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\begin{center}
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\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Formes canoniques}

\section*{Introduction}

En mathématiques, l'adjectif \og canonique \fg{} sous-entend \og plus simple \fg{} (pour effectuer certaines opérations). Il est souvent introduit pour une certaine forme des polyn\^omes du second degré en lycée, mais il peut aussi qualifier des formes d'autres fonctions.

\section*{Les poly\^omes de degré 2}

Un polyn\^ome de degré 2 est un polyn\^ome de la forme :
\[ ax^2+bx+c\qquad,\qquad a\neq0.\]
En factorisant par $a$, on obtient :
\[
a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right).
\]
Ici, l'idée plut\^ot astucieuse est de voir $x^2+\dfrac{b}{a}x$ comme le début du développement de $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$. En effet, 
\[ 
\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}.
\]
Ainsi, on peut écrire :
\begin{align*}
a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)&=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a} \right]\\
&=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \right].
\end{align*}

\begin{formule}
$ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \right]$
\end{formule}

C'est cette dernière expression que l'on nomme \emph{forme canonique} du polyn\^ome $ax^2+bx+c$.

\newpage

Cette expression est jugée plus \og simple \fg{} que la première car elle permet :

\begin{itemize}
\item \textbf{de trouver les racines du poly\^ome :} en effet, résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$ directement n'est pas chose aisée alors que résoudre l'équation $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \right]$ l'est un peu plus :

\begin{align*}
a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \right]=0 & \Longleftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=0 \text{ (car $a\neq0$)}\\
& \Longleftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{align*}

En notant :
\[
\Delta = b^2-4ac \qquad \text{(on appelle ce nombre le \og discriminant \fg)}\;,
\]
\begin{itemize}
\item si $\Delta<0$, alors l'équation n'a pas de solution ;
\item si $\Delta=0$, alors $x+\dfrac{b}{2a}=0$, soit $x=-\dfrac{b}{2a}$ ;
\item si $\Delta>0$, alors il y a deux solutions qui sont :
\[
\alpha=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
\]
\end{itemize}

\item \textbf{de trouver le signe du poly\^ome :} 
\begin{itemize}
\item si $\Delta<0$, on ne peut pas factoriser la forme canonique plus qu'elle ne l'est déjà et $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}>0$ donc le polyn\^ome est du signe de \og $a$ \fg{} sur $\R$ ;

\item si $\Delta=0$, la forme canonique se réduit à $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$, et comme un carré est toujours positif ou nul, elle sera du signe de \og $a$ \fg{} sur $\R$ sauf pour $x=-\dfrac{b}{2a}$ où elle sera nulle ;

\item si $\Delta>0$, alors $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$, où $\alpha$ et $\beta$ sont les deux racines.

$x-\alpha>0$ pour $x>\alpha$ et $x-\beta>0$ pour $x>\beta$ donc en admettant que $\alpha<\beta$, on aura :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[draw=violet]
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorC=purple!15,colorL=purple!15,colorV=purple!15,colorT=purple!5]{$x$/0.5,$ax^2+bx+c$/0.75}{$-\infty$,$\alpha$,$\beta$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{sgn($a$)},z,\text{sgn($-a$)},z,\text{sgn($a$)}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
où \og sgn($a$) \fg{} désigne \og signe de $a$ \fg{} et \og sgn($-a$) \fg{} désigne \og signe opposé à $a$ \fg.
\end{itemize}

\item \textbf{de montrer que la représentation graphique admet un extremum :} en effet, pour tout réel $x$, 
\[
\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\geqslant0
\] 
donc :
\[
\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\geqslant-\dfrac{\Delta}{4a^2}\;.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\geqslant-\dfrac{\Delta}{4a}\qquad\text{si $a>0$. Dans ce cas, la courbe a un minimum.}\\
a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\leqslant-\dfrac{\Delta}{4a}\qquad\text{si $a<0$. Dans ce cas, la courbe a un maximum.}
\end{align*}

Notons que cet extremum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}$ (la valeur de $x$ qui annule le carré).

\item \textbf{de montrer que la courbe représentative du polyn\^ome de degré 2 admet un axe de symétrie} d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$. Pour cela, on calcule $f\left(-\frac{b}{2a}+x\right)$ et $f\left(-\frac{b}{2a}-x\right)$, où \linebreak$f(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ :

\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
f\left(-\frac{b}{2a}+x\right) & = a\left[\left(-\frac{b}{2a}+x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]\\
& = a\left[x^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right].
\end{aligned}$

\medskip

\item $\begin{aligned}[t]
f\left(-\frac{b}{2a}-x\right) & = a\left[\left(-\frac{b}{2a}-x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]\\
& = a\left[x^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right].
\end{aligned}$
\end{itemize}

On voit donc ici que $f\left(-\frac{b}{2a}-x\right)=f\left(-\frac{b}{2a}+x\right)$, ce qui prouve que la droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$ est un axe de symétrie de la courbe représentative de $f$.
\end{itemize}

\vspace*{0.75cm}

\section*{Les fonctions homographiques}

Ce sont les fonctions de la forme :
\[
\dfrac{ax+b}{cx+d}\qquad,\qquad a\neq0,\ c\neq0.
\]
En factorisant par $a$ au numérateur et par $c$ au dénominateur, on obtient : 
\[
\dfrac{a\left(x+\frac{b}{a}\right)}{c\left(x+\frac{d}{c}\right)}=\dfrac{a}{c}\times\dfrac{x+\frac{b}{a}}{x+\frac{d}{c}}.
\]
L'idée ici est de faire appara\^itre le dénominateur au numérateur :
\[
\dfrac{a}{c}\times\dfrac{x+\frac{d}{c}+\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}
\]
pour ensuite \og couper \fg{} la fraction en deux :
\[
\dfrac{a}{c}\left(\dfrac{x+\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}+\dfrac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}} \right)=\dfrac{a}{c}\left(1+\dfrac{\frac{bc-ad}{ac}}{x+\frac{d}{c}}\right).
\]

\begin{formule}
$\dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x+\frac{d}{c}}.$
\end{formule}

Cette dernière expression est la forme canonique de la fonction homographique. 

