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\begin{document}
On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=3$ et par la relation de récurrence:
\[
u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 3}{4}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 2$.
\item On pose $v_n = u_n - 1$ pour tout entier naturel $n$.

Montrer que $v_{n+1} = v_n \times\dfrac{v_n+2}{4}$.

\item Donner un encadrement de $\dfrac{v_n + 2}{4}$.

\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant v_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.

\item Calculer $\limite{n}{+\infty}{v_n}$, puis $\limite{n}{+\infty}{u_n}$.
\end{enumerate}
\end{document}