\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\setlength{\parindent}{0pt}
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\arabic*}}
\begin{document}
\begin{Huge}
\color{gray}\bfseries$\blacksquare$ \emph{Les interros d'Hugo} \normalsize \foreach \i in {1,2,...,16}{$\blacksquare$ }
\end{Huge}
\begin{flushright}
\begin{Large}
\color{gray!75}\bfseries\emph{Thème : la fonction exponentielle}
\end{Large}
\end{flushright}

% QUESTIONS DE COURS

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Questions de cours
\end{large}

\emph{On désigne par $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs, et $n$ un entier relatif.}

\emph{Complète les égalités suivantes :}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\e^{a}\times\e^b = \e^{\color{red}a+b}$

\item $\dfrac{\e^a}{\e^b} = \e^{\color{red}a-b}$

\item $\big(\e^a\big)^n= \e^{\color{red}na}$

\item $\e^0 = \color{red}1$
\end{multicols}

\item $\e^a = \e^b \Longleftrightarrow \color{red}a=b$

\item $\e^a > \e^b \Longleftrightarrow \color{red}a>b$

\item La dérivée de la fonction $f(x)=\e^(x)$ est $f'(x)=\color{red}\e^x$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Application du cours
\end{large}

\emph{\'Ecrire sous la forme d'une seule exponentielle les nombres suivants.}

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\dfrac{\e^5\times\e^7}{\e^{-12}}=\color{red}e^{5+7-(-12)}=\e^{24}$
\item $\dfrac{\e^{-9}\times\e^{11}}{\e^2}=\color{red}\e^{-9+11-2}=\e^{0}=1$
\item $\big(\e^5\big)^{-2}\times\e^{11}=\color{red}\e^{5\times(-2)+11}=\e^1=\e$
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{\e^{8x}\times\e^{2x}}{\e^{3x}}-2\e^{7x} & = \color{red}\e^{10x-3x}-2\e^{7x}\\
& = \color{red}\e^{7x}-2\e^{7x}\\
& = \color{red}-\e^{7x}
\end{aligned}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ \'Equations et inéquations
\end{large}

\emph{Résoudre chacune des équations et inéquations suivantes, d'inconnue $x$.}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{aligned}[t]
\e^{x+2}=1 & \Longleftrightarrow \color{red} \e^{x+2}=\e^0\\
& \Longleftrightarrow \color{red} x+2=0\\
& \Longleftrightarrow \color{red} \boxed{x=-2}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{\e^{2x}\times\e^x}{\e^{7x}}-\e^x=0 & \Longleftrightarrow \color{red} \e^{2x+x-7x}=\e^x\\
& \Longleftrightarrow \color{red}\e^{-4x}=\e^x\\
& \Longleftrightarrow \color{red}-4x=x\\
& \Longleftrightarrow \color{red}\boxed{x=0}
\end{aligned}$
\end{multicols}

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x}-4\e^x+3\geqslant0 & \Longleftrightarrow \color{red} X^2-4X+3 \geqslant0\,(*) \quad \text{en posant }X=\e^x\\
& \color{red} \Delta=(-4)^2-4\times1\times3=16-12=4\\
&\color{red} X_1=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}\quad\text{et}\quad X_2=\dfrac{4+\sqrt{4}}{2}>0\\
& \color{red} X_1=1\quad\text{et}\quad X_2=3\\
& (*) \Longleftrightarrow \color{red} X^2-4X+3\geqslant0\text{ si }X\in\intervOF{-\infty}{1}\cup\intervFO{3}{+\infty}\\
& \Longleftrightarrow \color{red} \e^x\in \intervOF{0}{1}\cup\intervFO{3}{+\infty}\text{ car }\e^x>0\\
& \Longleftrightarrow \color{red}x\in\intervOF{-\infty}{\ln1}\cup\intervFO{\ln3}{+\infty}\\
& \Longleftrightarrow \color{red}\boxed{x\in\intervOF{-\infty}{0}\cup\intervFO{\ln3}{+\infty}}
\end{aligned}$

\item $\e^{157x^3+895,75x-451,012}<0$.

