\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=1cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{multicol}
\usepackage{numprint,eurosym}
\usepackage{enumitem}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\arabic*}}
\begin{document}
\begin{Huge}
\color{gray}\bfseries$\blacksquare$ \emph{Les interros d'Hugo} \normalsize \foreach \i in {1,2,...,16}{$\blacksquare$ }
\end{Huge}
\begin{flushright}
\begin{Large}
\color{gray!75}\bfseries\emph{Thème : primitives \& intégration}
\end{Large}
\end{flushright}

% QUESTIONS DE COURS

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Questions de cours
\end{large}

\emph{Complète les propositions suivantes :}

\begin{enumerate}
\item Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est la fonction $F$ définie par $F(x)={\color{red}\ln x}$

\item Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=\e^x$ est la fonction $F$ définie par $F(x)={\color{red}\e^x}$

\item Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^n$ ($n\in\N$) est la fonction $F$ définie par $F(x)={\color{red}\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}$

\item Une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ est la fonction $F$ définie par $F(x)={\color{red}\dfrac{1}{x}}$

\item Si $f$ est une fonction de primitive $F$ sur un intervalle \intervFF{a}{b} de $\R$ alors $\dint_a^bf(x)\dx={\color{red}F(b)-F(a)}$

\item La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle \intervFF{a}{b} de $\R$ est $\mu={\color{red}\dfrac{1}{b-a}\dint_a^bf(x)\dx}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Lecture graphique
\end{large}

\medskip

\begin{minipage}{11.5cm}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=2]
\draw[gray!70,dotted] (0,0) grid[step=0.5] (5,2);
\draw[gray,dashed] (0,0) grid (5,2);
\draw[thick,->] (0,0) -- (5,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,2);
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5}
{
	\node[below,outer ysep=5pt] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {0,1,2}
{
	\node[left,outer xsep=5pt] at (0,\y) {\y};
}
\draw[thick] plot[domain=1:5,samples=100] (\x,{ln(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-11.5cm}
On a représenté ci-contre la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur \intervFF{1}{5}.
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une méthode pour avoir une valeur approchée de $\dint_1^5\ln x\dx$.

\medskip

{\color{red}
Sur \intervFF{1}{5}, $\ln x\geqslant0$ donc $\dint_1^5 \ln x \dx$ correspond à l'aire entre l'axe des abscisses et la courbe sur cet intervalle :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=2,draw=black,every node/.style={text=black}]
\fill[blue!20] (1,0) plot[domain=1:5,samples=100] (\x,{ln(\x)}) -- (5,0) -- (1,0);
\draw[gray!70,dotted] (0,0) grid[step=0.5] (5,2);
\draw[gray,dashed] (0,0) grid (5,2);
\draw[thick,->] (0,0) -- (5,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,2);
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5}
{
	\node[below,outer ysep=5pt] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {0,1,2}
{
	\node[left,outer xsep=5pt] at (0,\y) {\y};
}
\draw[thick] plot[domain=1:5,samples=100] (\x,{ln(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

Ainsi, pour avoir une valeur approchée de $\dint_1^5 \ln x\dx$ sur \intervFF{1}{5}, on peut compter les carrés de côtés 0,5 (attention aux unités) sous la courbe (quitte à prendre aussi ceux qui \og débordent \fg{} un peu de la courbe) :
}

\item Donner alors une valeur approchée à 0,5 unité d'aire près.

