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\begin{tikzpicture}
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% "Article"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Article}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
};
\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
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\end{center}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{\'Equations polynomiales\\ de degré 3}

\section*{Première approche}

Considérons l'équation polynomiale de degré 3 suivante :

\begin{equation}
ax^3+bx^2+cx+d=0\label{eq}
\end{equation}

Ce dont nous pouvons être assurés, c'est qu'elle admet au moins une solution réelle. En effet, la fonction :
\[ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]
est continue sur $\mathbb{R}$ et, de plus, 
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty} (ax^3)=\sgn{-a}\infty\\
\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} (ax^3)=\sgn{a}\infty
\end{array}
\right.
\]
où $\sgn{a}$ désigne le signe de $a$.

\medskip

Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $\mathbb{R}$.

\section*{Transformation de Tschirnhaus}

Dans un premier temps, nous allons transformer l'équation (\ref{eq}) :

\begin{align*}
(1) & \Leftrightarrow x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0\\
\intertext{On pose alors $x=X-\dfrac{b}{3a}$}
(1) & \Leftrightarrow \red{\left(X-\frac{b}{3a}\right)^3}+\frac{b}{a}\blue{\left(X-\frac{b}{3a}\right)^2}+\frac{c}{a}\left(X-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0\\
& \Leftrightarrow \red{X^3-\frac{b}{a}X^2+\frac{b^2}{3a^2}X-\frac{b^3}{27a^3}}+\frac{b}{a}\blue{\left(X^2-\frac{2b}{3a}X+\frac{b^2}{9a^2}\right)}+\frac{c}{a}X-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0\\
& \Leftrightarrow X^3+\left(\frac{b^2}{3a^2}-\frac{2b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}\right)X-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{b^3}{9a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0\\
& \Leftrightarrow X^3+\left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right)X+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=0
\end{align*}

\newpage

\AddToShipoutPictureBG
{%
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	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=-90]
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\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
}

On peut donc simplifier l'équation (\ref{eq}) en :
\begin{equation}
X^3+pX+q=0\label{eqsimpl}
\end{equation}
avec :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
p=\dfrac{3ac-b^2}{3a^2}\\[10pt]
q=\dfrac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}
\end{array}
\right.
\]

\section*{Méthode de Hudde}
\vspace*{-2.5em}\hspace*{12.3em}\footnote{Johann Hudde, 1630-1704, mathématicien hollandais}

\vspace*{2em}

La méthode de Hudde consiste à poser dans l'équation (\ref{eqsimpl}) :
\[ X = u+v \]
en remarquant l'égalité suivante :
\[ (u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3\]
Et donc :
\[ (u+v)^3-u^3-3u^2v-3uv^2-v^3=0\]
On en déduit alors :
\[ (u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0\]
Soit :
\begin{equation} 
X^3-3uvX-(u^3+v^3)=0\label{equv}
\end{equation}

Pour que les équations (\ref{eqsimpl}) et (\ref{equv}) soient semblables, on pose alors :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
p=-3uv\\
q=-(u^3+v^3)
\end{array}
\right.
\]
Soit :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
uv=-\frac{p}{3}\\
u^3+v^3=-q
\end{array}
\right.
\]
Ou encore :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
u^3v^3=-\frac{p^3}{27}\\
u^3+v^3=-q
\end{array}
\right.
\]

\section*{Formule de Cardan-Tartaglia}
\vspace*{-2.5em}\hspace*{17.8em}\footnote{Girolamo Cardano, 1501-1576 et Niccolò Fontana, dit Targaglia (littéralement, \og le bègue \fg), 1499-1557, mathématiciens italiens.}

