\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\setlength{\parindent}{0pt}
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\arabic*}}
\begin{document}
\begin{Huge}
\color{gray}\bfseries$\blacksquare$ \emph{Les interros d'Hugo} \normalsize \foreach \i in {1,2,...,16}{$\blacksquare$ }
\end{Huge}
\begin{flushright}
\begin{Large}
\color{gray!75}\bfseries\emph{Thème : la fonction exponentielle}
\end{Large}
\end{flushright}

% QUESTIONS DE COURS

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Questions de cours
\end{large}

\emph{On désigne par $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs, et $n$ un entier relatif.}

\emph{Complète les égalités suivantes :}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\e^{a}\times\e^b = \e^{\ldots}$

\item $\dfrac{\e^a}{\e^b} = \e^{\ldots}$

\item $\big(\e^a\big)^n= \e^{\ldots}$

\item $\e^0 = \ldots$
\end{multicols}

\item $\e^a = \e^b \Longleftrightarrow \ldots$

\item $\e^a > \e^b \Longleftrightarrow \ldots$

\item La dérivée de la fonction $f(x)=\e^(x)$ est $f'(x)=\ldots$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Application du cours
\end{large}

\emph{\'Ecrire sous la forme d'une seule exponentielle les nombres suivants.}

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\dfrac{\e^5\times\e^7}{\e^{-12}}$
\item $\dfrac{\e^{-9}\times\e^{11}}{\e^2}$
\item $\big(\e^5\big)^{-2}\times\e^{11}$
\item $\dfrac{\e^{8x}\times\e^{2x}}{\e^{3x}}-2\e^{7x}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ \'Equations et inéquations
\end{large}

\emph{Résoudre chacune des équations et inéquations suivantes, d'inconnue $x$.}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\e^{x+2}=1$
\item $\dfrac{\e^{2x}\times\e^x}{\e^{7x}}-\e^x=0$
\item $\e^{2x}-4\e^x+3\geqslant0$
\item $\e^{157x^3+895,75x-451,012}<0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ \'Etude d'une fonction exponentielle
\end{large}

On considère la fonction $f$ définie sur \R{} par :
\[
f(x)=\e^{3x}-3\e^x.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)$ est du signe de $\e^{2x}-1$.
\item En déduire les variations de $f$ sur \R.
\item Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=7$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ QCM -- Lectures graphiques
\end{large}

\emph{Voici la courbe représentative $\cal C$  d'une fonction $f$.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=5]
\draw[gray,dashed] (-6,-1) grid[xstep=1,ystep=0.1] (6,0.3);
\draw[thick,->] (-6,0) -- (6,0);
\draw[thick,->] (0,-1) -- (0,0.3);
\clip (-10,-1) rectangle (10,0.3);
\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}{\draw[very thick] (\x,0.02) -- (\x,-0.02) node[below,scale=0.75] {$\x$};}
\foreach \y in {-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0.2}{\draw[very thick] (0.05,\y) -- (-0.05,\y) node[left,scale=0.7] {$\y$};}
\draw[very thick] plot[id=exp,samples=100] function {(exp(0.5*x)-1)/(exp(x)+1)} node[above right] {$\cal C$};
\draw[red] plot[domain=-6:6] (\x,{0.25*\x});
%\node at (-1.4,-0.4) {$\cal C$};
\node[below right] at (0,0) {O};
\fill[red] (-2,-0.5) circle[x radius=2pt,y radius=0.4pt] node[above left] {A};
\node[red,right] at (-3.5,-0.9) {$T$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

$\cal C$ passe par l'origine du repère.

$T$ est la tangente à $\cal C$ en O.

Le point A\coord{-2}{-0,5} est sur T.

\begin{center}
\large\bfseries Partie A
\end{center}

À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur \intervFF{-5}{5}.
\item Quelle est la valeur de $f'(0)$ ? De $f(0)$ ?
\item Quel est le signe de $f'(x)$ sur \intervFF{-5}{-1} ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\large\bfseries Partie B
\end{center}

La fonction $f$ est définie par :
\[
f(x)=\dfrac{\e^{0,5x}-1}{\e^x+1}
\]
Un logiciel de calcul nous donne :
\[
f'(x)=\dfrac{-0,5\e^{1,5x}+0,5\e^{0,5x}+\e^x}{\big(\e^x+1\big)^2}
\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f'(x)$ est du signe de $-\e^x+2\e^{0,5x}+1$.
\item On considère le polynôme $P(X)=-X^2+2X+1$.
\begin{enumerate}
\item Donner le signe de $P(X)$ sur \R.
\item Que vaut $P\left(\e^{0,5x}\right)$ ? En déduire le signe de $f'(x)$ sur \intervFF{-6}{6}, puis les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
