\documentclass[12pt]{book}
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\usepackage{pas-exos}
\begin{document}
\chapter*{Stage Terminale ES - Avril}

\exercice[Statistiques] % 1 --------------------------------------------

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'indice des prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre des années 2000 à 2007 (Source : INSEE).

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{||l|*8{|c}||}
\hline
Année & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 &  2007\\
\hline
Rang de l'année : $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
\hline
Indice : $y_i$ & 100 & 108,5 & 120,7 & 134,9 & 154,8 & 176,4 & 193,5 & 213,6\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'augmentation de cet indice de l'année 2000 à l'année 2007.
\item Construire le nuage de points $M_i(x_i ; y_i)$ dans le plan $(\mathcal{P})$ muni d'un repère orthogonal défini de la manière suivante :

\begin{description}
\item[$\bullet$] sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2 cm pour représenter une année.
\item[$\bullet$] sur l'axe des ordonnées, on placera 100 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 10 unités.
\end{description}

\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. Placer le point $G$ dans le plan $(\mathcal{P})$.

\item L'allure de ce nuage permet de penser qu'un ajustement affine est adapté.

\begin{enumerate}
\item A l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $(d)$ d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
\item Tracer la droite $(d)$ dans le plan $(\mathcal{P})$.
\end{enumerate}

\item En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, estimer l'indice du prix de vente des appartements anciens de Paris au quatrième trimestre 2009. Justifier la réponse.
\end{enumerate}


\exercice[Probabilités] % 2 --------------------------------------------

Le parc informatique d'un lycée est composé de 200 ordinateurs dont :
\begin{description}
\item[$\bullet$] 30 sont considérés comme neufs ;
\item[$\bullet$] 90 sont considérés comme récents ;
\item[$\bullet$] les autres sont considérés comme anciens.
\end{description}

\medskip

Une étude statistique indique que :

\begin{description}
\item[$\bullet$] 5\% des ordinateurs neufs sont défaillants ;
\item[$\bullet$] 10\% des ordinateurs récents sont défaillants ;
\item[$\bullet$] 20\% des ordinateurs anciens sont défaillants.
\end{description}

\medskip

On choisit au hasard un ordinateur de ce parc. On note les événements suivants :

\medskip

$N$ : "L'ordinateur est neuf"

$R$ : "L'ordinateur est récent"

$A$ : "L'ordinateur est ancien"

$D$ : "L'ordinateur est défaillant"

$\overline{D}$ l'évènement contraire de $D$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant.
\item Démontrer que la probabilité que l'ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.
\item Déterminer la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
\item Pour équiper le centre de ressources de l'établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc. On admet que le parc est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise. Déterminer la probabilité qu'exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
\end{enumerate}

\exercice[Logarithme Népérien] % 3 --------------------------------------------

\begingroup\bfseries\scshape Partie A - Etude préliminaire\endgroup

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par : \[g(x) = 1-2\ln(x)\]
On donne ci-dessous sa courbe représentative $\mathcal{C}_g$ dans un repère orthonormé $\left(O;\vv{i},\vv{j}\right)$.\\
Cette courbe $\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $\alpha$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[step=.5cm,color=gray,dashed] (-0.5,-4) grid (10,5);
\draw[step=1cm,color=gray] (-0.5,-4) grid (10,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-.5,0) -- (10,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-4) -- (0,5);
\foreach \x in {1,2,...,9}
{
	\draw[thick] (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\y};
}
\node[below,scale=.7] at (.5,0) {$\vv{i}$};
\node[left,scale=.7] at (0,.5) {$\vv{j}$};
\clip (-.7,-4.5) rectangle +(10.7,9.5);
\draw[thick,blue,domain=0.1:10,samples=100] plot (\x,{1-2*ln(\x)});
\node[scale=.7,above right] at (1.6,0) {$\alpha$};
\node[blue] at (9.5,-3) {$\mathcal{C}_g$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $\alpha$.
\item On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.\\
Donner, en justifiant, le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\begingroup\bfseries\scshape Partie B - Etude d'une fonction\endgroup

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2\ln(x)+1}{x}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on rappelle que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$).\\
On admettra que $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.\\
On pourra remarquer que $f(x)=2\times\dfrac{1}{x}\times\ln(x)+\dfrac{1}{x}$.
\item Soit $I=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_1^5 f(x)\textrm{d}x$. Déterminer la valeur exacte de $I$, puis en donner
une valeur approchée au centième près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begingroup\bfseries\scshape Partie C - Application économique\endgroup

\medskip

Dans cette partie, on pourra utiliser certains résultats de la partie B.