{\color{red}Une exponentielle est TOUJOURS strictement positive donc cette inéquation, quelle que soit la valeur de l'exposant, n'a aucune solution.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ \'Etude d'une fonction exponentielle
\end{large}

On considère la fonction $f$ définie sur \R{} par :
\[
f(x)=\e^{3x}-3\e^x.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)$ est du signe de $\e^{2x}-1$.
{
\color{red}
$\e^{3x}$ est de la forme $\e^u$ avec $u(x)=3x$; donc sa dérivée est $u'\e^u=3\e^{3x}$. Donc :
\begin{align*}
f'(x) & = 3\e^{3x}-3\e^x\\
& = 3\e^x\big(\e^{2x}-1\big)
\end{align*}
Or, $3\e^x>0$ pour tout $x$ donc $f'(x)$ est du signe de $\e^{2x}-1$.
}
\item En déduire les variations de $f$ sur \R.
{\color{red}
\begin{align*}
\e^{2x}-1>0 
& \Longleftrightarrow \e^{2x}>1\\
& \Longleftrightarrow \e^{2x} > \e^0\\
& \Longleftrightarrow 2x > 0\\
& \Longleftrightarrow x > 0
\end{align*}
D'où le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=red]
\tikzset{arrow style/.style = {red,->,>=latex}}
\tikzset{double style/.append style = {red}}
\tkzTabInit[color,deltacl=1]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/2}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/0,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}
\item Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=7$.

{\color{red}
L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est donnée par la formule :
\[ y=f'(a)(x-a)+f(a) \]
Ici, $f'(a)=f'(7)=3\e^7\big(\e^{14}-1\big)$ et $f(7)=\e^{21}-3\e^7$ donc cela donne :
\[
y=3\e^7\big(\e^{14}-1\big)(x-7)+\e^{21}-3\e^7
\]
En développant, on trouve :
\[
y=3\e^7\big(\e^{14}-1\big)x-21\e^7\big(\e^{14}-1\big)+\e^{21}-3\e^7
\]
ou encore :
\[
\boxed{y=3\e^7\big(\e^{14}-1\big)x-20\e^{21}+18\e^7}
\]
que l'on peut aussi donner sous la forme :
\[
\boxed{y=\numprint{3956443913,55}x-\numprint{26376294950,3}}
\]
}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ QCM -- Lectures graphiques
\end{large}

\emph{Voici la courbe représentative $\cal C$  d'une fonction $f$.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=5]
\draw[gray,dashed] (-6,-1) grid[xstep=1,ystep=0.1] (6,0.3);
\draw[thick,->] (-6,0) -- (6,0);
\draw[thick,->] (0,-1) -- (0,0.3);
\clip (-10,-1) rectangle (10,0.3);
\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}{\draw[very thick] (\x,0.02) -- (\x,-0.02) node[below,scale=0.75] {$\x$};}
\foreach \y in {-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0.2}{\draw[very thick] (0.05,\y) -- (-0.05,\y) node[left,scale=0.7] {$\y$};}
\draw[very thick] plot[id=exp,samples=100] function {(exp(0.5*x)-1)/(exp(x)+1)} node[above right] {$\cal C$};
\draw[red] plot[domain=-6:6] (\x,{0.25*\x});
%\node at (-1.4,-0.4) {$\cal C$};
\node[below right] at (0,0) {O};
\fill[red] (-2,-0.5) circle[x radius=2pt,y radius=0.4pt] node[above left] {A};
\node[red,right] at (-3.5,-0.9) {$T$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

$\cal C$ passe par l'origine du repère.

$T$ est la tangente à $\cal C$ en O.

Le point A\coord{-2}{-0,5} est sur T.

\begin{center}
\large\bfseries Partie A
\end{center}

À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur \intervFF{-5}{5}.
\begin{center}
\color{red}
\begin{tikzpicture}[draw=red]
\tikzset{arrow style/.style = {red,->,>=latex}}
\tikzset{double style/.append style = {red}}
\tkzTabInit[color,deltacl=1]{$x$/0.8,$f(x)$/2}{$-5$,{$1,8$},$5$}
\tkzTabVar{-/{$-0,9$},+/{$0,21$},-/{$0,08$}}
\end{tikzpicture}

\textit{Les valeurs données en images dans ce tableau ne sont qu'approximatives.}
\end{center}

\item Quelle est la valeur de $f'(0)$ ? De $f(0)$ ?

