\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\arabic*}}
\begin{document}
\begin{Huge}
\color{gray}\bfseries$\blacksquare$ \textit{Les interros d'Hugo} \normalsize \foreach \i in {1,2,...,16}{$\blacksquare$ }
\end{Huge}
\begin{flushright}
\begin{Large}
\color{gray!75}\bfseries\textit{Thème : les probabilités}
\end{Large}
\end{flushright}

% QUESTIONS DE COURS

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Questions de cours
\end{large}

\textit{Complète les propositions suivantes :}

\begin{enumerate}
\item Soient A un événement de probabilité $\proba{A}$ et $\evcont{A}$ son événement contraire. 

Alors, $\proba{\evcont{A}}={\color{red}1-\proba{A}}$.

\item Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}\coord{n}{p}$.

Alors, pour un certain entier $k$ compris entre 0 et $n$, $\probavar{X}{k}={\color{red}\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}}$

\item Soient A et B deux événements d'un même univers. 

La probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé est : $\probacond{B}{A}={\color{red}\dfrac{\proba{A \cap B}}{\proba{A}}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Application du cours
\end{large}

\medskip

On dispose d'un lot de 320 livres, dont 75 sont des romans de science-fiction. On choisit au hasard un livre et on note :
\begin{itemize}
\item A l'événement : \og le livre choisi a plus de 300 pages \fg;
\item S l'événement : \og le livre choisi est un roman de science-fiction \fg.
\end{itemize}

On sait que $\proba{A}=0,321$ et qu'il y a 30 romans de science-fiction ayant plus de 300 pages.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le livre choisi ait au plus 300 pages.

{\color{red}
\og Le livre a au plus 300 pages \fg{} signifie que le livre a moins de 300 pages, ou 300 pages. 

C'est donc l'événement contraire de l'événement A. Ainsi,
\[
\proba{\evcont{A}}=1-\proba{A}=1-0,321=0,679.
\]
\underline{Le probabilité que le livre choisi ait au plus 300 pages est donc égale à 0,679.}
}

\medskip

\item Calculer la probabilité que le livre choisi soit un roman de science-fiction sachant qu'il a plus de 300 pages.

{\color{red}
On cherche à calculer $\probacond{S}{A}$ :
\[
\probacond{S}{A}=\dfrac{\proba{S \cap A}}{\proba{A}}=\dfrac{\frac{30}{320}}{0,321}\approx0,292.
\]
\uline{La probabilité que le livre choisi soit un roman de science-fiction sachant qu'il a plus de 300 pages est égale à 0,292.}
}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Formalisation
\end{large}

Pour rencontrer des filles, Thomas Le Goujat utilise depuis 12 mois une application sur son smartphone. Il a remarqué que sur les 85 filles rencontrées,
\begin{itemize}
\item 3 étaient rousses, dont 2 avaient les yeux clairs ;
\item 23 étaient blondes, dont 18 avaient les yeux clairs ;
\item les autres avaient les cheveux noirs, dont 18 avaient les yeux clairs.
\end{itemize}
Thomas souhaite reprendre contact avec l'une de ces filles en la choisissant au hasard. On note :
\begin{itemize}
\item R l'événement : \og la fille choisie est rousse \fg{} ;
\item B l'événement : \og la fille choisir est blonde \fg{} ;
\item N l'événement : \og la fille choisir a les cheveux noirs \fg{} ;
\item C l'événement : \og la fille choisie a les yeux clairs \fg. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilités suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (R) at (2,2) {R};
\node (B) at (2,0) {B};
\node (N) at (2,-2) {N};
\draw (0,0) -- (R.west) node[midway,text=red,fill=white,scale=0.75] {3/85};
\draw (0,0) -- (B.west) node[midway,text=red,fill=white,scale=0.75] {23/85};
\draw (0,0) -- (N.west) node[midway,text=red,fill=white,scale=0.75] {59/85};
%
\node (RC) at (4,2.5) {C};
\node (RCB) at (4,1.5) {\evcont{C}};
\draw (R.east) -- (RC.west) node[midway,text=red,fill=white,scale=0.75] {2/3};
\draw (R.east) -- (RCB.west) node[midway,text=red,fill=white,scale=0.75] {1/3};
%
\node (BC) at (4,.5) {C};
\node (BCB) at (4,-.5) {\evcont{C}};
\draw (B.east) -- (BC.west) node[midway,text=red,fill=white,scale=0.75] {18/23};
\draw (B.east) -- (BCB.west) node[midway,text=red,fill=white,scale=0.75] {5/23};
%
\node (NC) at (4,-1.5) {C};
\node (NCB) at (4,-2.5) {\evcont{C}};
\draw (N.east) -- (NC.west) node[midway,text=red,fill=white,scale=0.75] {18/59};
\draw (N.east) -- (NCB.west) node[midway,text=red,fill=white,scale=0.75] {41/59};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Montrer que $\proba{R \cap C}\approx0,024$.