{\color{red}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=2,draw=black,every node/.style={text=black}]
\draw[gray!70,dotted] (0,0) grid[step=0.5] (5,2);
\draw[gray,dashed] (0,0) grid (5,2);
\draw[thick,->] (0,0) -- (5,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,2);
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5}
{
	\node[below,outer ysep=5pt] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {0,1,2}
{
	\node[left,outer xsep=5pt] at (0,\y) {\y};
}
\draw[thick] plot[domain=1:5,samples=100] (\x,{ln(\x)});
\fill[blue!20,opacity=0.5] (1.5,0) rectangle (5,0.5);
\fill[blue!20,opacity=0.5] (2.5,0.5) rectangle (5,1);
\fill[blue!20,opacity=0.5] (4,1) rectangle (5,1.5);
\draw[red,thick] (0,0) rectangle (1,1) node[midway,fill=white,text=red] {1 u.a.};
\end{tikzpicture}
\end{center}

puis on considère les moitiés de carrés qui restent sous la courbe :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=2,draw=black,every node/.style={text=black}]
\draw[gray!70,dotted] (0,0) grid[step=0.5] (5,2);
\draw[gray,dashed] (0,0) grid (5,2);
\draw[thick,->] (0,0) -- (5,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,2);
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5}
{
	\node[below,outer ysep=5pt] at (\x,0) {\x};
}
\foreach\y in {0,1,2}
{
	\node[left,outer xsep=5pt] at (0,\y) {\y};
}
\draw[thick] plot[domain=1:5,samples=100] (\x,{ln(\x)});
\fill[blue!20,opacity=0.5] (1.5,0) rectangle (5,0.5);
\fill[blue!20,opacity=0.5] (2.5,0.5) rectangle (5,1);
\fill[blue!20,opacity=0.5] (4,1) rectangle (5,1.5);
\fill[red!50,opacity=0.5] (1,0) -- (1.5,0) -- (1.5,0.5) -- cycle;
\fill[red!50,opacity=0.5] (2,0.5) -- (2.5,0.5) -- (2.5,1) -- cycle;
\fill[red!50,opacity=0.5] (3.5,1) -- (4,1) -- (4,1.5) -- cycle;
\fill[red!50,opacity=0.5] (3,1) -- (3.5,1) -- (3.5,1.5) -- cycle;
\draw[red,thick] (0,0) rectangle (1,1) node[midway,fill=white,text=red] {1 u.a.};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Il y a en tout :
\begin{itemize}
\item 14 petits carrés bleus
\item 4 moitiés de petits carrés, donc 2 carrés bleus
\end{itemize}

donc 16 carrés bleus. Or, un carré bleu représente un quart d'unité d'aire (un quart d'un carré de côté 1).

L'aire sous la courbe est donc à peu près égale à $\dfrac{16}{4}=4$ unités d'aire.
}


\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Une primitive de la fonction $\ln$
\end{large}

\medskip

On pose $f(x)=\ln x$ et $F(x)=x\ln x- x$ pour tout $x>0$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R*_+$.

\medskip

{\color{red}
$F$ est une primitive de $f$ si $F'(x)=f(x)$.

$x\ln x$ est un produit, donc de la forme $u \times v$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln x$. Donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$.

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
F'(x) & = (x\ln x)' - (x)'\\
& = 1\times\ln x + x\times\dfrac{1}{x}-1\\
& = \ln x+1-1\\
& = \ln x\\
& = f(x).
\end{aligned}$

$F$ est donc une primitive de $f$.
}

\newpage

\item Donner alors une valeur approchée à 0,01 près de $\dint_1^5 f(x)\dx$.

\medskip

{\color{red}
$\begin{aligned}[t]
\dint_1^5f(x)\dx & = F(5)-F(1)\\
& = (5\ln5-5)-(1\ln1-1)\\
& = 5\ln5-5+1\\
& = 5\ln5-4\\
& \approx 4,05.
\end{aligned}$

On n'est pas loin du tout de ce que l'on a obtenu dans l'exercice précédent!
}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Bénéfice moyen d'une entreprise
\end{large}

\medskip

Une entreprise fabrique $x$ milliers d'objets où $x$ est compris entre 0 et 5.

Le bénéfice de cette entreprise est donné, en euros, pour $x\in\intervFF{0}{5}$, par la fonction :
\[
B(x)=x\e^x-\e^x-8.
\]

\begin{enumerate}
\item \'Etudier la fonction $B$ sur \intervFF{0}{5}.

