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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
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% "Fiche"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}
\selectfont{\Large Entraînement}

\bigskip

\emph{{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont
\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
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\node at (14cm,-5.5cm) {%
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\begin{center}
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\end{center}
\end{minipage}
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\end{tikzpicture}
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% Sections
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% Paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
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% Subsection

\titleformat{\subsection}
{\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont\color{purple}}{\theparagraph}{1em}{}

% Corrigé

\newcommand{\corrige}{%
\newpage
\begin{center}
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\fontfamily{lmss}
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\selectfont
\color{violet}Corrigé
\end{center}
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% Itemize

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% enumerate

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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Pour réviser son bac ES}

\section*{Fonctions}
\begin{enumerate}
\item Trouver la dérivée de la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(x^2+3)$.

\item Trouver la dérivée de la fonction $g$ définie par $g(x)=x\ln x-x$.

\item Trouver la dérivée de la fonction $h$ définie par $h(x)=x\e^{2x-1}$.

\item Résoudre l'équation $\ln(2x+3)+\ln(x)=0$.

\item Résoudre l'inéquation $3\times0,8^n<0,5$.

\item Résoudre l'inéquation $(3x-4)\e^{2x+3}\geqslant0$.

\item \'Ecrire le nombre $\dfrac{\e^2\times\e^8}{\e^3}$ sous la forme d'une unique exponentielle.

\item \'Ecrire le nombre $\ln 4-\ln\sqrt2$ sous la forme d'un unique logarithme.

\item Calculer $\dint_0^1 \big(x+\e^x\big)\dx$.

\item Calculer $\dint_0^1 \dfrac{3\e^x}{\e^x+2}\dx$.

\item Calculer $\dint_0^1 \e^{-3x+7}\dx$.

\item Montrer que la fonction $F(x)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction $f(x)=\ln x$.

\item \og La courbe représentative de la fonction définie par $f(x)=x^2\e^x$ admet un unique point d'inflexion. \fg

Cette affirmation est-elle exacte ?

\item On donne la courbe représentative d'une fonction $f$. Les affirmations sont-elles exactes ?

\begin{minipage}{6.1cm}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[gray] (-5,0) grid[step=0.5] (1,3);
\draw[->] (-5,0) -- (1,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,3);
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,0,1}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,scale=0.75] {\x};
}
\foreach\y in {1,2}
{
\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left,scale=0.75] {\y};
}
\draw[purple] plot[domain=-5:1,samples=100] (\x,{\x*\x*exp(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6.1cm}
\begin{enumerate}
\item $6\leqslant\dint_{-4}^1 f(x)\dx\leqslant10$
\item $F$ (primitive de $f$) est croissante sur \intervFF{-4}{1}.
\item $f''(x)<0$ sur \intervFF{-1}{0}.
\item $f'(x)=0$ admet une unique solution sur \intervFF{-4}{1}.
\item $f'(x)>0$ sur \intervFF{-4}{1}.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\end{enumerate}


\section*{Suites}

\begin{enumerate}
\item \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=4$.

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

\item \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de premier terme $v_1=9$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

\item La suite \suite{a}{n}{} est définie par $a_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,5a_n+5$.

On pose $v_n=a_n-10$. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est géométrique.
\item En déduire $v_n$ en fonction de $n$, puis $a_n$ en fonction de $n$.
\item Compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le premier entier $n$ tel que $a_n>9$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries\arraybackslash}Sll|}
\hline
Variables : & $n$ entier naturel\\
& $a$ réel\\
Initialisation : & $n$ prend la valeur 0\\
& $a$ prend la valeur 1\\
Traitement : & Tant que ... faire\\
& \qquad $a$ prend la valeur ...\\
& \qquad $n$ prend la valeur $n+1$\\
& Fin du Tant que\\
Sortie : & Afficher ...\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Probabilités}

