\documentclass[12pt]{book}
\usepackage[print]{pas-exos}
\begin{document}
\chapter*{Révisions - Terminales ES}

\exercice % 1 -----------------------------------------

Soit $f$ une fonction dont le tableau de variation est :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit
{
	$x$ / .5 ,
	$f$ / 1
}
{ $-\infty$ , $-1$ , $2$, $+\infty$ }

\tkzTabVar
{ -/$-2$ , +D-/$+\infty$/$-\infty$ ,  +/$3$ , -/$-\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

et soit $u$ la fonction définie par $u(x)=e^{f(x)}$.

\begin{enumerate}
\item Donnez toutes les asymptotes possibles de la courbe représentative de la fonction $f$.
\item Combien l'équation $f(x)=0$ admet-elle de solutions ? 
\item Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} u(x)$, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} u(x)$, $\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x<-1}} u(x)$ et $\lim\limits_{\substack{x \to -1 \\ x>-1}} u(x)$ 
\item Exprimer $u'(x)$ en fonction de $f(x)$ et $f'(x)$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $u$.
\end{enumerate}


\exercice % 2 ------------------------------------------

On a dessiné la courbe représentative d'une fonction $u$ ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=2]
\draw[step=.5cm,color=gray,dashed] (-6,-.5) grid[ystep=0.25] (6,1.5);
\draw[step=1cm,color=gray] (-6,-.5) grid (6,1.5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-6,0) -- (6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-.5) -- (0,1.5);
\foreach \x in {-5,-4,...,5}
{
	\draw[thick] (\x,.05) -- (\x,-.05) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {-0.5,1}
{
	\draw[thick] (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\y};
}
\clip (-6,-.5) rectangle +(12,2);
\draw[thick,blue,domain=-5:5,samples=100] plot (\x,{(\x+1)/(\x*\x+\x+1)});
\draw[thick,red,domain=-3:.5,samples=100] plot (\x,{\x+1});
\node[blue,above right] at (5,.2) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

La tangente à la courbe au point d'abscisse $x=-1$ passe par le point de la courbe d'abscisse 0. L'axe des abscisses est asymptote à la courbe aux deux infinis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de $u(-1)$, $u(0)$ et $u'(-1)$ ?
\item A quoi pourrait être égale la limite de $u$ aux infinis ?

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par $f=\ln u$ sur $]-1;+\infty[$.

\medskip

\item Calculer $\lim\limits_{x\to -1} f(x)$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]-1;+\infty[$.
\end{enumerate}

\exercice % 3 ----------------------------------------------

Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln\left(\dfrac{x+1}{x^2+1}\right)$ sur $]-1;+\infty[$.

\exercice % 4 ---------------------------------------------

Résoudre l'équation : $\ln\left(x^2+x+1\right)=\ln\left(2x^2+5x+3\right)$.

\exercice % 5 ---------------------------------------------
Calculer la dérivée de la fonction $g$ définie par $g(x)=xe^{2x+1}$.

\exercice % 6 ---------------------------------------------
Résoudre l'équation : $e^{2x+1}=e^{-x+3}$.

\exercice % 7 ---------------------------------------------
Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=\dfrac{2\ln x+1}{x}$ sur $]0;+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow 0} h(x)$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} h(x)$. On rappelle que $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $1-2\ln x > 0$ sur $]0;+\infty[$.
\item Calculer $h'(x)$.
\item En déduire les variations de $h$ sur $]0;+\infty[$.
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une solution sur $]0;+\infty[$ et déterminer sa valeur.  
\end{enumerate}

\exercice % 8 ---------------------------------------------
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=1+xe^{1-x}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)$.
\item Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$. On rappelle que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.
\item Dresser un tableau de variation complet de $f$.
\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]-1;0[$, puis calculer une valeur approchée de cette solution à 0,01 près à l'aide de la méthode de balayage.
\end{enumerate}

\exercice % 9 --------------------------------------------- 
Déterminer une primitive de la fonction $f(x)=\dfrac{x^3}{2}+2x^2-\frac{x}{2}+1$.

\pagebreak

\exercice % 10 ---------------------------------------------
Déterminer une primitive de la fonction $g(x)=(3x^2-x+1)\left(x^3-\frac{1}{2}x^2+x-1\right)$.

