\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\setlength{\parindent}{0pt}
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\arabic*}}
\begin{document}
\begin{Huge}
\color{gray}\bfseries$\blacksquare$ \emph{Les interros d'Hugo} \normalsize \foreach \i in {1,2,...,16}{$\blacksquare$ }
\end{Huge}
\begin{flushright}
\begin{Large}
\color{gray!75}\bfseries\emph{Thème : le logarithme népérien}
\end{Large}
\end{flushright}

% QUESTIONS DE COURS

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Questions de cours
\end{large}

\emph{On désigne par $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs et $n$ un entier relatif.}

\emph{Complète les égalités suivantes :}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\ln(ab) = {\color{red}\ln(a) + \ln(b)}$

\item $\ln\left(\frac ab\right) = {\color{red}\ln(a) - \ln(b)}$

\item $\ln\big(a^n\big)= {\color{red}n\ln a}$

\item $\ln\big(\sqrt a\big) = \color{red}\dfrac{1}{2}\ln a$

\item $\ln 1 = \color{red}0$

\item $\ln\e=\color{red}1$
\end{multicols}

\item $\ln a = \ln b \Longleftrightarrow \color{red} a=b$

\item $\ln a > \ln b \Longleftrightarrow \color{red} a>b$

\item La dérivée de la fonction $f(x)=\ln(x)$ est $\color{red}f'(x)=\dfrac{1}{x}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Application du cours
\end{large}

\emph{\'Ecrire sous la forme la plus simplifiée les nombres suivants.}

\emph{Pour la question \ref{q4ex2}, tu pourras utiliser la formule suivante gros :} $1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n\times(n+1)}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}

\begin{multicols}{2}
\item $\color{red}\begin{aligned}[t]
 & \ln\numprint{1024}-\ln512\\
 = & \ln\dfrac{\numprint{1024}}{512}\\
 = & \underline{\ln2}
\end{aligned}$

\item $\color{red}
\begin{aligned}[t]
 & \ln\numprint{10000}+\ln100\\
= & \ln(\numprint{10000}\times100)\\
= & \ln\big(10^6\big)\\
= & \underline{6\ln10}
\end{aligned}$

\vspace*{3em}~

\item $\color{red}
\begin{aligned}[t]
 & 5\ln\big(\e^2\big)-10\\
= & 5\times2\ln\e-10\\
= & 5\times2\times1-10\\
= & 10-10\\
= & \underline{0}
\end{aligned}$

\item\label{q4ex2} $\color{red}
\begin{aligned}[t]
  & \ln\big(\e\times\e^2\times\e^3\times\cdots\times\e^{30}\big)\\
= & \ln\big(\e^{1+2+3+\cdots+30}\big)\\
= & 1+2+3+\cdots+30\text{  car }\ln\big(\e^X\big)=X\\
= & \dfrac{30\times(30+1)}{2}\text{ d'après la formule de l'énoncé}\\
= & 15\times31\\
= & \underline{465}
\end{aligned}
$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ \og Vrai \fg{} ou \og Faux \fg{} ?
\end{large}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dis si elle est vraie ou fausse en justifiant.}

\begin{enumerate}
\item $\ln(3+5)=\ln 15$

{\color{red}
FAUX. En effet, $\ln(3+5)=\ln8$ et $\ln8\neq\ln15$ car $8\neq15$.
}

\medskip

\item $\ln(2)\times\ln(3)=\ln5$

{\color{red}
FAUX car $\ln2\times\ln3$ ne peux pas se simplifier.
}

\medskip

\item $\ln\left(2^{3^2}\right)=9\ln2$

{\color{red}
VRAI. En effet, $\ln\left(2^{3^2}\right)=\ln\big(2^9\big)=9\ln2$ car $\ln\big(a^n\big)=n\ln a$.
}

\medskip

\item La fonction $\ln$ est strictement croissante sur \R.

{\color{red}
FAUX. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$ car $\ln x$ n'est défini que pour $x>0$. En revanche, elle prend ses valeurs sur $\R$ car $\ln x$ peut prendre des valeurs variant de $-\infty$ à $+\infty$.
}

\medskip

\item La courbe représentative de la fonction $\ln$ passe par le point de coordonnées \coord{1}{0}.

{\color{red}
VRAI car $\ln 1=0$.
}

\medskip

\item La courbe représentative de la fonction $\ln$ passe par le point de coordonnées \coord{\e}{1}.

