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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
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\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[vert] (12cm,-4.5cm) rectangle +(4cm,-1.5cm);
% "Article"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Article}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
};
\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
}
% Sections
\titleformat{\section}[block]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\fontsize{16}{14}\selectfont\color{violet}}
{\thesection}
{1em}
{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont}
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% Paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont\color{purple}}{\theparagraph}{1em}{}

% Itemize, enumerate

\setlist[itemize,1]{label={\color{purple}\textbullet}}
\setlist[enumerate,1]{label={\color{purple}\arabic*.}}

% footpage

\cfoot{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{white}\fcolorbox{violet}{violet}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

% Algobox

\newenvironment{algobox}
{%
	\newsavebox{\mybox}
	\begin{lrbox}{\mybox}
}
{%
	\end{lrbox}
	\begin{tikzpicture}
	\node[rounded corners,very thick,draw=algobox] (algobox)
	{
		\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-24px}
		\usebox{\mybox}
		\end{minipage}
	};
	\node at (algobox.north west) {\includegraphics[scale=1]{algobox.png}};
	\end{tikzpicture}
}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Circonscrire un polygone}

\section*{Introduction}

Dans les années 1940, les mathématiciens Edward Kasner et James Roy Newman découvrirent une constante :
\[
R=\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\times\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\times\cdots}
\]
que l'on peut aussi écrire :
\[
R=\prod_{n\geqslant3}\dfrac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}.
\]
Ils découvrirent cette constante de la manière suivante : on construit successivement
\begin{enumerate}
\item Un cercle de rayon $r$
\item Le triangle équilatéral circonscrit à ce cercle
\item Le cercle circonscrit au triangle équilatéral
\item Le carré circonscrit au dernier cercle
\item Le cercle circonscrit au carré
\item Le pentagone régulier circonscrit au dernier cercle
\item Le cercle circonscrit au pentagone
\item L'hexagone circonscrit au dernier cercle
\item Etc.
\end{enumerate}

En observant le rayon des cercles, on s'aperçoit que l'on se rapproche de plus en plus d'une valeur proportionnelle à $R$ défini précédemment.


\section*{\'Etape 1}

\begin{minipage}{5cm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (2cm);
\draw (0,0) circle (1cm);
\draw (0,2) -- ({sqrt(3)},-1) -- ({-sqrt(3)},-1) -- cycle;
\draw[<->,>=stealth',violet] (0,0) -- (0,2) node[midway,right] {$2r$};
\draw[<->,>=stealth',purple] (0,0) -- (0,-1) node[midway,right] {$r$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
Appelons $r_0=r$ le rayon du premier cercle et
$r_1$ celui du cercle circonscrit au triangle équilatéral.

Alors,
\[ 
r_1= 2r.
\]
En effet, le centre d'un cercle inscrit dans un triangle équilatéral est le centre de gravité, qui se trouve aux deux tiers de la médiane en partant du sommet, et ce centre est confondu avec le centre du cercle circonscrit au triangle équilatéral.
\end{minipage}

\newpage

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(0,\LenToUnit{\dimexpr\paperheight-2cm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=-90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
	\put(\LenToUnit{\dimexpr\paperwidth-1.5cm},0)
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
}

\section*{\'Etape 2}

\begin{minipage}{5cm}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (0,0) circle (1cm);
\draw (-1,-1) rectangle +(2,2);
\draw (0,0) circle (1.414cm);
\draw[violet,<->,>=stealth'] (0,0) -- (0,-1) node[midway,right] {$r_1$};
\draw[purple,<->,>=stealth'] (0,0) -- (1,1) node[midway,above,rotate=45,scale=0.75] {$r_1\sqrt{2}$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
Appelons $r_2$ le rayon du 3\ieme{} cercle.

On a alors :
\[
r_2=r_1\sqrt{2}\;,
\]
c'est-à-dire :
\[
r_2=2\sqrt{2}r.
\]
\end{minipage}

