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\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}


\textbf{Exercice 1 (probabilités)}

L'entreprise \textit{Fructidoux} fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50~grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination \og compote allégée \fg. 

La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
 
L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F$_{1}$ et F$_{2}$.

\medskip
 

La chaîne de production F$_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production F$_{1}$. Elle est cependant moins rapide.
 
Ainsi, dans la production totale, 70\,\% des petits pots proviennent de la chaîne F$_{1}$ et 30\,\% de la chaîne F$_{2}$.
 
La chaîne F$_{1}$ produit 5\,\% de compotes non conformes et la chaîne F$_{2}$ en produit 1\,\%.
 
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les événements :
 
$E$ : \og Le petit pot provient de la chaîne F$_{2}$ \fg 

$C$ : \og Le petit pot est conforme. \fg

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précédent. 

\item Calculer la probabilité de l'événement : \og Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F$_{1}$. \fg 

\item Montrer que la probabilité de l'événement $C$. est égale à 0,962.

\item Déterminer, à $10^{-3}$ prés, la probabilité de l'événement $E$ sachant que l'événement $C$ est réalisé.

\item On prélève 20 pots au hasard à la sortie des chaînes de fabrication. 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement 15 pots conformes ?
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un pot non conforme ?
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait au plus 3 pots non conformes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 (suites)}

On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0=1$ et par la relation de récurrence :
\[
\forall n\in \N,\quad u_{n+1}=\sqrt{1+\dfrac{1}{u_n}}=f(u_n)\text{ avec }f(x)=\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}.
\]
\begin{enumerate}
\item Placez sur le schéma ci-dessous $u_0$, $u_1$ et $u_2$ sur l'axe des abscisses. Vous laisserez les traits de construction apparents.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=3,xscale=4]
\draw[gray!50,dotted] (0.5,0.5) grid[step=0.5] (2.5,2.5);
\draw[gray,dashed] (0,0) grid (3,3);
\draw[thick,->,>=latex] (0,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,0) -- (0,3);
\foreach\x in {1,2,3}
{
\draw[thick] (\x,0.05) -- (\x,-0.05) node[below] {\x};
\draw[thick] (0.05,\x) -- (-0.05,\x) node[left] {\x};
}
\node[below left] at (0,0) {0};
\clip (-0.25,0) rectangle (3.5,3);
\draw[red] plot[domain=0.01:3,samples=100] (\x,{sqrt(1+1/\x)}) node[right] {$y=f(x)$};
\draw plot[domain=0.01:3] (\x,\x) node[below right] {$y=x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Donnez une valeur approchée de $u_1$, $u_2$ et $u_3$ à $10^{-4}$ près. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}

On pose :
\[
\forall n\in\N,\quad v_n = u_{2n}.
\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que $v_{n+1}=g(v_n)$ avec $g(x)=\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}}$.

\textit{On admet que $g$ est strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty}.}

\item Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 2$.

\item En déduire que $(v_n)$ converge. On notera $\ell$ sa limite.

\item Complétez l'algorithme suivant afin qu'il affiche une valeur approchée de $\ell$ à $10^{-6}$ près.

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\ttfamily
v $\leftarrow$ 1\\
n $\leftarrow$ 0\\
w $\leftarrow$ 10\\
Tant que ... :\\%$|v-w|>0.000001$:\\
\hspace*{5mm}w $\leftarrow$ v\\
\hspace*{5mm} v $\leftarrow$ $\sqrt{}$(1+$\sqrt{}$(v/(v+1)))\\
Fin du Tant que\\
Afficher ...
\end{minipage}
}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}