\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\setlength{\parindent}{0pt}
\setlist[enumerate,1]{label=\fcolorbox{black}{gray!50}{\arabic*}}
\begin{document}
\begin{Huge}
\color{gray}\bfseries$\blacksquare$ \emph{Les interros d'Hugo} \normalsize \foreach \i in {1,2,...,16}{$\blacksquare$ }
\end{Huge}
\begin{flushright}
\begin{Large}
\color{gray!75}\bfseries\emph{Thème : les suites}
\end{Large}
\end{flushright}

% QUESTIONS DE COURS

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Questions de cours
\end{large}

\emph{Complète les propositions suivantes :}

\begin{enumerate}
\item Si \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite arithmétique de raison $r$ alors $u_{n+1}=\ldots$ 

\item Si \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q$ alors $u_{n+1}=\ldots$

\item Le terme général de la suite géométrique \suite{u}{n}{} de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=\ldots$

\item Si $q\neq1$, la somme $1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n$ est égale à \ldots

\item Si \suite{u}{n}{}est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ alors :
\[
u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=\ldots
\]

\item La limite de la suite géométrique \suite{u}{n}{} de raison $q>0$ est égale à 0 si $\ldots$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Application du cours
\end{large}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La suite \suite{u}{n}{} telle que $u_2=7$, $u_3=14$ et $u_4=28$ peut-elle être arithmétique ? Justifier.

\item La suite \suite{u}{n}{} telle que $u_2=7$, $u_3=14$ et $u_4=28$ peut-elle être géométrique ? Justifier.

\item La suite \suite{v}{n}{} est géométrique. On sait que sa raison est $q=0,7$ et que son premier terme est $u_1=5$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire le terme général de cette suite en fonction de $n$.
\item Quelle est la limite de \suite{v}{n}{} ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Formalisation
\end{large}

Une ville \og test \fg{} est composée de \numprint{100000} habitants. Chaque mois, \pourcent{5} des habitants la quittent.

On considère la suite \suite{u}{n}{} où $u_n$, exprimé en milliers, représente le nombre d'habitants dans cette ville au $n$-ième mois. On a donc $u_0=100$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ puis $u_2$.
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est géométrique; préciser alors sa raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item\label{q4} À partir de quel mois le nombre d'habitants sera inférieur ou égal à \numprint{50000} ?
\item Compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le résultat trouvé à la question \ref{q4} : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries}l@{~~~}l|}
\hline
Initialisation :& $n$ prend la valeur 0\\
               & $u$ prend la valeur \numprint{100000}\\
Traitement :    & Tant que $u>\ldots$\\
               & \quad $u$ prend la valeur $\ldots$\\
               & \quad $n$ prend la valeur $n+1$\\
               & Fin du Tant que\\
Sortie :        & Afficher $n$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{large}
\bfseries $\blacklozenge$ Extrait du sujet de Bac, Pondichéry 2016
\end{large}

En janvier 2016, une personne se décide à  acheter un scooter coûtant \numprint{5700}~euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à  la consommation d'un montant de \numprint{5700}~euros, au taux mensuel de \pourcent{1,5}. Par ailleurs, la mensualité fixée à  $300$~euros est versée par l'emprunteur
à  l'organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de \pourcent{1,5} puis baisse de $300$ euros.

Le premier versement a lieu le 25 février 2016.

On note $u_n$ le capital restant dû en euros juste après la $n$-ième mensualité ($n$ entier naturel non nul). On convient que $u_0 = \numprint{5700}$.

Les résultats seront donnés sous forme approchée à  $0,01$ près si nécessaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $u_1$, capital restant dû au 26 février 2016 juste après la première mensualité, est de \numprint{5485,50}~euros.
\item Calculer $u_2$.
\end{enumerate}
\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par : 
\[u_{n+1} = 1,015 u_n - 300\]
On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries}l@{~~}l|}\hline	
\textbf{Variables :}	&$n$ est un entier naturel\\
						&$u$ est un nombre réel\\
\textbf{Traitement :}	&Affecter à  $u$ la valeur \numprint{5700}\\
						&Affecter à  $n$ la valeur 0\\
						&Tant que $u > \numprint{4500}$ faire\\
						&\begin{tabular}{m{0.4cm}|l}
							&$u$ prend la valeur $1,015 \times u - 300$\\
							&$n$ prend la valeur $n + 1$\\
							\end{tabular}\\
						&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries}l|*4{c|}}
\hline
Valeur de $\pmb{u}$ & \numprint{5700} & $\cdots$ &  & \\
\hline
Valeur de $\pmb{n}$ & 0 & $\cdots$ &  &  \\
\hline
$\pmb{u>\numprint{4500}}$ (vrai/faux) & vrai &  & vrai & faux\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}		

\item Quelle valeur est affichée à  la fin de l'exécution de cet algorithme ?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \numprint{20000}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n+1} = 1,015 \times  v_n$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : 
		
$u_n = \numprint{20000} - \numprint{14300} \times 1,015^n$.
\end{enumerate}
\item À l'aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'une valeur approchée du capital restant dû par l'emprunteur au 26 avril 2017 est \numprint{2121,68}~euros.
\item Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt.
\item Quel sera le montant de la dernière mensualité ?
\item Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à  la consommation, quel sera le coût total de son achat ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}