\begin{enumerate}
\item On a l'arbre suivant :\qquad
\begin{tikzpicture}[baseline]
\node (G) at (2,2) {G};
\node (C) at (2,0) {C};
\node (D) at (2,-2) {D};
\node (GT) at (4,2.5) {T};
\node (GTB) at (4,1.5) {\evcont{T}};
%
\node (CT) at (4,.5) {T};
\node (CTB) at (4,-.5) {\evcont{T}};
%
\node (DT) at (4,-1.5) {T};
\node (DTB) at (4,-2.5) {\evcont{T}};
%
\draw (0,0) -- (G.west) node[midway,fill=white] {0,28};
\draw (0,0) -- (C.west) node[midway,fill=white] {0,52};
\draw (0,0) -- (D.west) node[midway,fill=white] {?};
%
\draw (G.east) -- (GT.west) node[midway,fill=white] {0,8};
\draw (G.east) -- (GTB.west) node[midway,fill=white] {?};
%
\draw (C.east) -- (CT.west) node[midway,fill=white] {?};
\draw (C.east) -- (CTB.west) node[midway,fill=white] {0,25};
%
\draw (D.east) -- (DT.west) node[midway,fill=white] {\color{red}?};
\draw (D.east) -- (DTB.west) node[midway,fill=white] {\color{red}?};
\end{tikzpicture}

\begin{enumerate}
\item Que vaut \proba{D} ?
\item Que vaut \probacond{\evcont{T}}{G} et \probacond{T}{C} ?
\item On sait que $\proba{T}=0,674$. Que vaut alors \probacond{T}{D} et \probacond{\evcont{T}}{D} ?
\item Calculer alors \probacond{C}{T}.
\end{enumerate}

\item Un sac contient \numprint{100000} billes; \pourcent{47} sont bleues et les autres sont rouges. On tire au hasard avec remise 40 billes de ce sac. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de billes bleues tirées à l'issue de ce tirage.
\begin{enumerate}
\item Calculer \probavar{X}{20}.
\item Calculer \probavar[\geqslant]{X}{1}.
\item Sur les 40 billes tirées, 17 sont bleues. Peut-on considérer que ce lot est représentatif de ce qu'il y a dans le sac de billes ?
\end{enumerate}

\item Louis-Mokthar attend son ami. Il sait qu'il arrivera au plus tard dans 30 minutes. On appelle X la variable aléatoire représentant sa durée d'attente en minutes.

Quelle est la probabilité qu'il attende plus de 10 minutes ?

\item Une variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne $\mu=14$ et d'écart-type $\sigma$ tel que $\proba{20\leqslant X\leqslant 15,6}=0,477$. 

La représentation de sa fonction de densité est la suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=5]
\fill[gray!20] (0,0) plot[domain=0:2,samples=100] (\x,{(1/sqrt(6.283))*exp(-\x*\x/2)}) -- (2,0) -- (0,0);
\draw[thick] plot[domain=-5:5,samples=100] (\x,{(1/sqrt(6.283))*exp(-\x*\x/2)});
\draw[dashed] (0,0) node[below,scale=0.5] {14} -- (0,{(1/sqrt(6.283))});
\draw (-5,0) -- (5,0);
\draw[dashed] (2,0) node[below,scale=0.5] {15,6} -- (2,{(1/sqrt(6.283))*exp(-2)});
\node[scale=0.75] at (0.7,0.15) {0,477};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer $\sigma$.
\item Calculer \probavar[\geqslant]{X}{17}.
\end{enumerate}

\item Soit un échantillon de population de taille $n$ sur lequel \pourcent{48} des personnes ont l'intention de voter pour le candidat A. Donner le plus petit entier $n$ tel que l'amplitude de l'intervalle de confiance soit inférieur ou égale à 0,1.
\end{enumerate}

\corrige

\emph{Les corrections sont sommaires car il est plus important de retenir l'idée que la forme.}

\section*{Fonctions}

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+3}$.
\item $g'(x)=1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln x$.
\item $h(x)=\e^{2x-1}+x\times2\e^{2x-1}=(1+2x)\e^{2x+1}$.
\item $\ln(2x+3)+\ln x=\ln\big[x(2x+3)\big]=\ln(2x^2+3x)$ donc l'équation est équivalente à :\\ $\ln(2x^2+3x)=\ln1$, soit $2x^2+3x-1=0$. $x=1$ est une solution évidente, d'où $x=-\dfrac{1}{2}$ est l'autre solution.
\item $\begin{aligned}[t]
3\times0,8^n<0,5 
& \Longleftrightarrow 0,8^n<\dfrac{0,5}{3}\\
& \Longleftrightarrow \ln0,8^n<\ln\dfrac{1}{6}\\
& \Longleftrightarrow n\ln0,8<-\ln6\\
& \Longleftrightarrow n>-\dfrac{\ln6}{\ln0,8}\text{ car }\ln0,8<0
\end{aligned}$

