\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\author{Stéphane PASQUET}
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\begin{document}
\section*{Exercice 1 : suites et algorithme}

Une équipe de statisticiens propose les modèles suivants pour comparer l'évolution future de la population française et de la population allemande.\\
On note $u_n$ la population de l'Allemagne estimée en millions d'habitants au 1\ier{} janvier de l'année $2010+n$. On a alors $u_0=81,2$ et $u_{n+1}=0,998u_n+0,2$.\\
On note $v_n$ la population de la France estimée en millions d'habitants au 1\ier{} janvier de l'année $2010+n$. On a alors $v_0=63,2$ et $v_{n+1}=1,002v_n+0,1$.

\medskip

On considère la suite \suite{w}{n}{n\geqslant0} définie, pour tout entier naturel $n$, par la relation $w_n=u_n-100$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{w}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire une expression de $w_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer \limite{n}{+\infty}{u_n}. Comment peut-on interpréter cette valeur ?

\item On considère l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{algo}
\begin{algoentries}
u et v : nombres réels\\
n : nombre entier
\end{algoentries}
\begin{algobody}
Affecter à u la valeur 81,2\\
Affecter à v la valeur 63,2\\
Affecter à n la valeur 0
\begin{algowhile}{$\vert$u-v$\vert\geqslant$15}
Affecter à u la valeur 0.998u+0.2\\
Affecter à v la valeur 1.002v+0.1\\
Affecter à n la valeur n+1
\end{algowhile}
\end{algobody}
\begin{algoend}
Afficher n
\end{algoend}
\end{algo}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les résultats à $10^{-3}$) :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}p{2cm}|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
$u_n$ & 81,2 & & &\\
\hline
$v_n$ & 63,2 & & & \\
\hline
$u_n-v_n$ &  &  & & \\
\hline
\end{tabularx}

\item Un élève de Terminale programme cet algorithme sur sa calculatrice. Son programme affiche \og 16 \fg.\\
Son programme retourne-t-il le bon résultat ? \`A quoi ce dernier correspond-il ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2 : fonction exponentielle}

On considère la fonction $g$ définie sur \R*{} par :
\[ g(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)\e^{-\frac{1}{x}}+2.\]
On note $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item Calculer \limite{x}{-\infty}{g(x)} et \limite{x}{+\infty}{g(x)}.\\
Comment interpréter graphiquement ces résultats ?
\item Calculer \limite[x<0]{x}{0}{g(x)}. On admettra que $\limite[x>0]{x}{0}{g(x)}=2$.
\item Montrer que pour tout réel $x$ non nul, $g'(x)=\dfrac{1}{x^3}\e^{-\frac{1}{x}}$.
\item En déduire le signe de $g'(x)$ puis les variations de $g$ sur son domaine de définition.
\item Montrer qu'il existe une unique solution sur \intervFO{-1}{0}, notée $\alpha$, à l'équation $g(x)=0$.\\
Déterminer alors une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\item \'Etudier la convexité de la fonction $g$ sur \R*.\\
Existe-t-il un ou plusieurs point d'inflexion à $\mathscr{C}_g$ ?
\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr{C}_g$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 : fonction logarithme}

On considère la fonction $f$ définie sur \intervOF{0}{+\infty} par :
\[ f(x)=\ln x + 3x-1.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer \limite{x}{0}{f(x)} puis \limite{x}{+\infty}{f(x)}.
\item Montrer que $f$ est strictement croissante sur \intervOF{0}{+\infty}.
\item En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervOF{0}{1}.\\
Déterminer alors une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 : Probabilités}

Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut $a$ et le défaut $b$. Un sac est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts. 

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. 

On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée.
 
On note $A$ l' événement \og le sac présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ l'événement \og le sac présente le défaut $b$ \fg. Les probabilités des événements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,01$ ; on suppose que ces deux événements sont indépendants. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de l'événement C : \og le sac prélevé présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. 
	\item  Calculer la probabilité de l'événement D : \og le sac est défectueux \fg. 
	\item  Calculer la probabilité de l'événement E : \og le sac ne présente aucun défaut\fg. 
	\item  Sachant que le sac présente le défaut $a$, quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut $b$ ?
	\end{enumerate} 
\item On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à $0,03$. 