\exercice % 11 --------------------------------------------- 
Déterminer une primitive de la fonction $h(x)=\dfrac{2\ln x -1}{x}$.

\exercice % 12 --------------------------------------------- 
Déterminer une primitive de la fonction $k(x)=(2x+3)(x^2+3x+1)^5$.

\exercice % 13 ---------------------------------------------
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de la fonction $u(x)=(2x+1)e^{x^2+x+1}$.
\item Déterminer l'aire de la partie grisée ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=.5]
\shade[bottom color=gray!10,top color=gray] (-.5,0) plot[domain=-.5:.5] (\x,{(2*\x+1)*exp(\x*\x+\x+1)}) -- (.5,0) -- cycle;
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1,0) -- (1,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-.5) -- (0,15);
\clip (-1,-2) rectangle +(2,15.5);
\draw[thick,blue,domain=-1:1,samples=100] plot (\x,{(2*\x+1)*exp(\x*\x+\x+1)});
\node[below] at (-.5,0) {$-\dfrac{1}{2}$};
\node[below] at (.5,0) {$\dfrac{1}{2}$};
\node[below right,blue] at (.55,13) {$y=u(x)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Quelle est la valeur moyenne de la fonction $u$ sur l'intervalle $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$ ?
\end{enumerate}

\exercice % 14 ---------------------------------------------
Déterminer la valeur de $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\textrm{d}x$.

\pagebreak

\exercice % 15 ---------------------------------------------
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x)=x^2\left(\dfrac{3}{2}-\ln x\right)$ est une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)~=~2x(1~-~\ln x)$.
\item En déduire la valeur de $\displaystyle\int_1^e f(x)\textrm{d}x$. \\
Sachant que l'unité du repère orthonormal dans lequel nous avons tracé la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}$, est 2 cm, quelle est l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x=1$ et la droite d'équation $x=e$ ? 
\end{enumerate}

\exercice % 16 ---------------------------------------------
Déterminer la valeur de $\displaystyle\int_0^4 \left( x+6e^{-0,5x}\right)\textrm{d}x$.

\exercice % 17 ---------------------------------------------
Dans un laboratoire, se trouve un atelier nommé \og L'école des souris \fg. Dès leur plus jeune âge,  les souris apprennent à effectuer régulièrement le même parcours. Ce parcours est constitué de trappes et de tunnels que les souris doivent emprunter pour parvenir à croquer une friandise. Plus la souris effectue le parcours, plus elle va vite. 

Une souris est dite \og  performante \fg{} lorsqu'elle parvient à effectuer le parcours en moins d'une minute.
 
Cette \og école \fg{} élève des souris entraînées par trois dresseurs :

 48\:\%  des souris sont entraînées par Claude,  16\:\% par Dominique et les autres par Éric.
  
Après deux mois d'entraînement,  on sait que : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item parmi les souris de Claude 60\:\% sont performantes ; 
\item 20\:\% des souris de Dominique ne sont pas encore performantes ; 
\item parmi les souris d'Éric, deux sur trois sont performantes. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard une souris de cette \og école \fg.
 
On note $C,~ D,~ E$ et $P$ les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item C : \og  la souris est entraînée par Claude \fg{} ; 
\item D : \og  la souris est entraînée par Dominique \fg{} ; 
\item E : \og  la souris est entraînée par Éric \fg{} ; 
\item P : \og  la souris est performante \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $p(C),~p(E),~ p_{D}\left(\overline{P}\right)$ et $p_{E}(P)$. 
	\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og  la souris est entraînée par Claude et est performante \fg. 
\item Démontrer que la probabilité pour  une souris d'être performante est de $0,656$. 

\medskip

\emph{Pour les questions suivantes, on arrondira les résultats au millième.}
 
\item On choisit au hasard une souris parmi celles qui sont performantes.
 
Quelle est la probabilité que cette souris soit entraînée par Dominique ?
 
\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte.}
 
On choisit maintenant au hasard quatre souris de cette \og école \fg. 

On assimile ce choix à un tirage avec remise.
 
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une souris performante ? 
\end{enumerate}

\exercice % 18 ---------------------------------------------
Une université fait passer un test à ses étudiants. A l'issue du test chaque étudiant est classé dans l'un des trois profils A, B et C définis ci-dessous.
 