{\color{red}
$f'(0)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x=0$, donc de $T$.

Cette tangente passe par les points A\coord{-2}{-0,5} et O\coord{0}{0} donc son coefficient directeur est :
\[
\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\dfrac{-0,5}{-2}=0,25.
\]
Ainsi, $\underline{f'(0)=0,25}$.

\medskip

\underline{$f(0)=0$} car $\cal C$ passe par O\coord{0}{0}.
}

\item Quel est le signe de $f'(x)$ sur \intervFF{-5}{-1} ?

Sur \intervFF{-5}{-1}, $f$ est strictement croissante donc \underline{$f'(x)>0$}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\large\bfseries Partie B
\end{center}

La fonction $f$ est définie par :
\[
f(x)=\dfrac{\e^{0,5x}-1}{\e^x+1}
\]
Un logiciel de calcul nous donne :
\[
f'(x)=\dfrac{-0,5\e^{1,5x}+0,5\e^{0,5x}+\e^x}{\big(\e^x+1\big)^2}
\]
\begin{enumerate}
\item\label{q1} Justifier que $f'(x)$ est du signe de $-\e^x+2\e^{0,5x}+1$.

{\color{red}
En factorisant le numérateur de $f'(x)$ par $0,5\e^{0,5x}$, on obtient :
\begin{align*}
f'(x) & =\dfrac{0,5\e^{0,5x}\big(-\e^{1,5x-0,5x}+1+2\e^{x-0,5x}\big)}{\big(\e^x+1\big)^2}\\[6pt]
& =\dfrac{0,5\e^{0,5x}\big(-\e^x+1+2\e^{0,5x}\big)}{\big(\e^x+1\big)^2}
\end{align*}
Or $0,5\e^{0,5x}>0$ et $\big(\e^x+1\big)^2>0$ sur $\R$ donc $f'(x)$ est du signe de $-\e^x+1+2\e^{0,5x}$.
}

\item On considère le polynôme $P(X)=-X^2+2X+1$.
\begin{enumerate}
\item Donner le signe de $P(X)$ sur \R.

{\color{red}
$P(X)$ est un polynôme de degré 2 dont le discriminant est :
\[
\Delta=2^2-4\times(-1)\times1=4+4=8.
\]
Il admet donc deux racines :
\[
X_1=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{-2}=\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=1+\sqrt{2}
\]
et sa conjuguée :
\[
X_2=1-\sqrt2.
\]
D'où le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=red]
\tikzset{arrow style/.style = {red,->,>=latex}}
\tikzset{double style/.append style = {red}}
\tkzTabInit[color,deltacl=1]{$X$/0.8,$P(X)$/0.8}{$-\infty$,{$1-\sqrt2$},$1+\sqrt2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\item Que vaut $P\left(\e^{0,5x}\right)$ ? En déduire le signe de $f'(x)$ sur \intervFF{-6}{6}, puis les variations de $f$.

{\color{red}
$P\big(\e^{0,5x}\big)=-\big(\e^{0,5x}\big)^2+2\e^{0,5x}+1=-\e^x+2\e^{0,5x}+1$ qui se trouve être l'expression dont dépend le signe de $f'(x)$ comme dit dans la question \ref{q1}.

On a donc posé $X=\e^{0,5x}$ et donc $X>0$, d'où le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=red]
\tikzset{arrow style/.style = {red,->,>=latex}}
\tikzset{double style/.append style = {red}}
\tkzTabInit[color,deltacl=1]{$\e^x$/0.8,$P(\e^x)$/0.8}{0,$1+\sqrt2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
\e^{0,5x}=1+\sqrt2 \Longleftrightarrow 0,5x=\ln\big(1+\sqrt2\big) \Longleftrightarrow x = 2\ln\big(1+\sqrt2\big)\approx1,762
\]
d'où :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=red]
\tikzset{arrow style/.style = {red,->,>=latex}}
\tikzset{double style/.append style = {red}}
\tkzTabInit[color,deltacl=1]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.8,$f$/1}{$-6$,$2\ln\big(1+\sqrt2\big)$,$6$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ceci correspond bien aux observations de la partie A (nous avions trouvé la valeur \og 1,8 \fg{} au lieu de $1,762$).
}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