On prélève au hasard un échantillon de 100~sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100~sacs, associe le nombre de sacs défectueux. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
	\item Quelle est la probabilité de l'événement \og au moins un sac est défectueux \fg{} ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat. 
	\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	
	 Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 1}

\begin{enumerate}
\item Par définition, on a : $w_{n+1}=u_{n+1}-100$. D'où :

\begin{align*}
w_{n+1} & = u_{n+1}-100\\
& = 0,998u_n+0,2-100\\
& = 0,998u_n-99,8\\
& = 0,998\left(u_n-\dfrac{99,8}{0,998}\right)\\
& = 0,998\left(u_n-100\right)\\
\Aboxed{w_{n+1}& = 0,998w_n}
\end{align*}

Ainsi, \suite{w}{n}{} est une suite géométrique de raison $a=0,998$ et de premier terme \linebreak$w_0=u_0-100=81,2-100=-18,8$.

\item De la question précédente, on déduit que $w_n=w_0\times q^n$, soit $\boxed{w_n=-18,8\times 0,998^n}$.\\[5pt]
Ainsi, de l'égalité $w_n=u_n-100$, on déduit $u_n=w_n+100$ ; d'où $\boxed{u_n=-18,8\times0,998^n+100}$.

\item $0<0,998<1$ donc $\limite{n}{+\infty}{\left(0,998^n\right)}=0$. \\
Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{\left(-18,8\times0,998^n\right)}=0$, d'où $\boxed{\limite{n}{+\infty}{u_n}=100}$.\\
Nous pouvons interpréter ce dernier résultat par le fait que la population de l'Allemagne tendra à se rapprocher de 100 millions d'habitants si rien ne change entre temps.

\item 
\begin{enumerate}
\item Le tableau complété est le suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}S{p{2cm}}|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
$u_n$ & 81,2 & 81,238 &81,275 & 81,313\\
\hline
$v_n$ & 63,2 & 63,426 &63,653 &63,881 \\
\hline
$u_n-v_n$ & 18&	17,811 &	17,622 &	17,432 \\
\hline
\end{tabularx}

\item Pour $n=15$, $u_n-v_n\approx15,112$ et pour $n=16$, $u_n-v_n\approx14,718$.\\
Ainsi, $n=16$ est bien la première valeur de $n$ pour laquelle $u_n-v_n<15$.\\
Cela signifie qu'en $2010+16$, soit en 2026, la différence entre les deux populations sera inférieure à 15 millions d'habitants.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2}

\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{-\infty}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=0$ donc $\limite{x}{-\infty}{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=1$.\\
De plus, $\limite{X}{0}{\left(\e^{-X}\right)}=\e^0=1$ donc $\limite{x}{-\infty}{\left(\e^{-\frac{1}{x}}\right)}=1$.\\
Ainsi, par produit, $\limite{x}{-\infty}{\left[\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\e^{-\frac{1}{x}}\right]}=1$ ; d'où $\boxed{\limite{x}{-\infty}{g(x)}=3}$.

\medskip

$\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=0$ donc, par un raisonnement analogue au précédent, on en déduit que $\boxed{\limite{x}{+\infty}{g(x)}}=3$.

\medskip

Ces résultats signifient que $\mathscr{C}_g$ admet une asymptote d'équation $y=3$ aux deux infinis.

\item $\limite{x}{0^-}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=-\infty$, donc $\limite{x}{0^-}{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=-\infty$.\\
De plus, $\limite{X}{+\infty}{\e^X}=+\infty$ donc $\limite{x}{0^-}{\left(\e^{-\frac{1}{x}}\right)}=+\infty$.\\
Par produit, on a donc $\boxed{\limite{x}{0^-}{g(x)}=-\infty}$ (ajouter 2 ne change pas la limite).

\item $g$ est de la forme $uv+2$, avec :
\begin{multicols}{2}
$u(x)=1+\dfrac{1}{x}$\\
$u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

\columnbreak

$v(x)=\e^{-\frac{1}{x}}$ {\small (de la forme $\e^u$, dérivée : $u'\e^u$)}\\
$v'(x)=\dfrac{1}{x^2}\e^{-\frac{1}{x}}$
\end{multicols}

Ainsi,\begin{align*}
g'(x) & = -\dfrac{1}{x^2}\e^{-\frac{1}{x}}+\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\times\dfrac{1}{x^2}\e^{-\frac{1}{x}}\\
& = \e^{-\frac{1}{x}}\left[-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right]\\
& = \e^{-\frac{1}{x}}\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)\\
\Aboxed{g'(x) & = \dfrac{1}{x^3}\e^{-\frac{1}{x}}}
\end{align*}

