\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\setlength{\parindent}{0pt}
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\arabic*}}
\begin{document}
\begin{Huge}
\color{gray}\bfseries$\blacksquare$ \emph{Les interros d'Hugo} \normalsize \foreach \i in {1,2,...,16}{$\blacksquare$ }
\end{Huge}
\begin{flushright}
\begin{Large}
\color{gray!75}\bfseries\emph{Thème : les suites}
\end{Large}
\end{flushright}

% QUESTIONS DE COURS

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Questions de cours
\end{large}

\emph{Complète les propositions suivantes :}

\begin{enumerate}
\item Si \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite arithmétique de raison $r$ alors $u_{n+1}=\color{red}u_n+r$. 

\item Si \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q$ alors $u_{n+1}=\color{red}q\times u_n$.

\item Le terme général de la suite géométrique \suite{u}{n}{} de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=\color{red}u_0\times q^n$.

\item Si $q\neq1$, la somme $1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n$ est égale à $\color{red}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ou $\color{red}\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$.

\item Si \suite{u}{n}{}est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ alors :
\[
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=\color{red}u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
\]

\item La limite de la suite géométrique \suite{u}{n}{} de raison $q>0$ est égale à 0 si $\color{red}0<q<1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Application du cours
\end{large}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La suite \suite{u}{n}{} telle que $u_2=7$, $u_3=14$ et $u_4=28$ peut-elle être arithmétique ? Justifier.

{\color{red}
$u_3-u_2=14-7=7$ et $u_4-u_3=28-14=14$ donc la suite ne peut pas être arithmétique car il faudrait pour cela que $u_{n+1}-u_n$ soit constant, quelle que soit la valeur de $n$.
}

\medskip

\item La suite \suite{u}{n}{} telle que $u_2=7$, $u_3=14$ et $u_4=28$ peut-elle être géométrique ? Justifier.

{\color{red}
$\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{14}{7}=2$ et $\dfrac{u_4}{u_3}=\dfrac{28}{14}=2$ donc la suite peut être géométrique. Mais attention : elle ne l'est pas nécessairement car nous n'avons aucune information sur les autres termes.
}

\medskip

\item La suite \suite{v}{n}{} est géométrique. On sait que sa raison est $q=0,7$ et que son premier terme est $u_1=5$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire le terme général de cette suite en fonction de $n$.

{\color{red}
$v_n=u_1\times q^{n-1}$ donc \underline{$u_n=5\times0,7^{n-1}$}.
}

\medskip

\item Quelle est la limite de \suite{v}{n}{} ?

{\color{red}
La raison est comprise entre 0 et 1 donc $\limite{n}{+\infty}{u_n}=0$.
}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Formalisation
\end{large}

Une ville \og test \fg{} est composée de \numprint{100000} habitants. Chaque mois, \pourcent{5} des habitants la quittent.

On considère la suite \suite{u}{n}{} où $u_n$, exprimé en milliers, représente le nombre d'habitants dans cette ville au $n$-ième mois. On a donc $u_0=100$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ puis $u_2$.

{
\color{red}
Si \pourcent{5} des habitants quittent la ville, il en reste \pourcent{95}.

Ainsi, $u_1=0,95\times u_0=0,95\times100$. \underline{Donc $u_1=95$}.

De même, \underline{$u_2=0,95\times95=90,25$}.
}

\medskip

\item Montrer que \suite{u}{n}{} est géométrique; préciser alors sa raison.

{\color{red}
Une réduction de \pourcent{5} revient à multiplier par 0,95 donc $u_{n+1}=0,95u_0$.

\underline{Ainsi, \suite{u}{n}{} est géométrique de raison $q=0,95$.}
}

\newpage

\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

{\color{red}
D'après la formule du cours, $u_n=u_0\times q^n$ donc \underline{$u_n=100\times0,95^n$}.
}

\medskip


\item\label{q4} À partir de quel mois le nombre d'habitants sera inférieur ou égal à \numprint{50000} ?

{
\color{red}
On cherche $n$ tel que $u_n\leqslant50$.

{\bfseries 1\iere{} méthode : avec le logarithme népérien.}
\begin{align*}
u_n \leqslant 50 & \Longleftrightarrow 100\times0,95^n \leqslant 50\\& \Longleftrightarrow 0,95^n \leqslant \dfrac{50}{100}=0,5\\[6pt]
& \Longleftrightarrow \ln\big(0,95^n\big) \leqslant \ln (0,5)\\
& \Longleftrightarrow n\times\ln(0,95)\leqslant\ln(0,5)\\
& \Longleftrightarrow n \geqslant \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,95)}\quad\text{car }\ln(0,95)<0\\
& \Longleftrightarrow n \geqslant 13,51
\end{align*}
$n$ étant un entier, nous en déduisons que c'est à partir du 14\ieme{} mois que le nombre d'habitants de cette ville sera inférieur à \numprint{50000}.

