50] (-5,-1) grid (2,8);
\clip (-5,-1) rectangle (2.1,8);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-5,0) -- (2,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,8);
\draw[thick,violet] plot[domain=-5:2,samples=70] (\x,{exp(\x)-\x+1});
\draw[thick] (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {1};
\draw[thick] (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left] {1};
\node[below left] at (0,0) {O};
\node[violet] at (1.5,6) {$\mathscr{C}_f$};
\draw[thick,violet,<-,>=stealth'] (-1.5,1.5) to[bend right=60] (-2,6.5) node[left,rectangle,draw=violet,fill=white,rounded corners] {$\dint_{-3}^1 f(x)\dx$};
\draw[dashed,thick,,purple] (1,7) rectangle+(1,1);
\node[red] at (1.5,7.5) {\small 1 u.a.};
\node[below] at (-3,0) {3};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}}

\item \textbf{Propriétés.}
\begin{enumerate}
\item \emph{Linéarité :} 
\[\int_a^b[\lambda f(x)]\dx=\lambda\int_a^b f(x)\dx\quad\text{et}\quad\int_a^b[f(x)+g(x)]\dx=\int_a^b f(x)\dx+\int_a^b g(x)\dx.
\]

\item \emph{Positivité.}

Si $f(x)\geqslant0$ sur \intervFF{a}{b}, alors $\dint_a^b f(x)\dx \geqslant0$.


\item \emph{Relation de Chasles.}

Si $c\in\intervFF{a}{b}$, alors $\dint_a^b f(x)\dx=\dint_a^c f(x)\dx+\dint_c^b f(x)\dx$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Valeur moyenne :} $\mu=\dfrac{1}{b-a}\dint_a^b f(x)\dx$.
\end{itemize}

\section{Identification de coefficients}

Certains exercices proposent l'expression d'une fonction à l'aide de paramètres, l'objectif étant de trouver la valeur de ces paramètres.

\medskip

Pour cela, on utilisera souvent la valeur de $f(a)$ et $f'(a)$ donnée dans l'énoncé (de façon explicite ou graphique).

\begin{quotation}\noindent
\begin{tikzpicture}
\node[inner xsep=1em] (texte) {
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Exemple :} On considère la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=a\e^x+bx+1
\]
dont la représentation graphique est la suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray!50] (-5,-1) grid (2,8);
\clip (-5,-1) rectangle (2,8);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-5,0) -- (2,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,8);
\draw[thick,violet] plot[domain=-5:2,samples=70] (\x,{exp(\x)-\x+1});
\draw[thick,red] plot[domain=-5:2] (\x,2);
\draw[thick] (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {1};
\draw[thick] (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left] {1};
\node[below left] at (0,0) {O};
\node[violet] at (1.5,6) {$\mathscr{C}_f$};
\node[red] at (-4.5,2.25) {(T)};
\fill (0,2) circle (2pt) node[below right] {A};
\end{tikzpicture}
\end{center}

(T) est la tangente à la courbe au point d'abscisse A\coord{0}{2}.

\emph{Déterminer a et b.}

\bigskip

\begin{itemize}
\item \underline{Détermination de $a$.}

On sait que $f(0)=2$ car la courbe passe par le point de coordonnées \coord{0}{2}.

Or, $f(0)=a\e^0+b\times0+1=a+1$. Donc, $a+1=2$, soit $a=1$.

\item \underline{Détermination de $b$.}

On sait que $f'(0)=0$ car la tangente en 0 est horizontale (coefficient directeur nul).

Or, $f'(x)=a\e^x+b$ donc $f'(0)=a+b=1+b$. Donc, $1+b=0$, soit $b=-1$.
\end{itemize}

Finalement, on a :
\[ f(x)=\e^x-x+1.\]
\end{minipage}
};
\draw[decorate,decoration={coil}] (texte.north west) -- (texte.south west);
\end{tikzpicture}
\end{quotation}


%\vspace*{1cm}
%\begin{flushright}
%\emph{Cette fiche pourra \^etre complétée ultérieurement\\
%en fonction (sans jeu de mots) des remarques que\\
%vous pourrez me faire par l'intermédiaire du\\ formulaire de contact de \url{http://www.mathweb.fr.}}
%\end{flushright}
\end{document}