\medskip

{\color{red}
$\begin{aligned}[t]
B'(x) & = 1\times\e^x+x\times\e^x-\e^x\\
& = x\e^x>0\text{ sur }\intervFF{0}{5}
\end{aligned}$

\underline{Donc $B$ est strictement croissante sur \intervFF{0}{5}.}
}

\medskip

\item Montrer que la fonction $P$ définie par $P(x)=x\e^x-2\e^x-8x$ est une primitive de $B$.

\medskip

{\color{red}
$\begin{aligned}[t]
P'(x) & = 1\times\e^x+x\times\e^x-2\e^x-8\\
& = \e^x+x\e^x-2\e^x-8\\
& = x\e^x-\e^x-8\\
& = B(x).
\end{aligned}$

\underline{Donc $P$ est bien une primitive de $B$.}
}

\medskip

\item En déduire le bénéfice moyen de l'entreprise sur \intervFF{0}{5}.

\medskip

{\color{red}
Le bénéfice moyen de l'entreprise sur \intervFF{0}{5} est la valeur moyenne de la fonction $B$ sur \intervFF{0}{5}.
\begin{align*}
\mu  & = \dint_0^5 B(x)\dx\\
& = P(5)-P(0)\\
& = (5\e^5-2\e^5-8\times5) - (0\e^0-2\e^0-8\times0)\\
& = 3\e^5-40+2\\
& = 3\e^5-38\\
& \approx 407,24
\end{align*}

\underline{Le bénéfice moyen est donc d'à peu près 407 \euro{} pour \numprint{5000} objets fabriqués.}
}

\medskip

\item On appelle $\mu(x)$ la fonction qui donne le bénéfice moyen de l'entreprise pour $x$ milliers d'objets fabriqués, $x>0$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $\mu(x)$ en fonction de $P(x)$.

\medskip

{\color{red}
Par définition, $\mu(x)=\dint_0^x B(t)\dx[t]=P(x)-P(0)=P(x)+2$.
}

\medskip

\item Le bénéfice moyen admet-il un maximum ? Un minimum ? Si oui, pour quelle valeur de $x$ ? Quel est alors le bénéfice moyen ?

\medskip

{\color{red}
Pour savoir si $\mu$ admet un maximum ou un minimum, il faut étudier son sens de variation, donc calculer $\mu'(x)$.

Or, $\mu(x)=P(x)+2$ donc $\mu'(x)=P'(x)=B(x)$. Il faut donc trouver le signe de $B(x)$.

Nous savons que $B$ est strictement croissante (d'après la question 1). 

De plus, $B(0)=-9<0$ et $B(5)\approx586>0$. $B$ étant continue sur \intervFF{0}{5}, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une valeur $\alpha$ dans \intervFF{0}{5} telle que $B(\alpha)=0$.

On a alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=red]
\tikzset{arrow style/.style = {red,->,>=latex}}
\tkzTabInit[color,deltacl=1,lgt=3]{$x$/0.5,$B(x)=\mu'(x)$/0.8,$\mu(x)$/2}{$0$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

À l'aide de la calculatrice, on trouve que $\alpha\approx2,04$ et $\mu(\alpha)\approx-14$.
}

\medskip

\item Pour quelles valeurs de $x$ le bénéfice moyen est-il positif ?

\medskip

{\color{red}
La fonction $\mu$ est continue est strictement croissante sur \intervFO{\alpha}{+\infty}. De plus, $\mu(\alpha)<0$ et $\mu(5)\approx407$ (d'après la question 3). Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une valeur de $x$ sur \intervFF{\alpha}{5} pour laquelle $\mu(x)=0$.

À la calculatrice, on trouve $x\approx3,0564$.

\underline{Donc pour au moins \numprint{3057} objets fabriqués, la valeur moyenne du bénéfice est positive.}
}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}