50\,\% des étudiants ont le profil A : ils mémorisent mieux une information qu'ils voient (image, diagramme, courbe, film ... ).
 
20\,\% des étudiants ont le profil B : ils mémorisent mieux une information qu'ils entendent.
 
30\,\% des étudiants ont le profil C : ils mémorisent aussi bien l'information dans les deux situations.

\bigskip
 
À la fin de la session d'examen de janvier on constate que
 
70\,\% des étudiants ayant le profil A ont une note supérieure ou égale à 10,

75\,\% des étudiants ayant le profil B ont une note supérieure ou égale à 10,
 
85\,\% des étudiants ayant le profil C ont une note supérieure ou égale à 10.

\medskip
 
On choisit de manière aléatoire un étudiant de cette université. On note
 
A l'évènement \og l'étudiant a le profil A \fg,

B l'évènement \og l'étudiant a le profil B \fg,
 
C l'évènement \og l'étudiant a le profil C \fg
   
M l'évènement \og l'étudiant a une note supérieure ou égale à 10 \fg{} et $\overline{\text{M}}$ l'évènement contraire.
 
\begin{enumerate}
\item Construire l'arbre pondéré.


\emph{Dans la suite de l'exercice les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondie au millième.}

\medskip
 
\item Calculer la probabilité que l'étudiant choisi soit de profil C et qu'il ait obtenu une note supérieure ou égale à 10. 
\item Démontrer $P(\text{M}) = 0,755$. 
\item Calculer la probabilité que l'étudiant soit de profil B sachant qu'il a obtenu une note strictement inférieure à 10. 
\item On choisit quatre étudiants au hasard. On admet que le nombre d'étudiants est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à quatre tirages successifs indépendants avec remise. Calculer la probabilité pour que exactement trois de ces étudiants soient du profil C. 
\end{enumerate} 

\pagebreak

\exercice % 19 ---------------------------------------------
Le tableau suivant donne l'évolution du marché des capteurs solaires installés en France métropolitaine entre 2000 et 2007.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i},~ 1 \leqslant i \leqslant 8$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline   
Surface de capteurs solaires installés en milliers de m$^2 : y_{i},~ 1 \leqslant i \leqslant 8$&6 &18 &23 &39 &52 &121 &220 &253\\ \hline 
\multicolumn{9}{l}{Source : ENERPLAN (\emph{Association professionnelle de l'énergie solaire})}
\end{tabularx}

\medskip
 
L'objectif gouvernemental est d'atteindre un marché d'un million de m$^2$ en 2010. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage d'augmentation de la surface des capteurs solaires installés entre les années 2006 et 2007. 
		\item Si ce pourcentage reste le même d'année en année jusqu'en 2010. l'objectif gouvernemental sera-t-il atteint ? 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Sur une feuille de papier milimétré,  représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)~;~1 \leqslant i \leqslant 8$, dans un repère orthogonal du plan (on prendra 2~cm pour une année eu abscisse et en ordonnée 1~cm pour 20~milliers de m$^2$ de capteurs solaires installés).
		 
La forme du nuage suggère de faire un ajustement exponentiel.

Pour cela on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$. 
 
	\item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant où les valeurs $z_{i}$ seront arrondies au centième.
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\begin{tabular}{l}Rang de l'année :\\ $x_{i},~ 1 \leqslant i \leqslant 8$\\
\end{tabular}& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline
\begin{tabular}{l}$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right),~1 \leqslant i \leqslant 8$\\
\end{tabular}& 1,79&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\item En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au centième. 
	\item On suppose que l'évolution se poursuit de cette façon jusqu'en 2010.
	 
À l'aide de cet ajustement exponentiel, estimer en m$^2$ la surface de capteurs solaires installés en 2010. 