\medskip

Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l'industrie automobile.\\
Sa production pour ce type de pièces varie entre \numprint{1000} et \numprint{5000} pièces par semaine, selon la demande.\\
On suppose que toutes les pièces produites sont vendues.\\
Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie B, avec $x$ exprimé en milliers de pièces et $f(x)$ exprimé en euros.

\begin{enumerate}
\item Déterminer, au centime près, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre \numprint{1000} et \numprint{5000} pièces.
\item \textit{Dans cette question, la réponse sera soigneusement justifiée. Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l'unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à 1,05 \euro ?
\end{enumerate}

\exercice[Lecture d'un tableau de variations] % 4 -----------------------------

On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]2;+\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]2;+\infty[$.\\
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3]
{
	$x$ / 1 ,
	$f^{\prime}(x)$ / 1,
	$f$ / 2
}
{ $2$ , $3$ , $10$, $+\infty$ }
{ , + , z , - , z , +}
{ D-/$-\infty$ , +/$6$ ,  -/$-5$ , +/$4$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

On suppose de plus que $f(5)=0$ et que $f'(5)=-$2.

\begin{enumerate}
\item À l'aide du tableau, répondre aux questions suivantes. Aucune justification n'est demandée.

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition ?\\
Interpréter graphiquement les résultats.
\item Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 3.
\item Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=4$ sur l'intervalle $]2;+\infty[$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]2;+\infty[$ par : $g(x)= e^{f(x)}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g(5)$.
\item Calculer la limite de la fonction $g$ en 2.
\item Déterminer le sens de variations de $g$ sur l'intervalle $[3 ; 10]$, en justifiant la réponse.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 5.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\correction

\exercice % 1 ------------------------------------------------

\begin{enumerate}
\item Le pourcentage d'augmentation de l'indice entre 2000 et 2007 se calcule de la façon suivante : \[ p = \frac{213,6-100}{100}=1,136 \]

\underline{Le pourcentage d'augmentation de l'indice entre 2000 et 2007 est donc égal à 113,6 \%.}

\item On a le nuage de points suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (16,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (0,12);
\foreach \x/\a in {0/0,2/1,4/2,6/3,8/4,10/5,12/6,14/7}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\a};
}
\foreach \y/\o in {0/100,1/110,2/120,3/130,4/140,5/150,6/160,7/170,8/180,9/190,10/200,11/210}
{
	\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\o};
}
\draw[red,domain=0:16] plot (\x,{0.84*\x-0.83});
\fill (0,0) circle (1pt);
\fill (2,.85) circle (1pt);
\fill (4,2.07) circle (1pt);
\fill (6,3.49) circle (1pt);
\fill (8,5.48) circle (1pt);
\fill (10,7.64) circle (1pt);
\fill (12,9.35) circle (1pt);
\fill (14,11.36) circle (1pt);
\fill[orange] (7,5.03) circle (1pt) node[above left] {$G$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Notons $G\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ le point moyen de ce nuage. Alors :
\[ 
\overline{x}=\frac{0+1+2+3+4+5+6+7}{8}=3,5\]
\[\overline{y}=\frac{100+108,5+120,7+134,9+154,8+176,4+193,5+213,6}{8}=150,3\]

\item 
\begin{enumerate}
\item La calculatrice nous permet d'établir l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés suivante : \[ y=16,75x+91,67\]
\item Voir graphique
\end{enumerate}

\item Pour estimer l'indice du prix de vente des appartements anciens de Paris au quatrième trimestre 2009, on remplace $x$ par 9 dans l'équation précédemment trouvée, et on trouve  : \[ y= 16,75 \times 9 + 91,67 = 242,42\]
\underline{Ainsi, l'indice sera d'environ 242,42.}
\end{enumerate}