\section*{\'Etape 3}

\begin{minipage}{5cm}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (0,0) circle (1cm);
\draw[purple,<->,>=stealth'] (0,0) -- (0,-1) node[midway,left] {$r_2$};
\draw (0,0) circle (1.236cm);
\draw (0,1.236) -- ({1.236*cos(90+72)},{1.236*sin(90+72)}) -- ({1.236*cos(90+2*72)},{1.236*sin(90+2*72)}) -- ({1.236*cos(90+3*72)},{1.236*sin(90+3*72)}) -- ({1.236*cos(90+4*72)},{1.236*sin(90+4*72)}) -- cycle;
\draw[dotted] (0,1.236) -- (0,0) -- ({1.236*cos(90+72)},{1.236*sin(90+72)});
\draw (0,0.25) arc (90:162:0.25cm);
\node[scale=0.5] at ({0.4*cos(126)},{0.4*sin(126)}) {$72^\circ$};
\draw[violet,<->,>=stealth'] (0,0) -- ({1.236*cos(90+3*72)},{1.236*sin(90+3*72)}) node[midway,above,rotate=-54] {$r_3$};
\draw (0,-0.4) arc (270:306:0.4cm);
\node[scale=0.5] at ({0.5*cos(288)},{0.5*sin(288)}) {$36^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
Le pentagone régulier est formé de 5 triangles isocèles de sommets principaux le centre du cercle initial. Donc l'angle au sommet principal dans un de ces triangles isocèles est égal à :
\[
\dfrac{360}{5}=72^\circ.
\]

Dans un de ces triangles isocèles, la hauteur issue du sommet principal forme deux triangles rectangles identiques dont deux c\^otés mesurent $r_2$ (un des c\^oté de l'angle droit), $r_3$ (l'hypoténuse), et avec un angle de $\dfrac{72^\circ}{2}=36^\circ$.
\end{minipage}

Dans ce triangle rectangle, on a :
\[
\cos\left(36^\circ\right)=\dfrac{r_2}{r_3}
\]
d'où, en transformant $36^\circ$ en radians :
\[
\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\dfrac{r_2}{r_3}
\]
soit :
\[
r_3=\dfrac{r_2}{\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)}=\dfrac{2\sqrt{2}r}{\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)}.
\]
Or,
\[
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\qquad\text{et}\qquad\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\;,
\]
d'où :
\[
r_3=\dfrac{r}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)}.
\]

\section*{Relation de récurrence}

Nous le voyons aux étapes précédentes, il s'agit, connaissant $r_n$, de déterminer $r_{n+1}$, la distance du centre du polygone régulier à $n+3$ côtés à l'un de ses sommets. On utilise la même technique qu'à l'étape 3.

\medskip

L'angle au centre mesure $\dfrac{2\pi}{n+3}$ donc, en traçant la hauteur issue du sommet principal du triangle isocèle, on forme un triangle rectangle d'hypoténuse $r_{n+1}$ et de côté $r_n$.

On a alors :
\[
\cos\dfrac{\pi}{n+3}=\dfrac{r_n}{r_{n+1}}\;,
\]
soit :
\[
r_{n+1}=\dfrac{r_n}{\cos\frac{\pi}{n+3}}.
\]
On déduit ce cette relation de récurrence l'égalité :
\[
r_n=r\prod_{k=3}^{n+2}\dfrac{1}{\cos\frac{\pi}{k}}.
\]

\section*{Convergence}

\'Etudions :
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\prod_{k=3}^{n+2}\dfrac{1}{\cos\frac{\pi}{k}}.
\]

La suite $\left(P_n\right)_{n\geqslant3}$ telle que 
\[ 
P_n=\prod_{k=3}^{n+2}\dfrac{1}{\cos\frac{\pi}{k}}
\]
est minorée par 0.

En effet, pour tout entier naturel $n\geqslant3$, 
\[
0<\frac{\pi}{n}\leqslant\frac{\pi}{3}\;,
\]
donc :
\[
\frac{1}{2}\leqslant\cos\frac{\pi}{n}<1.
\]

De plus, la suite est strictement décroissante.

En effet,
\[
\frac{P_{n+1}}{P_n}=\cos\frac{\pi}{n+3}<1.
\]
La suite est décroissante et minorée, donc elle converge. Sa limite est non nulle car sinon, $(r_n)$ tendrait vers 0, ce qui n'est pas le cas.

\medskip

Ainsi, malgré les a priori que l'on pourrait avoir, les cercles ont un rayon-limite.

Pour trouver une valeur approchée à $10^{-4}$ près de ce rayon-limite, en considérant que $r=1$ est le rayon du 1\ier{} cercle, utilisons Algobox (voir page suivante). On arrive alors à une valeur approchée de $R$ définie en introduction.

\begin{algobox}
\qquad
\includegraphics[scale=.5]{algo1.png}
\qquad
\raisebox{3em}{\includegraphics[scale=0.5]{algo2.png}}
\end{algobox}

\bigskip

Et en Python, cela donne :

\bigskip

\begin{lstlisting}[language=python,frame=single]
from math import pi, cos
p, n, d = 0.5, 3, 10
while (abs(p-d)) > 10**(-5):
    n += 1
    d = p
    p = p * cos(pi/n)
    print("Le produit est égal à {} pour n = {}".format(p,n))
print("Donc R = {}".format(1/p))
\end{lstlisting}
\end{document}