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\author{Stéphane PASQUET}
\setlength{\parindent}{0pt}
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\begin{document}

\section*{Exercice 1 - Probabilités \& suites}

Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.

 Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
 
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.
  
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'évènement : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg 
\item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considère alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : 
\[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\] 
où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'évènement $T_{n}$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right),~ p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right),~ p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$. 
		\item  Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. 
		\item  Recopier et compléter l'arbre suivant :
		
\begin{center} 
\begin{tikzpicture}
\node (omega) at (0,0) {$\bullet$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (t) {$T_n$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (p) {$P_n$};
\draw (t) -- (4,3) node[right] (ts) {$T_{n+1}$};
\draw (t) -- (4,1) node[right] (ps) {$P_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-1) node[right] (tss) {$T_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-3) node[right] (pss) {$P_{n+1}$};
\node[above left] at ($0.5*(omega)+0.5*(t)$) {$u_n$};
\node[below left] at ($0.5*(omega)+0.5*(p)$) {$\cdots$};
\node[above left] at ($0.5*(t)+0.5*(ts)$) {$\cdots$};
\node[below left] at ($0.5*(t)+0.5*(ps)$) {$\cdots$};
\node[above left] at ($0.5*(p)+0.5*(tss)$) {$\cdots$};
\node[below left] at ($0.5*(p)+0.5*(pss)$) {$\cdots$};
\end{tikzpicture}
\end{center} 
		\item Démontrer que pour tout entier $n~\geqslant~1, u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$. 
		\item À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par:  
\[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - \'Etude d'une fonction logarithme}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R*_+$ par :
\[
f(x)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right).
\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f(x)$ aux bornes de son domaine de définition.
\item Calculer $f'(x)$ puis déterminer le sens de variation de $f$ sur $\R*_+$.
\item Dresser un tableau de variations complet de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R*_+$ par :
\[ g(x)=f(x)-x. \]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $\R*_+$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFF{\frac{1}{2}}{1}.
\item En déduire que l'équation $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=x$ sur $\R*_+$.
\item \`A l'aide de votre calculatrice, déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 : Lectures graphiques \& fonction exponentielle}

On a représenté ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{-1}{4}.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=2]
\clip (-1.5,-3) rectangle (5,3);
\tkzInit[xmin=-1,xmax=4,ymin=-3,ymax=3]
\tkzGrid
\tkzDrawXY\tkzLabelXY
\tkzFct{x*exp(1-x)}
\tkzDrawTangentLine[kr=2,kl=2](0)
\tkzDrawTangentLine[draw,kl=0.5,kr=0.5](1)
\node[above] at (1,1) {A};
\node at (1.2,2.5) {(T)};
\node at (3.9,0.5) {$\mathcal{C}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

(T) est la tangente à $\mathcal{C}$ au point O\coord{0}{0} et celle au point A\coord{1}{1} est horizontale.

Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte. Indiquer laquelle.

\begin{enumerate}
\item $f'(1)$ vaut :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\item 0 & \item 1 & \item 2,5
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item $f(1)$ vaut :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\item 0 & \item 1 & \item 2,5
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\item La fonction $f$ est concave sur :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\item \intervFF{-1}{4} & \item \intervFF{0}{1} & \item \intervFF{2}{4}
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

On sait que $f(x)=ax\e^{bx}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

\medskip

\item \`A l'aide des questions 1 et 2, montrer que $a$ et $b$ vérifient le système :

\[
\left\lbrace
\begin{array}{l@{=}l}
a\e^b & 1\\
1+b & 0
\end{array}
\right.
\]
En déduire $a$ et $b$.