\exercice % 2 -----------------------------------------------------------

\begin{enumerate}
\item On a l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (root) at (0,0) {$\Omega$};
\node (N) at (2,1.5) {$N$};
\node (R) at (2,0) {$R$};
\node (A) at (2,-1.5) {$A$};
\draw (root) -- (A) node[fill=white,midway,scale=.5] {0,4};
\draw (root) -- (N) node[fill=white,midway,scale=.5] {0,15};
\draw (root) -- (R) node[fill=white,midway,scale=.5] {0,45};
\node (D) at (4,1.8) {$D$};
\node (DB) at (4,1.2) {$\overline{D}$};
\draw (N) -- (D) node[fill=white,midway,scale=.5] {0,05};
\draw (N) -- (DB) node[fill=white,midway,scale=.5] {0,95};

\node (D) at (4,0.3) {$D$};
\node (DB) at (4,-0.3) {$\overline{D}$};
\draw (R) -- (D) node[fill=white,midway,scale=.5] {0,1};
\draw (R) -- (DB) node[fill=white,midway,scale=.5] {0,9};

\node (D) at (4,-1.2) {$D$};
\node (DB) at (4,-1.8) {$\overline{D}$};
\draw (A) -- (D) node[fill=white,midway,scale=.5] {0,2};
\draw (A) -- (DB) node[fill=white,midway,scale=.5] {0,8};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant est donnée par :
\[ P(N \cap D) = P(N) \times P_N(D)=0,15 \times 0,05 = 0,0075\]

\item D'après la formule des probabilités totales, on a : \[ P(D) = P(D \cap A) + P(D \cap R) + P(D \cap N)\]
Ainsi, d'après l'arbre, on a : \[ P(D)=0,4\times 0,2 + 0,45\times 0,1 + 0,0075 =0,1325 \]

\item La probabilité que l'ordinateur choisi soit ancien sachant qu'il est défaillant est donnée par : \[ P_D(A)=\frac{P(A \cap D)}{P(D)}=\frac{0,08}{0,1325} \approx 0,60\]

\item On effectue une répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès ("défaillant") 0,1325 (d'après la question 3) : l'expérience suit donc la loi binomiale de paramètre 3 et 0,1325.\\
La probabilité d'obtenir exactement un succès est : \[ 3\times 0,1325 \times (1-0,1325)^2 \approx 0,30 \]
\end{enumerate}

\exercice % 3 -----------------------------------------------------

\begingroup\bfseries\scshape Partie A - Etude préliminaire\endgroup

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\alpha$ est la valeur telle que $f(\alpha)=0$. C'est donc la solution de l'équation $f(x)=0$.

\[
\begin{array}{rl}
f(x)=0 & \Leftrightarrow 1-2\ln(x)=0\\
& \Leftrightarrow 1 = 2\ln(x)\\
& \Leftrightarrow \frac{1}{2}=\ln(x)\\
& \Leftrightarrow e^{\frac{1}{2}=e^{\ln(x)}}\\
& \Leftrightarrow e^{\frac{1}{2}}=x
\end{array}
\]

Ainsi, \underline{$\alpha=\sqrt{e}$}.

\item La fonction $g$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ et s'annule en $\alpha$ ; ainsi :

\begin{itemize}
\item pour $0<x<\alpha$, $g(x)>0$
\item pour $x>\alpha$, $g(x)<0$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\medskip

\begingroup\bfseries\scshape Partie A - Etude d'une fonction\endgroup

\medskip

\begin{enumerate}
\item On peut écrire $f(x)=2\dfrac{\ln(x)}{x}+\dfrac{1}{x}$.\\
Or, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 2\dfrac{\ln(x)}{x}=2\times 0=0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x}=0$.