\item $3x-4\geqslant0 \Longleftrightarrow x\geqslant\dfrac{4}{3}$ et $\e^{2x+3}>0$ pour tout $x$ donc l'ensemble solution est l'ensemble des $x$ tels que $x\geqslant\dfrac{4}{3}$.

\item $\dfrac{\e^2\times\e^8}{\e^3}=\dfrac{\e^{2+8}}{\e^3}=\dfrac{\e^{10}}{\e^3}=\e^{10-3}=\e^7$.

\item $\ln4-\ln\sqrt2=\ln(2^2)-\dfrac{1}{2}\ln2=2\ln2-\dfrac{1}{2}\ln2=\left(2-\dfrac{1}{2}\right)\ln2=\dfrac{3}{2}\ln2$.

\item $I=\dint_0^1\big(x+\e^x\big)\dx$. Une primitive de $x+\e^x$ est $F(x)=\dfrac{x^2}{2}+\e^x$ donc :

$I=F(1)-F(0)=\dfrac{1}{2}+\e-1=\e-\dfrac{1}{2}$.

\item $I=\dint_0^1\dfrac{3\e^x}{\e^x+2}\dx$. Une primitive de $f(x)=\dfrac{3\e^x}{\e^x+2}$ est $F(x)=3\ln\big(\e^x+2\big)$ car $f$ est de la forme $3\times\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=\e^x+2$. 

Donc  $I=F(1)-F(0)=3\ln\big(\e^1+2\big)-3\ln\big(\e^0+2\big)=3\ln(\e+2)-3\ln3=3\ln\left(\dfrac{\e+2}{3}\right)$.

\item Une primitive de $\e^{ax+b}$ est $\dfrac{1}{a}\e^{ax+b}$ donc $I=\dint_0^1\e^{-3x+7}\dx=F(1)-F(0)$ où $F(x)=-\dfrac{1}{3}\e^{-3x+7}$.

Donc $I=-\dfrac{1}{3}\e^{-3+7}+\dfrac{1}{3}\e^{7}=\dfrac{1}{3}\big(\e^7-\e^4\big)$.

\item $F'(x)=1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln x$ donc $F$ est une primitive de $\ln x$.

\newpage

\item Il y a un point d'inflexion si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe. 

$f'(x)=2x\e^x+x^2\e^x=(2x+x^2)\e^x$ donc :

$f''(x)=(2+2x)\e^x + (2x+x^2)\e^x=(2+2x+2x+x^2)\e^x=(x^2+4x+2)\e^x$.

$\e^x>0$ donc $f''(x)>0$ si et seulement si $x^2+4x+2>0$.

$\Delta=4^2-4\times1\times2=16-8=8>0$ donc $x^2+4x+2$ admet deux racines, et donc deux points d'inflexion car le polynôme change de signe en chaque racine.

L'affirmation est donc fausse.

\item 
\begin{enumerate}
\item On compte le nombre de carreaux compris entre l'axe des abscisses et la courbe sur \intervFF{-4}{1} : on en compte entre 6 et 10 à coups sûrs, mais 1 unité d'aire est représentée par 4 carreaux donc $\dfrac{6}{4}\leqslant\dint_{-4}^1 f(x)\dx \leqslant \dfrac{10}{4}$.

L'affirmation est donc fausse.

\item $F'=f$ donc le signe de $f$ donne les variations de $F$. Sur \intervFF{-4}{1}, $f(x)\geqslant0$ donc $F$ est croissante.

L'affirmation est donc vraie.

\item $f''(x)<0$ si $f$ est concave sur cet intervalle. Or, elle est convexe (ses tangentes sont toujours sous la courbe sur cet intervalle) donc l'affirmation est fausse.