\item On admet que $f(x)=x\e^{1-x}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée seconde de $f$ est $f''(x)=(2-x)\e^{1-x}$.
\item En déduire les intervalles où $f$ est convexe et concave sur \R.\\
Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\scshape\Large\bfseries Correction
\end{center}

\section*{Exercice 1 : Probabilités \& suites}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $T_{1}$ et $P_{1}$ étant équiprobables,  $p\left(T_{1}\right) =  p\left(P_{1}\right) = 0,5.$

D'après l'énoncé la probabilité de prendre le toboggan après avoir pris le plongeoir est égale à $p_{P_{1}}\left(T_{2}\right) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Toujours d'après l'énoncé $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right) = 0,3$.

		\item  D'après le principe des probabilités totales :

$p\left(T_{2}\right) = p\left(T_{1} \cap T_{2}\right) + p\left(P_{1} \cap T_{2}\right) = 0,5 \times 0,3 + 0,5 \times 0,2 = 0,15 + 0,1 = 0,25 = \dfrac{1}{4}.$
 
		\item  Recopier et compléter l'arbre suivant :
		
\begin{center} 
\begin{tikzpicture}
\node (omega) at (0,0) {$\bullet$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (t) {$T_n$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (p) {$P_n$};
\draw (t) -- (4,3) node[right] (ts) {$T_{n+1}$};
\draw (t) -- (4,1) node[right] (ps) {$P_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-1) node[right] (tss) {$T_{n+1}$};
\draw (p) -- (4,-3) node[right] (pss) {$P_{n+1}$};
\node[above left] at ($0.5*(omega)+0.5*(t)$) {$u_n$};
\node[below left] at ($0.5*(omega)+0.5*(p)$) {$1-u_n$};
\node[above left] at ($0.5*(t)+0.5*(ts)$) {$0,3$};
\node[below left] at ($0.5*(t)+0.5*(ps)$) {$0,7$};
\node[above left] at ($0.5*(p)+0.5*(tss)$) {$0,2$};
\node[below left] at ($0.5*(p)+0.5*(pss)$) {$0,8$};
\end{tikzpicture}
\end{center} 
		\item Toujours d'après le principe des probabilités totales :

$u_{n+1} = p\left(T_{n+1}\right) = p\left(T_{n} \cap T_{n+1}\right) +  p\left(P_{n} \cap T_{n+1} \right) = u_{n} \times 0,3 + \left(1 - u_{n}\right) \times 0,2 = 0,3u_{n} + 0,2 - 0,2u_{n} = 0,1u_{n} + 0,2$.
		\item La calculatrice donne $u_{1} = 0,5\:;\:u_{2} = 0,25\:;\:u_{3} = 0,225\:;\:u_{4} = 0,225\:;\:u_{5} = 0,2225$.

Il semble que $u_{n}$ ait pour limite $0,222\ldots$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{2}{9} = 0,1u_{n} + 0,2 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{10}u_{n} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{10}u_{n} -  \dfrac{1}{45} = \dfrac{1}{10}\left(u_{n} - \dfrac{2}{9} \right) = \dfrac{1}{10}v_{n}.$

La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$ ; son premier terme est\linebreak $v_{1} = u_{1} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{18}$.
		\item On sait que $v_{n} = v_{1}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.

Comme $u_{n} = v_{n} + \dfrac{2}{9}$, on a $u_{n} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.  
		\item Comme $0 < \dfrac{1}{10}< 1,\:\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  u_{n} = \dfrac{2}{9}$.

Or $\dfrac{2}{9} = 0,222 \ldots$ ce qui valide la conjecture  faite à la question 1. e.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 : \'Etude d'une fonction logarithme}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=\ln 1=0$.

\medskip

$\limite[x>0]{x}{0}{\left(\dfrac{1}{x}\right)}=+\infty$ donc $\limite{x}{0}{f(x)}=+\infty$.