{\color{red}
VRAI car $\ln\e=1$.
}

\medskip

\item La tangente à la courbe représentative de la fonction $\ln$ qui passe par le point d'abscisse $x=2$ a pour coefficient directeur $\ln 2$.

{\color{red}
FAUX. En effet, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative d'une fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est égal à $f'(a)$. Or, $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $\ln$ au point d'abscisse 2 a pour coefficient directeur $\dfrac{1}{2}$.
}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ \'Etude d'une fonction logarithme
\end{large}

On considère la fonction $f$ définie sur \intervOO{0}{+\infty} par :
\[
f(x)=x\ln x- x.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=\ln x$.

{\color{red}
La fonction $f$ est une fonction \og somme \fg, donc de la forme :
\[
f=g+h\;,
\]
avec :
\[
g(x)=x\ln x\qquad\text{et}\qquad h(x)=-x.
\]
Ainsi, \[ f'=g'+h'. \]

\medskip

$g$ est un produit, donc de la forme :
\[
g=uv
\]
avec :
\[
u(x)=x \qquad \text{et} \qquad v(x)=\ln x\;;
\] 
par conséquent, 
\[
g'=u'v+uv'
\] 
avec 
\[
u'(x)=1\qquad\text{et}\qquad v'(x)=\dfrac{1}{x}.
\]
On a donc :
\begin{align*}
f'(x) & =1\times\ln x + x\times\dfrac{1}{x}-1\\
& = \ln x+1-1\\
\Aboxed{f'(x) & = \ln x}
\end{align*}
}

\newpage

\item En déduire les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.

{\color{red}
Nous connaissons le signe de $\ln x$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$ donc nous connaissons le signe de $f'(x)$, d'où le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=red]
\tikzset{arrow style/.style = {red,->,>=latex}}
\tikzset{double style/.append style = {red}}
\tkzTabInit[color,deltacl=1]{$x$/0.8,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/2}{0,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+}
\tkzTabVar{D+/,-/$-1$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}


\item Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=\e$.

{\color{red}
L'équation de la tangente est donnée par la formule :
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a)
\]
où ici $a=\e$, d'où :
\[
y=\ln\e(x-\e)+e\ln\e-\e
\]
Or,
\[
\ln\e=1
\]
d'où :
\[
\boxed{y=x-2\e}
\]
}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ QCM -- Lectures graphiques
\end{large}

\emph{Voici la courbe représentative $\cal C$  d'une fonction $f$.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=3]
\draw[gray,dashed] (-2,-0.5) grid[step=0.2] (2,1);
\draw[thick,->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[thick,->] (0,-0.5) -- (0,1);
\clip (-2,-0.5) rectangle (2,1);
\foreach \x in {-2,-1,1,2}{\draw[very thick] (\x,0.05) -- (\x,-0.05) node[below] {$\x$};}
\foreach \y in {-0.4,-0.2,0.2,0.4,0.6,0.8}{\draw[very thick] (0.05,\y) -- (-0.05,\y) node[left,scale=0.7] {$\y$};}
\draw[very thick] plot[domain=-1.9:1.9,samples=100] (\x,{ln(2-0.5*\x*\x)});
\node at (-1.4,-0.4) {$\cal C$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\fill (-1,{ln(1.5)}) circle (0.6pt) node[above left] {A};
\draw[gray,very thick] plot[domain=-2:2] (\x,{(2/3)*(\x+1)+ln(1.5)});
\node[gray] at (-0.4,0.9) {$T$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le point A est sur $\cal C$ et son abscisse est $-1$.

$T$ est la tangente à $\cal C$ en A.


\begin{center}
\large\bfseries Partie A
\end{center}

On sait que $f(x)=\ln\big(a-bx^2\big)$.

