\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[margin=1.7cm]{geometry}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{tikz}
	\usetikzlibrary{calc}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{multicol}
\usepackage{eurosym}
\title{Révisions Hermance pour le Bac Blanc Février}
\author{Stéphane Pasquet}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Exercice 1 - Probabilités \& suites}

Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.

 Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
 
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.
  
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l’événement : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg 
\item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considère alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : 
\[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\] 
où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'évènement $T_{n}$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right),~ p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right),~ p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$. 
		\item  Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. 
		\item  Recopier et compléter l'arbre suivant :
		
\begin{center} 
\begin{tikzpicture}
\node (omega) at (0,0) {$\bullet$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (t) {$T_n$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (p) {$P_n$};
\draw (t) -- (4,3) node[right] (ts) {$T_{n+1}$};
\draw (t) -- (4,1) node[right] (ps) {$P_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-1) node[right] (tss) {$T_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-3) node[right] (pss) {$P_{n+1}$};
\node[above left] at ($0.5*(omega)+0.5*(t)$) {$u_n$};
\node[below left] at ($0.5*(omega)+0.5*(p)$) {$\cdots$};
\node[above left] at ($0.5*(t)+0.5*(ts)$) {$\cdots$};
\node[below left] at ($0.5*(t)+0.5*(ps)$) {$\cdots$};
\node[above left] at ($0.5*(p)+0.5*(tss)$) {$\cdots$};
\node[below left] at ($0.5*(p)+0.5*(pss)$) {$\cdots$};
\end{tikzpicture}
\end{center} 
		\item Démontrer que pour tout entier $n~\geqslant~1, u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$. 
		\item À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par:  
\[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2 - Fonction}

Un fabricant de chaussures modélise son coût de production à l'aide de la fonction suivante :
\[
C(q)=0,5q^3-9q^2+7q+500
\]
où $q$ représente la quantité quotidienne de paires de chaussures fabriquées (en millier) et $C(q)$ est exprimé en millier d'euros.

\begin{enumerate}
\item Donner les variations de $C$ sur l'intervalle \intervFF{0}{20}.
\item Pour quelle quantité de paires de chaussures le coût de production est-il minimal ?
\end{enumerate}

Le coût moyen de production est donné par la fonction $C_M$ définie par :
\[
C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}.
\]
\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que sa dérivée est donnée par la fonction :
\[
C_M^\prime(q)=\dfrac{q^3-9q^2-500}{q^2}.
\]
\item Montrer que l'équation $C_M^\prime(q)=0$ admet une unique solution sur \intervFF{0}{20}. On notera cette solution $\alpha$.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ au millième près.

\item Donner le signe de $C_M^\prime(q)$ en fonction de $\alpha$, puis en déduire les variations de la fonction $C$ sur \intervFF{0}{20}.

\item Pour quelle quantité de paires de chaussures le coût moyen de production est-il minimal ?

\item À la vue des réponses aux questions 2. et 5., quelle quantité de paires de chaussures le fabricant doit-il choisir de produire quotidiennement ? 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - QCM}

Pour chaque question, une seule réponse est correcte. 

\begin{enumerate}
\item Dans un article, on peut lire : \og Chaque année au 1\ier{} août, les tarifs réglementés EDF sont révisés. L'augmentation du prix de l'électricité sur 10 ans a de quoi faire frémir : plus de \pourcent{37}. \fg{} D'après cet article, sur les 10 dernières années, l'augmentation annuelle moyenne des tarifs de l'électricité a été de :\vspace*{-1em}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item \pourcent{3,7}
\item \pourcent{3,2}
\item \pourcent{2,9}
\item \pourcent{2,5}
\end{multicols}
\end{enumerate}


\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\item On a représenté ci-contre la courbe représentative d'une fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{-5}{35}.

\begin{itemize}
\item Concernant un éventuel point d'inflexion sur cet intervalle :\vspace*{-1em}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item Il n'y en a pas
\item Il y en a un
\item Il y en a deux
\item Il y en a trois
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Sur cet intervalle, la fonction $f$ est :
\begin{enumerate}
\item Uniquement convexe
\item Uniquement concave
\item Concave puis convexe
\item Convexe puis concave
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.01,xscale=0.3]
\draw[dashed,gray] (-3,50) grid[xstep=1,ystep=50] (18,-400);
\draw[thick,->,>=latex] (-3,0) -- (18,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-400) -- (0,50);
\draw[thick,blue] plot[domain=-2.5:17.5] (\x,{0.1*\x*\x*\x-3*\x*\x+1*\x+0.5});
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\item Dans un étang, chaque jour, un nénuphar multiplie sa taille par 1,3. Le jour où on l'observe pour la première fois, il recouvre le cinquième de l'étang. Le premier jour où il recouvrira au moins la moitié de l'étang est le :
\vspace*{-1em}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 8\ieme{} jour
\item 9\ieme{} jour
\item 10\ieme{} jour
\item 11\ieme{} jour
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Le chapelier fou décide un jour de réduire de \pourcent{10} le tarif de tous ses chapeaux les dates de jours impaires, et d'augmenter les tarifs de \pourcent{10} les dates de jours paires. Un chapeau était à 100 euros avant qu'il commence au 1\ier{} janvier. À quel tarif sera-t-il au 1\ier février de cette même année ?
\vspace*{-1em}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 100 \euro
\item 90 \euro
\item 110 \euro
\item 86 \euro
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}