\item En $x=0$ et $x=-2$, les tangentes à la courbe sont horizontales donc $f'(2)=0$ et $f'(0)=0$. L'équation $f'(x)=0$ admet donc deux solutions sur \intervFF{-4}{1}.

L'affirmation est donc fausse.

\item $f'(x)>0$ si $f$ est croissante. Or, sur \intervFF{-4}{1}, elle n'est pas monotone donc $f'(x)$ change de signe.

L'affirmation est fausse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Suites}

\begin{enumerate}
\item $u_n=u_0\times q^n=3\times4^n$ (cours).

\item $v_n=v_1\times q^{n-1}=9\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=3^2\times\dfrac{1}{3^{n-1}}=3^2\times3^{-(n-1)}=3^{2-n+1}=3^{3-n}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $v_{n+1}=a_{n+1}-10=0,5a_n+5-10=0,5a_n-5=0,5(a_n-10)=0,5v_n$.

Donc \suite{v}{n}{} est géométrique de raison 0,5 et de premier terme :

$v_0=u_0-10=1-10=-9$.

\item Donc $v_n=v_0\times0,5^n=-9\times0,5^n$.

Alors, comme $v_n=a_n-10$, $a_n=v_n+10=10-9\times0,5^n$.

\item 
\begin{tabular}[t]{|>{\bfseries\arraybackslash}ll|m{5cm}|}
\hline
Variables : & $n$ entier naturel&\\
& $a$ réel&\\
Initialisation : & $n$ prend la valeur 0&\\
& $a$ prend la valeur 1&\\
Traitement : & Tant que \textcolor{red}{$n\leqslant9$} faire& on met le contraire de la condition que l'on veut\\
& \qquad $a$ prend la valeur \textcolor{red}{$0.5a+5$} & car $a_{n+1}=0,5a_n+5$ \\
& \qquad $n$ prend la valeur $n+1$&\\
& Fin du Tant que&\\
Sortie : & Afficher \textcolor{red}{$n$} & on affiche le premier $n$ qui ne satisfait pas la condition \og $n\leqslant9$ \fg{} \\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Probabilités}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\proba{D}=1-0,28-0,52=0,2$.
\item $\probacond{\evcont{T}}{G}=1-0,8=0,2$ et $\probacond{T}{C}=1-0,25=0,75$.
\item $0,28\times0,8+0,52\times0,75+0,2\times\probacond{T}{D}=0,674$ (formule des probabilités totales) donc $\probacond{T}{C}=0,3$.
\item $\probacond{C}{T}=\dfrac{\proba{C\cap T}}{\proba{T}}=\dfrac{0,52\times0,75}{0,674}\approx0,579$.
\end{enumerate}

\item X suit la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0,47$.
\begin{enumerate}
\item $\probavar{X}{20}\approx0,1166$.
\item $\probavar[\geqslant]{X}{1}=1-\probavar{X}{0}=1-(1-0,47)^{40}\approx0,999999999991$.
\item $f=\dfrac{17}{40}=0,425$ est la fréquence observée des billes bleues. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de \pourcent{95} de la fréquence de billes bleues est :
\[
I=\intervFF{0,47-1,96\sqrt{\dfrac{0,47\times0,53}{\numprint{100000}}}}{0,47+1,96\sqrt{\dfrac{0,47\times0,53}{\numprint{100000}}}}\approx\intervFF{0,467}{0,473}
\]
$f\notin I$ donc cet échantillon de 40 billes n'est pas représentatif du sac de billes.
\end{enumerate}

\item X suit la loi uniforme sur \intervFF{0}{30}.

$\probavar[\geqslant]{X}{10}=\dfrac{30-10}{30-0}=\dfrac{2}{3}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $0,477=\dfrac{0,954}{5}$. Or $\proba{\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma}=0,954$ donc $2\sigma=15,6-14=1,6$, soit $\sigma=0,8$.
\item $\probavar[\geqslant]{X}{17}\approx9\times10^{-5}$.
\end{enumerate}

\item L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$ donc on cherche $n$ tel que $\dfrac{2}{\sqrt n}\geqslant0,1$, soit $\dfrac{\sqrt n}{2}\geqslant10$, soit $\sqrt n\geqslant20$ et donc $n>20^2$, soit $n\geqslant400$.
\end{enumerate}
\end{document}