\medskip

{\bfseries 2\ieme{} méthode : avec la calculatrice.}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\begin{center}
CASIO
\end{center}

$\bullet$ [MENU] $\to$ RECUR [8] (mode \og suites \fg)

$\bullet$ $a_{n+1}=0.95a_n$ 

(pour écrire \og $a_n$ \fg{} appuyer sur [F2]

$\bullet$ Appuyer sur [EXE]

$\bullet$ Appuyer sur [F5] (SET)

$\bullet$ Entrer les valeurs suivantes :

Start : 0

End : 50 {\small(une valeur assez grande mais pas trop)}

$a_0$ : 100

$\bullet$ Appuyer sur la touche [EXIT]

$\bullet$ Appuyer sur [F6] (Table)

$\bullet$ Descendre jusqu'à ce que $a_{n+1}$ soit plus petit que 50 ; on voit que :

pour $n+1=13$, $a_{n+1}=51.334$ et 

pour $n+1=14$, $a_{n+1}=48.767$ donc c'est pour un indice égal à 14 que le terme de la suite est plus petit que 50.
\end{minipage}}
\hfill
\fbox{
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\begin{center}
TI
\end{center}

$\bullet$ Appuyer sur [MODE]

$\bullet$ Ligne 4 : sélectionner \og Seq \fg{} 

$\bullet$ Appuyer sur [Y=] puis entrer :

$nMin=0$ [ENTER]

$u(n)=0.95*u(n-1)$ [ENTER]

{\small(pour écrire $u$, faites [2nd][7] et pour écrire $n$, appuyer sur la touche [X,T,$\theta$,$n$])}

$u(nMin)=100$ [ENTER]

$\bullet$ [2nd] [WINDOW] (TBLSET)

TblStart : 0

$\Delta$Tbl=1

$\bullet$ [2nd] [GRAPH] (TABLE)

$\bullet$ Descendre jusqu'à ce que $u(n)$ soit plus petit que 50 ; on voit que :

pour $n=13$, $u(n)=51.334$ et 

pour $n=14$, $u(n)=48.767$ donc c'est pour un indice égal à 14 que le terme de la suite est plus petit que 50.
\end{minipage}
}
}
\medskip

\item Compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le résultat trouvé à la question \ref{q4} : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries}l@{~~~}l|}
\hline
Initialisation :& $n$ prend la valeur 0\\
               & $u$ prend la valeur \numprint{100000}\\
Traitement :    & Tant que $u>\color{red}50$\\
               & \quad $u$ prend la valeur $\color{red}0.95\times u$\\
               & \quad $n$ prend la valeur $n+1$\\
               & Fin du Tant que\\
Sortie :        & Afficher $n$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
{\color{red}Après un \og Tant que \fg, on met toujours la condition contraire de ce que l'on veut : ici, on veut que $u_n\leqslant50$ donc on met : \og Tant que $u>50$ \fg{} 

Dans la boucle, on met toujours la formule de récurrence; comme $u_{n+1}=0,95\times u_n$, on met \og $u$ prend la valeur $0.95\times u$ \fg.}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Formalisation (bis)
\end{large}

En janvier 2016, une personne se décide à  acheter un scooter coûtant \numprint{5700}~euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à  la consommation d'un montant de \numprint{5700}~euros, au taux mensuel de \pourcent{1,5}. Par ailleurs, la mensualité fixée à  $300$~euros est versée par l'emprunteur
à  l'organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de \pourcent{1,5} puis baisse de $300$ euros.

Le premier versement a lieu le 25 février 2016.

On note $u_n$ le capital restant dû en euros juste après la $n$-ième mensualité ($n$ entier naturel non nul). On convient que $u_0 = \numprint{5700}$.

Les résultats seront donnés sous forme approchée à  $0,01$ près si nécessaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $u_1$, capital restant dû au 26 février 2016 juste après la première mensualité, est de \numprint{5485,50}~euros.

{\color{red}
$u_1=u_0\times1,015-300$ (car $u_0$ augmente de \pourcent{1,5} puis baisse de 300 \euro).

\underline{Ainsi, $u_1=\numprint{5700}\times1,015-300=\numprint{5485,5}$.}
}

\medskip

\item Calculer $u_2$.