On admet que $f(1)=\ln\dfrac{3}{2}$ et que $f'(1)=-\dfrac{2}{3}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que :
\[ 
f'(x)=\dfrac{-2bx}{a-bx^2}.
\]
{\color{red}
$f$ est de la forme $\ln u$ avec $u(x)=a-bx^2$. Donc $u'(x)=-2bx$ et $f'=\dfrac{u'}{u}$, donc $f'(x)=\dfrac{-2bx}{a-bx^2}$.
}

\item Montrer que :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a-b=\dfrac{3}{2}\\[10pt]
\dfrac{b}{a-b}=\dfrac{1}{3}
\end{array}
\right.
\]
{\color{red}
D'après l'énoncé, $f(1)=\ln \dfrac{3}{2}$; or, en remplaçant $x$ par 1 dans l'expression de $f(x)$, on trouve:
\[
f(1)=\ln\big(a-b\times1^2\big)=\ln(a-b)
\]
et donc :
\[
\ln (a-b)=\ln\dfrac{3}{2}
\]
c'est-à-dire :
\[
\boxed{a-b=\dfrac{3}{2}}
\]

De plus, l'énoncé nous dit que $f'(1)=-\dfrac{2}{3}$; or, en remplaçant $x$ par 1 dans l'expression de $f'(x)$, on a :
\[
f'(1)=\dfrac{-2\times1}{a-b\times1^2}=\dfrac{-2}{a-b}
\]
donc :
\[
\dfrac{-2}{a-b}=-\dfrac{2}{3}
\]
et en multipliant chaque membre de cette dernière égalité, on a :
\[
\boxed{\dfrac{b}{a-b}=\dfrac{1}{3}}
\]
}

\item En déduire que $b=0,5$, puis que $a=2$.

{\color{red}
Comme $a-b=\dfrac{3}{2}$, on peut écrire :
\[
\dfrac{b}{a-b}=\dfrac{b}{\frac{3}{2}}=\dfrac{2b}{3}
\]
Or, $\dfrac{b}{a-b}=\dfrac{1}{3}$ donc :
\[
\dfrac{2b}{3}=\dfrac{1}{3}\qquad\text{soit}\qquad2b=1\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad b=\dfrac{1}{2}=0,5.
\]
On déduit alors de l'égalité $a-b=\dfrac{3}{2}$ que :
\[
a=\dfrac{3}{2}+b=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}=2.
\]
Finalement, $\boxed{f(x)=\ln\big(2-0,5x^2\big)}$.
}

\newpage

\item Trouver les coordonnées des deux points d'intersection de la courbe $\cal C$ avec l'axe des abscisses.

{\color{red}
Il faut ici résoudre l'équation $f(x)=0$.
\begin{align*}
f(x)=0 & \Longleftrightarrow \ln\big(2-0,5x^2\big)=\ln1\\
& \Longleftrightarrow 2-0,5x^2=1\\
& \Longleftrightarrow 1=0,5x^2\\
& \Longleftrightarrow x^2=2\\
& \Longleftrightarrow x=-\sqrt2\text{ ou }x=\sqrt2
\end{align*}
Ainsi, les deux points d'intersection de $\cal C$ avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées \coord{-\sqrt2}{0} et \coord{\sqrt2}{0}.
}
\end{enumerate}

\begin{center}
\large\bfseries Partie B
\end{center}

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte. Laquelle ?}

\begin{enumerate}
\item L'ordonnée de A est :\vspace*{-1em}
\begin{multicols}{3}
$\square~3\ln2$ 

$\color{red}\boxtimes~\ln3-\ln2$

$\square~\ln6$
\end{multicols}

{\color{red}En effet, $f(-1)=f(1)=\ln(2-0,5\times1^2)=\ln1,5=\ln\dfrac{3}{2}=\ln3-\ln2$.}

\medskip

\item Le coefficient directeur de $T$ est :\vspace*{-1em}
\begin{multicols}{3}
$\color{red}\boxtimes~\dfrac{2}{3}$ 

$\square~\ln2-\ln3$

$\square~3\ln2$
\end{multicols}

{\color{red}En effet, le coefficient directeur de la tangente en A a pour coefficient directeur :
\[
f'(-1)=\dfrac{-(-1)}{2-0,5\times(-1)^2}=\dfrac{1}{1,5}=\dfrac{2}{3}.
\]

}

\item La fonction dérivée $f'$ de $f$ est telle que :\vspace*{-1em}
\begin{multicols}{2}
$\color{red}\boxtimes~f'(x)\geqslant0$ sur \intervFF{-1,8}{0} 

$\square~f'(x)\geqslant0$ sur \intervFF{-1,4}{1,4}
\end{multicols}

{\color{red}
En effet, on voir sur le graphique que la courbe croît sur \intervFF{-1,8}{0}, ce qui signifie que la dérivée est positive sur cet intervalle.
}
\end{enumerate}
\end{document}