Si l'évolution se poursuit selon ce modèle, l'objectif gouvernemental sera-t-il atteint ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\exercice % 20 ---------------------------------------------
Le tableau suivant dorme le nombre annuel, exprimé en milliers, de véhicules vendus les cinq premières années de commercialisation :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année		&1999 	&2000	& 2001&2002&2003\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$&	0& 	1& 	2&	3& 	4\\ \hline
Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : $y_{i}$& 	81,3&	92,3& 	109,7& 128,5 &131,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans le plan ($P$) muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 1~cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~milliers de véhicules vendus sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~ ;~ y\right)$ pour $i$ entier variant de 0 à 4.
\item  L'allure du nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.
		\item  Déterminer l'équation $y = ax + b$ de la droite ($D$) d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		\item  Placer le point G et tracer la droite ($D$) sur le graphique précédent.
		\item  En utilisant l'ajustement affine du \textbf{b.}, donner une estimation du nombre de véhicules vendus en 2007.
 	\end{enumerate}
\item Le tableau suivant donne le nombre annuel de véhicules vendus, exprimé en milliers, de 2003 à 2007 :
	
	\medskip
	
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&	2003&	2004&	2005& 	2006& 	2007\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$&	4&	5& 	6&	7&	8\\ \hline
Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : $y_{i}$&	131,2&110,8&101,4&86,3&76,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le nuage de points précédent à l'aide de ces valeurs.
		\item  L'ajustement précédent est-il encore adapté ? Justifier la réponse.
		\item On décide d'ajuster le nuage de points associé à la série statistique  $\left(x_{i}~ ;~ y\right)$, pour $i$ entier variant de 4 à 8, par une courbe qui admet une équation de la forme $y = \text{e}^{cx + d}$.
		
Déterminer les réels $c$ et $d$ pour que cette courbe passe par les points A(4 ; 131,2) et B(8 ; 76,1).

		 On donnera la valeur exacte, puis l'arrondi au millième de chacun de ces nombres réels.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exercice % 21 ---------------------------------------------
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-5~;~\dfrac{5}{2}\right]$.
Le plan est muni d'un repère orthonormal.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ représentée ci-dessous est celle de la fonction $f$.
\item[$\bullet~$] Les points A(0 ; 2), B (1 ; e) et C (2 ; 0) appartiennent à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$.
\item[$\bullet~$] Le point de la courbe  $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$  d'abscisse $(-5)$ a une ordonnée strictement positive.
\item[$\bullet~$] La tangente ($T$) en A à la courbe  $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$  passe par le point D$(-2~;~ 0)$.
\item[$\bullet~$] La tangente en B à la courbe  $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$  est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\clip (-6,-5) rectangle +(9,9);
\draw[gray] (-6,-5) grid (3,4);
\draw[->,>=stealth'] (-6,0) -- (3,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-5) -- (0,4);
\foreach \x in {-6,-5,...,2}
{
	\draw (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {3,2,...,-4}
{
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\y};
}
\draw (-6,-4) -- (2,4);
\draw[domain=-6:3,blue,samples=100] plot (\x,{(2-\x)*exp(\x)});
\node[right,blue] at (2.5,-4.5) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $f'(0)$ le nombre dérivé de la fonction $f$ en $0$. Quelle est sa valeur ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(0) = 1$&	\textbf{b.~~} $f'(0) = 2$& 	\textbf{c.~~} $f'(0)= 0$\\
\end{tabularx}

On note $\ln$ la fonction logarithme népérien et $g$ la fonction composée $\ln (f)$.
\item  Quel est l'ensemble de définition de la fonction $g$, noté D$_{g}$ ?

 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $]0~;~ \dfrac{5}{2}[$	&\textbf{b.~~}$[-5 ~;~2]$ 	&\textbf{c.~~}$[-5~ ;~2[$\\
\end{tabularx}

\item  Quelle est la valeur de $g(0)$  ?

 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $g(0) = 2$&	\textbf{b.~~} $g(0) = 0$& 	\textbf{c.~~}$g(0) = \ln(2)$\\
\end{tabularx}

\item  On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Quelle est la valeur de $g'(1)$ ?

 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $g'(1) = \text{e}$	&\textbf{b.~~} $g'(1) = 0$ 	&\textbf{c.~~} $g'(1)=- \dfrac{1}{\text{e}^2}$\\
\end{tabularx}

\item  Quelle est la limite de g(x) quand x tend vers 2 ?

 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\displaystyle\lim_{x \to 2} g(x) = - \infty$	&\textbf{b.~~} $\displaystyle\lim_{x \to 2} g(x)=0$ 	&\textbf{c.~~} $\displaystyle\lim_{x \to 2} g(x)=+\infty$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}