{\color{red}
De la même façon on a :
\begin{align*}
u_2 & = u_1\times1,015-300\\
& = \numprint{5485,5}\times1,015-300\\
\Aboxed{u_2& = \numprint{5267,78}}
\end{align*}
}
\end{enumerate}
\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par : 
\[u_{n+1} = 1,015 u_n - 300\]
On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries}l@{~~}l|}\hline	
\textbf{Variables :}	&$n$ est un entier naturel\\
						&$u$ est un nombre réel\\
\textbf{Traitement :}	&Affecter à  $u$ la valeur \numprint{5700}\\
						&Affecter à  $n$ la valeur 0\\
						&Tant que $u > \numprint{4500}$ faire\\
						&\begin{tabular}{m{0.4cm}|l}
							&$u$ prend la valeur $1,015 \times u - 300$\\
							&$n$ prend la valeur $n + 1$\\
							\end{tabular}\\
						&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne.
\begin{center}
\color{red}
\begin{tabular}{|>{\bfseries\arraybackslash}c|*7{c|}}
\hline
Valeur de u & 5700 & 5485,5 & 5267,78 & 5046,80 & 4822,50 & 4594,84 & 4363,76\\
\hline
Valeur de n & 0 & 1 & 2  & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
u $>$ 4500 & vrai & vrai& vrai & vrai& vrai & vrai &faux\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}		

\item Quelle valeur est affichée à  la fin de l'exécution de cet algorithme ?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

{\color{red}
L'algorithme affiche la première valeur de $n$ pour laquelle $u<4500$ donc $n=6$.

Cela signifie qu'à partir de la 6\ieme{} mensualité, le montant à rembourser sera inférieur à \numprint{4500}~\euro.
}
\end{enumerate}

\newpage

\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \numprint{20000}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n+1} = 1,015 \times  v_n$.
{\color{red}
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{n+1}-\numprint{20000}\\
			  & = 1,015u_n-300-\numprint{20000}\\
			  & = 1,015u_n-\numprint{20300}\\
			  & = 1,015\left(u_n-\dfrac{\numprint{20300}}{1,015}\right)\qquad\text{(on a ici factorisé par 1,015)}\\
			  & = 1,015\big(u_n-\numprint{20000}\big)\\
\Aboxed{v_{n+1} & = 1,015\times v_n}
\end{align*}
}
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : 
		
$u_n = \numprint{20000} - \numprint{14300} \times 1,015^n$.

{\color{red}
D'après la question précédente, on déduit que la suite \suite{v}{n}{} est géométrique de raison $q=1,015$ et de premier terme $v_0=u_0-\numprint{20000}=\numprint{5700}-\numprint{20000}=-\numprint{14300}$. Ainsi,
\[
\forall n\in\N,\qquad v_n=v_0\times q^n=-\numprint{14300}\times1,015^n\;,
\]
et donc, à partir de l'égalité : $v_n=u_n-\numprint{20000}$, on en déduit :
\[
u_n=v_n+\numprint{20000} 
\]
soit :
\[
\boxed{u_n=\numprint{20000}-\numprint{14300}\times1,015^n}
\]
}
\end{enumerate}
\item À l'aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'une valeur approchée du capital restant dû par l'emprunteur au 26 avril 2017 est \numprint{2121,68}~euros.

{\color{red}
Au 26 avril 2017, $n=15$ et $u_{15}=\numprint{20000}-\numprint{14300}\times1,015^{15}\approx\numprint{2121,68}$.
}

\medskip


\item Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt.

{\color{red}
\begin{minipage}{0.52\linewidth}
On cherche $n$ pour que $u_n\leqslant0$ à l'aide du logarithme :
\begin{align*}
										& u_n \leqslant 0\\
\Longleftrightarrow & \numprint{20000}-\numprint{14300}\times1,015^n \leqslant 0\\
\Longleftrightarrow & -\numprint{14300}\times1,015^n\leqslant -\numprint{20000}\\
\Longleftrightarrow & \numprint{14300}\times1,015^n\geqslant \numprint{20000}\\
\Longleftrightarrow & 1,015^n \geqslant \dfrac{\numprint{20000}}{\numprint{14300}}\\
\Longleftrightarrow & 1,015^n \geqslant1,4\\
\Longleftrightarrow & \ln\big(1,015^n\big) \geqslant \ln(1,4)\\
\Longleftrightarrow & n\ln(1,015)\geqslant\ln(1,4)\\
\Longleftrightarrow & n \geqslant \dfrac{\ln(1,4)}{\ln(1,015)}\\
\Longleftrightarrow & n \geqslant 22,56
\end{align*}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Il faudra donc 23 mois pour rembourser la totalité du crédit.

\medskip

\paragraph{N.B.} si le logarithme népérien n'a pas encore été vu en classe, utiliser la méthode par calculatrice (voir corrigé de l'exercice précédent).
\end{minipage}
}

\medskip

\item Quel sera le montant de la dernière mensualité ?

{\color{red}
$u_{22}\approx157,84$ donc \underline{la dernière mensualité sera de $157,84\times1,015=160,21$~\euro.}
}

\medskip

\item Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à  la consommation, quel sera le coût total de son achat ?

{\color{red}
L'acheteur verse 300~\euro{} pendant 22 mois, puis 160,21~\euro. 

Le coût total est donc :
\[
300\times22+160,21=\underline{\numprint{6760,21}~\text{\euro}}.
\]
}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