{\color{red}
\begin{align*}
\proba{R \cap C} & = \proba{R}\times\probacond{C}{R}\\
& = \dfrac{3}{85}\times\dfrac{2}{3}\\
& = \dfrac{2}{85}\\
\Aboxed{\proba{R \cap C} & \approx 0,024}
\end{align*}
}

\medskip

\item Montrer que $\proba{C}\approx0,447$.

{\color{red}
D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
\proba{C} & = \proba{C\cap R} + \proba{C\cap B} + \proba{C\cap N}\\
& = \dfrac{2}{85}+\dfrac{23}{85}\times\dfrac{18}{23}+\dfrac{59}{85}\times\dfrac{18}{59}\\
& = \dfrac{2}{85}+\dfrac{18}{85}+\dfrac{18}{85}\\
& = \dfrac{38}{85}\\
\Aboxed{\proba{C} & \approx0,447}
\end{align*}
}

\item La fille choisie a les yeux clairs. Calculer la probabilité que ce soit une fille aux cheveux noirs. 

{\color{red}
On souhaite calculer $\probacond{N}{C}$ :
\begin{align*}
\probacond{N}{C} & = \dfrac{\proba{N \cap C}}{\proba{C}}\\
& = \dfrac{\frac{18}{85}}{\frac{38}{85}}\\
& = \dfrac{18}{85}\times\dfrac{85}{38}\\
& = \dfrac{18}{38}\\
\Aboxed{\probacond{N}{C} & \approx 0,474}
\end{align*}
}

\item Thomas décide de choisir 10 filles. On assimile ces choix à un tirage sans remise. 

{\color{red}
Notons X la variable aléatoire représentant le nombre de filles aux yeux clairs choisies par Thomas.

X suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ (car on répète indépendamment le choix 10 fois) et $p=0,447$ (la probabilité que la fille choisie ait les yeux clairs).
}

À l'aide de la calculatrice, calculer la probabilité qu'il choisisse :
\begin{enumerate}
\item exactement 8 filles aux yeux clairs.

{\color{red}
On doit calculer $\probavar{X}{8}=\dbinom{10}{8}\times0,447^8\times(1-0,447)^{10-8}$.

\uline{On trouve 0,022 à la calculatrice.}
}
\item au plus 5 filles aux yeux clairs.

{\color{red}
On cherche $\probavar[\leqslant]{X}{5}$.

\uline{On trouve à la calculatrice 0,745.}
}
\item au moins 3 filles aux yeux clairs.

{\color{red}
On cherche $\probavar[\geqslant]{X}{3}=1-\probavar[\leqslant]{X}{2}$.

\uline{On trouve à la calculatrice 0,897.}
}

\item Combien, en moyenne, pourra-t-il espérer choisir de filles aux yeux clairs ?

{\color{red}
L'espérance mathématique de X est : $\esp{X}=np=10\times0,447=4,47$.

\uline{Ainsi, Thomas peut espérer choisir entre 4 et 5 filles aux yeux clairs.}
}
\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\end{document}