\item $f'(x)= \dfrac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}= \dfrac{-1}{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}$.\\
On sait que sur $\R*_+$, $1+\dfrac{1}{x}>0$ donc $f'(x)<0$.\\
Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur \intervOO{-\infty}{-1} et sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item On a le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.5,$f(x)$/1}{0,$+\infty$}
\tkzTabVar{D+/$+\infty$,-/0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
g'(x) & =f'(x)-1\\
& = \dfrac{-1}{x^2+x}-1\\
& = \dfrac{-1-x^2-x}{x(x+1)}\\
& = -\dfrac{x^2+x+1}{x(x+1)}
\end{aligned}$

Or, le discriminant de $x^2+x+1$ étant $\Delta=-3<0$, ce polyn\^ome est toujours strictement positif.\\
De plus, $x(x+1)>0$ sur $\R*_+$ ; donc $g'(x)<0$ sur $\R*_+$.\\
$g$ est donc strictement décroissante sur $\R*_+$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $g$ est strictement décroissante et continue sur $\intervFF{\frac{1}{2}}{1}$.\\
De plus, $g\left(\frac{1}{2}\right)=\ln3-\frac{1}{2}\approx0,6$ et $g(1)=\ln2-1\approx-0,3$. Donc $0$ est une valeur intermédiaire entre $g\left(\frac{1}{2}\right)$ et $g(1)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe alors une unique valeur $\alpha$ sur \intervFF{\frac{1}{2}}{1} telle que $g(\alpha)=0$.

\item $g(x)=0 \Longleftrightarrow f(x)-x=0 \Longleftrightarrow f(x)=x$.\\
Ainsi, $\alpha$ est aussi l'unique solution de l'équation $f(x)=x$ sur \intervFF{\frac{1}{2}}{1}.

\item On obtient $\alpha\approx0,806$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 : Lectures graphique \& fonction exponentielle}

\begin{enumerate}
\item $f'(1)=0$ : c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A. Elle est horizontale donc il est nul.

\item $f(1)=1$ car A\coord{1}{1}.

\item $f$ est concave sur \intervFF{0}{1} ; en effet, sur les 3 intervalles proposé, seul sur \intervFF{0}{1} les tangentes à $\mathcal{C}$ sont au-dessus.

\item $f(1)=1\Longleftrightarrow a\e^b=1$.

$f'(x)=(a+abx)\e^{bx}$ donc $f'(1)=0\Longleftrightarrow (a+ab)\e^{b}=0$, soit $a(1+b)\e^b=0$. Or, $\e^b\neq0$ donc $a(1+b)=0$. Mais $a\neq0$ sinon, la fonction $f$ serait la fonction nulle, ce qui n'est pas le cas ici.\\
Ainsi, $1+b=0$.\\
$a$ et $b$ vérifient donc bien le système $\left\lbrace
\begin{array}{l@{=}l}
a\e^b & 1\\
1+b & 0
\end{array}
\right.$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est de la forme $f(x)=uv(x)$ donc $f'(x)=(u'v+uv')(x)$.

\medskip

$u(x)=x$ donc $u'(x)=1$.\\
$v(x)=\e^{1-x}$ donc $v'(x)=(-1)\e^{1-x}=-\e^{1-x}$.

\medskip

Donc $f'(x)=\e^{1-x}+x\times(-\e^{1-x})$, soit $f'(x)=(1-x)\e^{1-x}$.

De la m\^eme façon, on a :

\medskip

$f''(x)=-1\e^{1-x}+(1-x)(-\e^{1-x})$, soit \underline{$f''(x)=(x-2)\e^{1-x}$}.

\item $f$ est convexe $\Longleftrightarrow f''(x)>0$.\\
Or, $f''(x)>0 \Longleftrightarrow 2-x>0$ car $\e^{1-x}>0$ pour tout $x$.\\
Donc $f$ est convexe pour $x<2$.

\medskip

\underline{On en déduit que $f$ est convexe sur \intervOF{-\infty}{2} et concave sur \intervFO{2}{+\infty}.}

\medskip

Il existe un point d'inflexion si $f''(x)$ s'annule en changeant de signe, ce qui est le cas pour $x=2$.\\
$f(2)=2\e^{-1}$ donc \underline{I\coord{2}{2\e^{-1}} est l'unique point d'inflexion de $\mathcal{C}$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}