\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\arabic*},leftmargin=3.5ex}
\setlist[enumerate,2]{label=\bfseries\emph{\textcolor{gray}{\alph*.}}}
\setlist[itemize,1]{label=$\bullet$}
\begin{document}
\begin{Huge}
\color{gray}\bfseries$\blacksquare$ \emph{Les interros d'Hugo} \normalsize \foreach \i in {1,2,...,16}{$\blacksquare$ }
\end{Huge}
\begin{flushright}
\begin{Large}
\color{gray!75}\bfseries\emph{Thème : continuité et dérivabilité}
\end{Large}
\end{flushright}

% QUESTIONS DE COURS

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Questions de cours
\end{large}

\emph{Complète les phrases suivantes :}

\begin{enumerate}
\item Une fonction $f$ est continue sur un intervalle si \ldots

\item On veut démontrer que l'équation $f(x)=c$ admet une seule solution sur \intervFF{a}{b} à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires. Les trois conditions qu'il est nécessaire d'avoir sont :
\begin{itemize}
\item \ldots
\item \ldots
\item \ldots
\end{itemize}

\item $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$. 

L'équation réduite de la tangente à sa courbe passant par le point d'abscisse $a$ est : $y=\ldots$

\item Complétez les formules de dérivation suivantes :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item $(uv)' = \ldots$

\item $\left(\dfrac{1}{v}\right)^\prime=\ldots$

\item $\left(\dfrac{u}{v}\right)^\prime=\ldots$
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Résoudre une équation 
\end{large}

On souhaite résoudre l'équation : $x^3+x+3=0$.

\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3+x+3$ sur votre calculatrice et conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.

\item \'Etudier les variations de $f$ sur \R.

\item En déduire le nombre exact de solutions de l'équation $f(x)=0$.

\item À l'aide de votre calculatrice, déterminer une valeur approchée de cette ou ces solution(s) à 0,01 près. 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Lectures graphiques
\end{large}

On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'un fonction $f$ définie sur \intervFF{-5}{5} ainsi que sa tangente au point d'abscisse 1 sur laquelle se trouve le point de coordonnées \coord{3}{-24}.

\medskip

\begin{minipage}{11cm}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.1,>=latex]
\draw[gray!50,dashed] (-5,-50) grid[xstep=1,ystep=10] (5,30);
\draw[thick,->] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->] (0,-50) -- (0,30);
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
{
	\draw[thick] (\x,1) -- (\x,-1) node[below] {$\x$};
}
\foreach \y in {-50,-40,-30,-20,-10,10,20,30}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\node[below left] at (0,0) {0};
\clip (-5,-50) rectangle (5,30);
\draw[very thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{(\x+3)*(\x-1)*(\x-4)});
\draw[thick] plot[domain=-5:5] (\x,{-12*\x+12});
\draw[dashed] (3,0) -- (3,{-12*3+12}) -- (0,{-12*3+12}) node[left,scale=0.75] {$-24$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-11cm}
Répondre par \og Vrai \fg{} ou \og Faux \fg{} aux questions suivantes :

\bigskip

\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions sur \intervFF{-5}{5}.

\medskip

\item L'équation $f'(x)=0$ admet exactement trois solutions sur \intervFF{-5}{5}.

\medskip

\item $f'(1)=-12$.

\medskip

\item $f'(x)\leqslant0$ sur \intervFF{-1}{2}.
\end{enumerate}

\vspace*{2cm}
~
\end{minipage}

\newpage

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Problème lié à l'économie 
\end{large}

Une entreprise fabrique des voitures à hauteur de \numprint{10000} par mois au maximum. 

Pour $x$ milliers de voitures fabriquées mensuellement, le coût total de production, exprimé en centaine d'euro, est donné par :
\[
C(x)=5x^3-40x^2+100x+500.
\]
Le marché est prêt à offrir un prix unitaire de \numprint{18000} \euro.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice, exprimé en centaine d'euro, pour $x$ quantité, est :
\[
B(x)=-5x^3+40x^2+80x-500.
\]
\item Déterminer le nombre de voitures à fabriquer pour que le bénéfice soit maximal, puis préciser la valeur de ce bénéfice.
\end{enumerate}

Le coût moyen de production, noté $C_M$, représentant le coût par unit produite, est donné par :
\[
C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}
\]
\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que $C_M^\prime(x)=\dfrac{10}{x^2}(x^3-4x^2-50)$.
\item\label{q4} On pose $f(x)=x^3-4x^2-50$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de $f$ sur \intervFF{0}{10}.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFF{0}{10}, dont on précisera une valeur approchée à 0,001 près.
\item En déduire le signe de $C_M^\prime(x)$ sur \intervOF{0}{10}.
\end{enumerate}
\item Déduire de la question \ref{q4} le sens de variation de $C_M$.

Pour quelle quantité de voitures le coût moyen est-il minimal ? Quel est alors ce coût ?
\end{enumerate}

\bigskip

Le coût marginal représente la variation du coût total pour une unité supplémentaire de production. Le nombre de voitures est suffisamment grand pour accepter que ce coût soit donné par la formule :
\[
C_m(x)=C'(x).
\]
\begin{enumerate}[start=6]
\item Déterminer l'expression de $C_m(x)$, puis calculer $C_m(\alpha)$. Que peut-on remarquer ?
\end{enumerate}
\end{document}