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%
\parindent=0pt

\begin{document}

\section*{Calculs matriciels}

\paragraph*{Exercice 1} Dans chacun des cas suivants, calculer le produit $AB$ à la main, puis vérifier le résultat à l'aide de la calculatrice.

\begin{enumerate}
\item $A = \begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
1 & -1\\3 & 5
\end{pmatrix}$
\item $A = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
1\\-1\\2\end{pmatrix}$
\item $A=\begin{pmatrix}
4 & 2\\
-1 & 7
\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}
\paragraph*{Réponses à l'exercice 1} On devra trouver :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $AB=\begin{pmatrix}7 & 9\end{pmatrix}$
\item $AB = (6)$
\item $AB=\begin{pmatrix}
4 & 2\\
-1 & 7
\end{pmatrix}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
~\vspace*{-2em}
\end{minipage}}

\paragraph*{Exercice 2} Soient $A=\begin{pmatrix}
3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}$.

Calculer $AB$ et $BA$.

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}
\paragraph*{Réponses à l'exercice 2} On devra trouver :

\smallskip

$AB=\begin{pmatrix}
-4&4\\7&-7
\end{pmatrix}$ et $BA=\begin{pmatrix}
-8&3\\8&-3
\end{pmatrix}$
\end{minipage}}

\paragraph*{Exercice 3} On pose $A=\begin{pmatrix}
3&2&0\\-2&0&1\\0&-4&-3\end{pmatrix}$.

\`A l'aide de la calculatrice, calculer $A^2$ et $A^3$.

En déduire $A^n$ selon les valeurs de $n$.

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}
\paragraph*{Réponses à l'exercice 3} On devra trouver :

\smallskip

$A^2=\begin{pmatrix}
5&6&2\\-6&-8&-3\\8&12&5
\end{pmatrix}$ et $A^3=\begin{pmatrix}
3&2&0\\-2&0&1\\0&-4&-3
\end{pmatrix}$.

On remarque que $A^3=A$ donc $A^4=A^3A=A\times A = A^2$, $A^5=A^4A = A^2A = A^3=A$, etc.

Donc si $n$ est pair, $A^n=A^2$ et si $n$ est impair, $A^n=A$.
\end{minipage}}

\paragraph*{Exercice 4} La matrice $A$ de l'exercice 3 est-elle inversible ?

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}
\paragraph*{Réponse à l'exercice 4} La matrice $A$ n'est pas inversible car son déterminant est égal à 0 (calculatrice).
\end{minipage}}

\paragraph*{Exercice 5} Trouver l'inverse des matrices suivantes à l'aide de la calculatrice.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\begin{pmatrix}3&5\\7&-4\end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}2&5\\7&-3\end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}5&6\\-4&7\end{pmatrix}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}
\paragraph*{Réponses à l'exercice 5} On devra trouver :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\dfrac{1}{47}\begin{pmatrix}4&5\\7&-3\end{pmatrix}$
\item $\dfrac{1}{41}\begin{pmatrix}3&5\\7&-2\end{pmatrix}$
\item $\dfrac{1}{59}\begin{pmatrix}7&-6\\4&5\end{pmatrix}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
~\vspace*{-2em}
\end{minipage}}

\newpage

\section*{Systèmes linéaires \& matrices}

\paragraph*{Exercice 1} En utilisant la calculatrice, trouver les solutions aux systèmes suivants :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\begin{cases}
3x+5y=-9\\
7x-4y=26
\end{cases}$

\item $\begin{cases}
2x+5y=31\\
7x-3y=-35
\end{cases}$

\item $\begin{cases}
5x+6y=14\\
-4x+7y=95
\end{cases}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}
\paragraph*{Réponses à l'exercice 1} On devra trouver :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $x=2$ et $y=-3$
\item $x=-2$ et $y=7$
\item $x=-8$ et $y=9$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{minipage}}

\paragraph*{Exercice 2} En utilisant la calculatrice, trouver les solutions aux systèmes suivants :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{cases}
x+2y+3z=9\\
x-y+z=4\\
2x-3y+3z=11
\end{cases}$

\item $\begin{cases}
x+y+z=9\\
x-y-z=-17\\
x+y-z=-5
\end{cases}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}
\paragraph*{Réponses à l'exercice 2} On devra trouver :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $x=1$, $y=-1$ et $z=2$
\item $x=-4$, $y=6$ et $z=7$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{minipage}}

\paragraph*{Exercice 3} On considère une fonction $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$.

Sa courbe représentative passe par les points A\coord{-8}{7}, B\coord{-4}{3} et C\coord{2}{12}.

\medskip

Trouver les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\textwidth}
\paragraph*{Réponses à l'exercice 1} On devra trouver :
\[ f(x)=0,25x^2+2x+7.\]
\end{minipage}}
\end{document}