\vspace*{2em}

En posant $U=u^3$ et $V=v^3$, on s'aperçoit que l'on doit chercher deux nombres $U$ et $V$ connaissant leur somme $S$ et leur produit $P$. Ainsi, $U$ et $V$ sont solutions de l'équation :
\[ Y^2-SY+P=0\]
Soit :
\begin{equation}
Y^2+qY-\frac{p^3}{27}=0\label{eqcardan}
\end{equation}
Le discriminant du polynôme $Y^2+qY-\dfrac{p^3}{27}$ est :
\[ \Delta = q^2+\frac{4p^3}{27}\]
Pour que l'équation (\ref{eqcardan}) ait au moins une solution, il faut que $\Delta\geqslant0$, soit :
\[ 27q^2+4p^3 \geqslant 0\]
Sous cette dernière condition, on a :
\[
U=\frac{-q-\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}\qquad\text{et}\qquad V=\frac{-q+\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}
\]
Et donc :
\[
u=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}}\qquad\text{et}\qquad v=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}}
\]
Ainsi, une solution à l'équation (\ref{eqsimpl}) est :
\[
X=u+v=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\frac{27q^2+4p^3}{27}}}{2}}
\]

\section*{Un exemple au hasard (ou presque ...)}

Considérons l'équation :
\[
(E)\ :\ 2x^3-5x^2+4x-21=0
\]
On pose alors :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
p=\frac{3\times2\times4-(-5)^2}{3\times2^2}=\frac{-1}{12}\\
q=\frac{2\times(-5)^3-9\times2\times(-5)\times4+27\times2^2\times(-21)}{27\times2^3}=-\frac{2158}{216}
\end{array}
\right.
\]
Ainsi :
\[ (E)\Leftrightarrow X^3-\frac{1}{12}X-\frac{\numprint{1079}}{108}=0\]

On a alors :
\[
\Delta=\sqrt{\frac{\numprint{2695}}{27}}\approx 9,99073645
\]
Et donc :
\begin{align*}
u \approx 0,012897285\\
v \approx 2,153769382
\end{align*}
Soit :
\[ X=u=v\approx 2,166666667\]
Et donc, finalement :
\[ x=X+\frac{5}{6}=3\]

Si on remplace $x$ par 3 dans $(E)$, on vérifie bien que $x=3$ est une de ses solutions.

\section*{Une étude de Bombelli}
\vspace*{-2.5em}\hspace*{14.8em}\footnote{Raphaël Bombelli, 1526-1572, mathématicien italien}

\vspace*{2em}

Bombelli a étudié l'équation :
\[ X^3-15X-4=0\]
Il a obtenu :
\[ \Delta = -\numprint{13608}\]
Et donc :
\[ X=\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}\]
Que l'on peut aussi écrire, en faisant fi du fait que l'on ait un radicant négatif pour la racine carrée :
\[
 X=\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}
\]
Bombelli s'est alors aperçu que :
\vspace*{-0.5em}
\[ \sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}=2-\sqrt{-1}\qquad\text{et}\qquad \sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}=2+\sqrt{-1}\]
Ainsi :
\vspace*{-1.2em}
\[ X=2-\sqrt{-1}+2+\sqrt{-1}=4\]
Ainsi, en concevant que $\sqrt{-1}$ existe, il s'aperçut que cela ne gênait pas les calculs, qui menaient tout de même à une solution.

\paragraph*{N.B.} C'est ainsi que les \emph{nombres complexes} firent leur apparition, nombres s'écrivant sous la forme $a+b\sqrt{-1}$ ou, en posant $\text{i}=\sqrt{-1}$, $a+\text{i}b$.

\section*{Algorithme}

Comme vous l'avez constaté, les calculs peuvent \^etre assez fastidieux. Nous pouvons donc avoir recours à un algorithme pour déterminer une solution. Je vous en propose un :

\bigskip

\def\colorBgAlgoBox{gray!10} 

\bigskip

Cet algorithme a été testé avec {\ttfamily Algobox}, dont vous trouverez le code après l'algorithme.

