\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{tikz}
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=1cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{multicol}
\usepackage{numprint}
\usepackage{enumitem}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\arabic*}}
\begin{document}
\begin{Huge}
\color{gray}\bfseries$\blacksquare$ \emph{Les interros d'Hugo} \normalsize \foreach \i in {1,2,...,16}{$\blacksquare$ }
\end{Huge}
\begin{flushright}
\begin{Large}
\color{gray!75}\bfseries\emph{Thème : le logarithme népérien}
\end{Large}
\end{flushright}

% QUESTIONS DE COURS

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Questions de cours
\end{large}

\emph{On désigne par $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs et $n$ un entier relatif.}

\emph{Complète les égalités suivantes :}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\ln(ab) = \ln(\ldots) \ldots \ln(\ldots)$

\item $\ln\left(\frac ab\right) = \ln(\ldots) \ldots \ln(\ldots)$

\item $\ln\big(a^n\big)= \ldots\ldots$

\item $\ln\big(\sqrt a\big) = \ldots$

\item $\ln 1 = \ldots$

\item $\ln\e=\ldots$
\end{multicols}

\item $\ln a = \ln b \Longleftrightarrow \ldots$

\item $\ln a > \ln b \Longleftrightarrow \ldots$

\item La dérivée de la fonction $f(x)=\ln(x)$ est $f'(x)=\ldots$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Application du cours
\end{large}

\emph{\'Ecrire sous la forme la plus simplifiée les nombres suivants.}

\emph{Pour la question \ref{q4ex2}, tu pourras utiliser la formule suivante gros :} $1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n\times(n+1)}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\ln\numprint{1024}-\ln512$
\item $\ln\numprint{10000}+\ln100$
\item $5\ln\big(\e^2\big)-10$
\item\label{q4ex2} $\ln\big(\e\times\e^2\times\e^3\times\cdots\times\e^{30}\big)$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ \og Vrai \fg{} ou \og Faux \fg{} ?
\end{large}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dis si elle est vraie ou fausse en justifiant.}

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\ln(3+5)=\ln 15$
\item $\ln(2)\times\ln(3)=\ln5$
\item $\ln\left(2^{3^2}\right)=9\ln2$
\end{multicols}
\vspace*{-1.2em}
\item La fonction $\ln$ est strictement croissante sur \R.
\item La courbe représentative de la fonction $\ln$ passe par le point de coordonnées \coord{1}{0}.
\item La courbe représentative de la fonction $\ln$ passe par le point de coordonnées \coord{\e}{1}.
\item La tangente à la courbe représentative de la fonction $\ln$ qui passe par le point d'abscisse $x=2$ a pour coefficient directeur $\ln 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ \'Etude d'une fonction logarithme
\end{large}

On considère la fonction $f$ définie sur \intervOO{0}{+\infty} par :
\[
f(x)=x\ln x- x.
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=\ln x$.
\item En déduire les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=\e$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ QCM -- Lectures graphiques
\end{large}

\emph{Voici la courbe représentative $\cal C$  d'une fonction $f$.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=3]
\draw[gray,dashed] (-2,-0.5) grid[step=0.2] (2,1);
\draw[thick,->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[thick,->] (0,-0.5) -- (0,1);
\clip (-2,-0.5) rectangle (2,1);
\foreach \x in {-2,-1,1,2}{\draw[very thick] (\x,0.05) -- (\x,-0.05) node[below] {$\x$};}
\foreach \y in {-0.4,-0.2,0.2,0.4,0.6,0.8}{\draw[very thick] (0.05,\y) -- (-0.05,\y) node[left,scale=0.7] {$\y$};}
\draw[very thick] plot[domain=-1.9:1.9,samples=100] (\x,{ln(2-0.5*\x*\x)});
\node at (-1.4,-0.4) {$\cal C$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\fill (-1,{ln(1.5)}) circle (0.6pt) node[above left] {A};
\draw[gray,very thick] plot[domain=-2:2] (\x,{(2/3)*(\x+1)+ln(1.5)});
\node[gray] at (-0.4,0.9) {$T$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le point A est sur $\cal C$ et son abscisse est $-1$.

$T$ est la tangente à $\cal C$ en A.


\begin{center}
\large\bfseries Partie A
\end{center}

On sait que $f(x)=\ln\big(a-bx^2\big)$.

On admet que $f(1)=\ln\dfrac{3}{2}$ et que $f'(1)=-\dfrac{2}{3}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que :
\[ 
f'(x)=\dfrac{-2bx}{a-bx^2}.
\]

\item Montrer que :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a-b=\dfrac{3}{2}\\[10pt]
\dfrac{b}{a-b}=\dfrac{1}{3}
\end{array}
\right.
\]

\item En déduire que $b=0,5$, puis que $a=2$.

\item Trouver les coordonnées des deux points d'intersection de la courbe $\cal C$ avec l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\begin{center}
\large\bfseries Partie B
\end{center}

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte. Laquelle ?}

\begin{enumerate}
\item L'ordonnée de A est :\vspace*{-1em}
\begin{multicols}{3}
$\square~3\ln2$ 

$\square~\ln3-\ln2$

$\square~\ln6$
\end{multicols}

\item Le coefficient directeur de $T$ est :\vspace*{-1em}
\begin{multicols}{3}
$\square~\dfrac{2}{3}$ 

$\square~\ln2-\ln3$

$\square~3\ln2$
\end{multicols}

\item La fonction dérivée $f'$ de $f$ est telle que :\vspace*{-1em}
\begin{multicols}{2}
$\square~f'(x)\geqslant0$ sur \intervFF{-1,8}{0} 

$\square~f'(x)\geqslant0$ sur \intervFF{-1,4}{1,4}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{document}