\medskip

Ainsi, par addition, $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\frac{u}{v}$ donc $f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. Donc : \[ f'(x)=\dfrac{\frac{2}{x}\times x - (2\ln(x)+1)\times 1}{x^2}\]
\[f'(x)=\frac{1-2\ln(x)}{x^2}\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}} \]

\item Nous avons vu le signe de $g(x)$ dans la partie A ; or, $f'(x)$ est du signe de $g(x)$ car $x^2>0$ sur $]0;+\infty[$, d'où le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3]
{
	$x$ / 1 ,
	$f^{\prime}(x)$ / 1,
	$f$ / 2
}
{ $0$ , $\alpha$ , $+\infty$ }
{ d , + , z , - , }
{ D-/$-\infty$ , +/$f(\alpha)$ ,  -/$0$ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Une primitive de $2\times\dfrac{1}{x}\times\ln(x)$ est $(\ln x)^2$ (d'après la formule : $f(x)=2u'u$ donne $F(x)=u^2$) et une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln(x)$ donc : \[ \boxed{F(x)=(\ln x)^2+\ln x}\]

\item On a : \[ I=\frac{1}{4}\int_1^5 f(x)\textrm{d}x\]
\[ I=\frac{1}{4}\left[ F(x) \right]_1^5 \]
\[ I=\frac{1}{4}(F(5)-F(1)) \]
\[ I=\frac{1}{4}((\ln 5)^2+\ln 5 - (\ln 1)^2-\ln 1) \]
\[ \boxed{I=\frac{(\ln 5)^2+\ln 5}{4}}\]

A l'aide de la calculatrice, on trouve : \underline{$I \approx 1,05$}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begingroup\bfseries\scshape Partie C -Application économique\endgroup

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre \numprint{1000} et \numprint{5000} pièces est la valeur moyenne de la fonction $f$ entre 1 et 5, c'est-à-dire $\dfrac{1}{5-1}\displaystyle\int_1^5 f(x)\textrm{d}x$, soit $I$.

\medskip
	
La valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre \numprint{1000} et \numprint{5000} pièces est donc de 1,05 \euro.

\item On doit résoudre l'équation $f(x) = 1,05$ ; or on ne peut pas la résoudre de façon exacte. Sur $[1;5]$,
on a le tableau de variation suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3]
{
	$x$ / 1 ,
	$f^{\prime}(x)$ / 1,
	$f$ / 2
}
{ $1$ , $\alpha$ , $5$ }
{ , + , z , - , }
{ -/$f(1)$ , +/$f(\alpha)$ ,  -/$f(5)$ }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

On a : $f(1)=1$, $f(\alpha) \approx 1,21$ et $f(5) \approx 0,84$.\\
En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires on montre que cette équation a deux solutions : une sur 'intervalle $]1 ; \alpha[$ et une autre sur l'intervalle $]\alpha ; 5[$.\\
Puis en utilisant la méthode de balayage sur la calculatrice on trouve que les solutions sont approximativement
: \[ 1,05 < x_1 < 1,06 \qquad ; \qquad 3,11 < x_2 < 3,12 \]
\underline{Il faut donc produire 105 pièces ou 311 pièces pour avoir un bénéfice unitaire égal à 1,05 \euro.}
\end{enumerate}

\exercice % 4 ---------------------------------------------

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
$\lim\limits_{x \rightarrow 2} f(x)=-\infty$, ce qui signifie que $\mathcal{C}$ admet une asymptote verticale d'équation $x=2$.\\
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=4$, ce qui signifie que $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=4$.
\item La tangente à $\mathcal{C}$ en $x=3$ est horizontale ; comme $f(3)=6$, son équation est : $\underline{y=6}$.
\item Il y a deux solutions à l'équation $f(x)=4$ : l'une sur l'intervalle $]2;3[$ et l'autre sur l'intervalle $]3;10[$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $g(5)=e^{f(5)}=e^0=1$.
\item $\lim\limits_{x \rightarrow 2} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{X \rightarrow -\infty} e^X=0$ donc $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 2} g(x)=0}$.
\item Sur $]3;10[$, la fonction $f$ est croissante et la fonction exponentielle est croissante. Or, la composée d'une fonction décroissante et d'une fonction croissante est décroissante.\\
\underline{Ainsi, $g$ est décroissante sur $]3;10[$.}
\item L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 5 est donnée par la formule : \[ y = g'(5)(x-5)+g(5)\]
Or, $g'(x)=f'(x)e^{f(x)}$. On a alors : \[ y = f'(5)e^{f(5)}(x-5)+g(5) \]
D'où : \[ y = -2e^{0}(x-5)+1\]
Finalement, l'équation de cette tangente est : \underline{$y=-2x+11$}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}