\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     a EST_DU_TYPE NOMBRE
3     b EST_DU_TYPE NOMBRE
4     c EST_DU_TYPE NOMBRE
5     d EST_DU_TYPE NOMBRE
6     p EST_DU_TYPE NOMBRE
7     q EST_DU_TYPE NOMBRE
8     u EST_DU_TYPE NOMBRE
9     v EST_DU_TYPE NOMBRE
10    delta EST_DU_TYPE NOMBRE
11    x EST_DU_TYPE NOMBRE
12    s EST_DU_TYPE NOMBRE
13    i EST_DU_TYPE NOMBRE
14  DEBUT_ALGORITHME
15    LIRE a
16    LIRE b
17    LIRE c
18    LIRE d
19    p PREND_LA_VALEUR (3*a*c-b*b)/(3*a*a)
20    q PREND_LA_VALEUR (2*pow(b,3)-9*a*b*c+27*a*a*d)/(27*pow(a,3))
21    delta PREND_LA_VALEUR (27*q*q+4*pow(p,3))/27
22    AFFICHER "DELTA="
23    AFFICHER delta
24    SI (delta>=0) ALORS
25      DEBUT_SI
26      u PREND_LA_VALEUR (-q-sqrt(delta))/2
27      v PREND_LA_VALEUR (-q+sqrt(delta))/2
28      s PREND_LA_VALEUR u/2
29      POUR i ALLANT_DE 1 A 50
30        DEBUT_POUR
31        s PREND_LA_VALEUR (2*s+u/(s*s))/3
32        FIN_POUR
33      u PREND_LA_VALEUR s
34      s PREND_LA_VALEUR v/2
35      POUR i ALLANT_DE 1 A 50
36        DEBUT_POUR
37        s PREND_LA_VALEUR (2*s+v/(s*s))/3
38        FIN_POUR
39      v PREND_LA_VALEUR s
40      AFFICHER "Une solution est : x="
41      s PREND_LA_VALEUR u+v-b/(3*a)
42      AFFICHER s
43      FIN_SI
44      SINON
45        DEBUT_SINON
46        AFFICHER "DELTA<0 donc il faut passer par les nombres 
          complexes."
47        FIN_SINON
48  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}

\paragraph*{N.B. 1} Dans l'algorithme, notons la partie :

\bigskip

\begin{algo}{}
\begin{algofor}{i allant de 1 à 50}
(2*s+u/(s*s))/3$\rightarrow$s
\end{algofor}
s$\rightarrow$u
\end{algo}

\bigskip

Cette boucle permet de calculer $\sqrt[3]{u}$. Avec {\ttfamily AlgoBox}, il n'est pas possible de la calculer directement, donc j'ai dû utiliser la suite $\left\{\begin{array}{l}u_0=\frac{u}{2}\\u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2u+\frac{u}{u_n^2}\right)\end{array} \right.$, qui converge vers $\sqrt[3]{u}$.\\
Pour calculer $\sqrt[3]{v}$, j'ai fait appel à la même suite, d'où la présence de deux boucles.

\paragraph*{N.B. 2} Notez aussi que, malheureusement, cet algorithme ne fonctionne pas lorsque le discriminant est négatif.

\begin{align*} (1) & \iff {\color{red}\left(X-\frac{b}{3a}\right)^3}+\frac{b}{a}{\color{blue}\left(X-\frac{b}{3a}\right)^2}+\frac{c}{a}\left(X-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0\\& \iff {\color{red}X^3-\frac{b}{a}X^2+\frac{b^2}{3a^2}X-\frac{b^3}{27a^3}}+\frac{b}{a}{\color{blue}\left(X^2-\frac{2b}{3a}X+\frac{b^2}{9a^2}\right)}+\frac{c}{a}X-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0\\ & \iff X^3+\left(\frac{b^2}{3a^2}-\frac{2b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}\right)X-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{b^3}{9a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0\\& \iff X^3+\left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right)X+\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=0\end{align*}
\end{document}