\item De la question précédente, on déduit que $g'(x)$ est du signe de $x^3$ (car une exponentielle est toujours strictement positive). D'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.5,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,d,+}
\tkzTabVar{+/3,-D-/$-\infty$/2,+/3}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La fonction $g$ est continue et strictement décroissante sur \intervFO{-1}{0}.\\
De plus, $g(1)=2\e^{-1}+2>0$ donc \og 0 \fg{} est une valeur intermédiaire entre $g(1)$ et $-\infty$.\\
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFO{-1}{0}.\\
\`A l'aide de la calculatrice, on trouve $\underline{\alpha\approx-0,68}$.

\newpage

\item Pour étudier la convexité de $g$, on calcule $g''(x)$.

$g'$ est de la forme $uv$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=\dfrac{1}{x^3}$\\
$u'(x)=-\dfrac{3}{x^4}$

\columnbreak

$v(x)=\e^{-\frac{1}{x}}$\\
$v'(x)=\dfrac{1}{x^2}\e^{-\frac{1}{x}}$
\end{multicols}

D'où :

\begin{align*}
g''(x) & = -\dfrac{3}{x^4}\e^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x^3}\times\dfrac{1}{x^2}\e^{-\frac{1}{x}}\\
& = \e^{-\frac{1}{x}}\left(-\dfrac{3}{x^4}+\dfrac{1}{x^5} \right)\\
g''(x) & = \dfrac{-3x+1}{x^5}\e^{-\frac{1}{x}}
\end{align*}

L'exponentielle étant toujours strictement positive, $g''(x)$ est du signe de $\dfrac{-3x+1}{x^5}$ d'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.8,$-3x+1$/0.5,$x^5$/0.5,$g''(x)$/0.5}{$-\infty$,0,$\frac{1}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,-,d,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On en déduit alors que la fonction $g$ est convexe sur \intervOF{0}{\dfrac{1}{3}} et concave sur les intervalles \intervOO{-\infty}{0} et \intervFO{\dfrac{1}{3}}{+\infty}.\\
Il y a un point d'inflexion d'abscisse $\dfrac{1}{3}$ car en $\dfrac{1}{3}$, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

\item L'équation d'une tangente à $\mathscr{C}_g$ en un point d'abscisse $a$ est de la forme :
\[ y=g'(a)(x-a)+g(a).\]
Ici, $a=\dfrac{1}{3}$.

\begin{align*}
g\left(\dfrac{1}{3}\right)=4\e^{-3}+2\\
g'\left(\dfrac{1}{3}\right)=27\e^{-3}
\end{align*}

L'équation de la tangente au point d'abscisse $\dfrac{1}{3}$ est donc :
\[ y= \left(27\e^{-3}\right)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)+4\e^{-3}+2\]
\[ y=\left(27\e^{-3}\right)x-9\e^{-3}+4\e^{-3}+2\]
\[ \boxed{y=\left(27\e^{-3}\right)x-5\e^{-3}+2} \]
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3}

\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{0}{\ln x}=-\infty$ et $\limite{x}{0}{(3x-1)}=-1$. \\
Ainsi, par somme, $\boxed{\limite{x}{0}{f(x)}=-\infty}$.

\medskip

$\limite{x}{+\infty}{\ln x}=+\infty$ et $\limite{x}{+infty}{(3x-1)}=+\infty$.\\
Ainsi, par somme $\boxed{\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty}$.

\item $f'(x)=\dfrac{1}{x}+3=\dfrac{1+3x}{x}$.\\
Or, pour $x>0$, $1+3x>0$. Donc, $f'(x)>0$ sur \intervOO{0}{+\infty}.\\
\underline{$f$ est donc strictement croissante sur \intervOO{0}{+\infty}.}

\item $f$ est continue et strictement croissante sur \intervOF{0}{1}.\\
De plus, $f(1)=\ln 1+3\times1-1=2>0$ et $\limite{x}{0}{f(x)}<0$, donc \og 0 \fg{} est une valeur intermédiaire entre $f(1)$ et \limite{x}{0}{f(x)}. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $\alpha$ sur \intervOF{0}{1} à l'équation $f(x)=0$.\\
La calculatrice nous aide à trouver $\alpha\approx0,54$.
\end{enumerate}
\end{document}