Elle permet :

\begin{itemize}
\item \textbf{de voir que la représentation graphique de la fonction homographique admet une asymptote horizontale :} en effet, le terme $\dfrac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x+\frac{d}{c}}$ se rapproche de 0 lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes (on dit que la limite de ce terme est égale à 0 quand $x$ tend vers $+\infty$). Donc, $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ va se rapprocher de la valeur $\dfrac{a}{c}$ au voisinage de $+\infty$ (et m\^eme au voisinage de $-\infty$, le raisonnement étant le même). 

La droite d'équation $y=\dfrac{a}{c}$ sera donc asymptote à la courbe représentative de notre fonction.

\item \textbf{de trouver le sens de variation de la fonction} sur chaque intervalle de son domaine de définition. En effet, le domaine de définition de la fonction homographique est $\mathscr{D}_f=\intervOO{-\infty}{-\dfrac{d}{c}}\cup\intervOO{-\dfrac{d}{c}}{+\infty}$.

Plaçons-nous sur l'un des deux intervalles.

\begin{itemize}
\item La fonction $x\longmapsto x+\dfrac{d}{c}$ est affine de coefficient directeur positif ; donc elle est croissante sur l'intervalle considéré.

\item La fonction $x\longmapsto\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur \intervOO{0}{+\infty} et sur \intervOO{-\infty}{0} donc $x\longmapsto\dfrac{1}{x+\frac{d}{c}}$ est décroissante sur l'intervalle considéré.

\item 
\begin{itemize}
\item Si $bc-ad>0$, $x\longmapsto\dfrac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x+\frac{d}{c}}$ est décroissante (car on ne change pas le sens de variation d'une fonction en la multipliant par un nombre positif). Et donc, $x\longmapsto\dfrac{a}{c}+\dfrac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x+\frac{d}{c}}$ aussi.

\item Si $bc-ad<0$, $x\longmapsto\dfrac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x+\frac{d}{c}}$ est croissante (car on change le sens de variation d'une fonction en la multipliant par un nombre négatif).
Ainsi, $x\longmapsto\dfrac{a}{c}+\dfrac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x+\frac{d}{c}}$ est aussi croissante.
\end{itemize}
\end{itemize}

\`A partir de ces observations, on peut poser :
\[ 
\Delta=ad-bc
\]
et dire :
\begin{itemize}
\item si $\Delta<0$, alors la fonction est décroissante sur chaque intervalle de son domaine de définition ;
\item si $\Delta>0$, alors la fonction est croissante sur chaque intervalle de son domaine de définition.
\end{itemize}


\item \textbf{de montrer que la courbe représentative de la fonction homographique a un centre de symétrie} $\Omega\coord{-\dfrac{d}{c}}{\dfrac{a}{c}}$.

\medskip

Si on note $f(x)=\dfrac{a}{c}+\dfrac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x+\frac{d}{c}}$, on calcule $f(x_\Omega+x)+f(x_\Omega-x)$ :
\begin{align*}
f\left(-\frac{d}{c}+x\right)+f\left(-\frac{d}{c}-x\right) & = \dfrac{a}{c}+\dfrac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{\frac{bc-ad}{c^2}}{-x}\\
& = 2\dfrac{a}{c}\\
f(x_\Omega+x)+f(x_\Omega-x)& = 2y_\Omega.
\end{align*}
Cela prouve bien que $\Omega$ est le centre de symétrie de la courbe.
\end{itemize}

\arrayrulecolor{violet}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*2{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline\rowcolor{purple!10}
\color{purple}$\pmb{\Delta<0}$ & 
\color{purple}$\pmb{\Delta>0}$ \\
\hline
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.8,every node/.style={scale=0.8}]
\draw[thick,violet,->] (-3,0) -- (3,0);
\draw[thick,violet,->] (0,-3) -- (0,3);
\clip (-3,-3) rectangle (3,3);
\draw[purple] plot[domain=-3:-0.55,samples=70] (\x,{    (3*\x+4)/(2*\x+1)});
\draw[purple] plot[domain=-0.45:3,samples=70] (\x,{(3*\x+4)/(2*\x+1)});
\draw[dashed,purple!50] (-0.5,3) -- (-0.5,-3) node[above right] {$x=-\frac{d}{c}$};
\draw[dashed,purple!50] (-3,1.5) -- (3,1.5) node[below left] {$y=\frac{a}{c}$};
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.8,every node/.style={scale=0.8}]
\draw[thick,violet,->] (-3,0) -- (3,0);
\draw[thick,violet,->] (0,-3) -- (0,3);
\clip (-3,-3) rectangle (3,3);
\draw[purple] plot[domain=-3:0.45,samples=70] (\x,{(3*\x-1)/(-2*\x+1)});
\draw[purple] plot[domain=0.55:3,samples=70] (\x,{(3*\x-1)/(-2*\x+1)});
\draw[dashed,purple!50] (0.5,-3) -- (0.5,3) node[below right] {$x=-\frac{d}{c}$};
\draw[dashed,purple!50] (-3,-1.5) -- (3,-1.5) node[above left] {$y=\frac{a}{c}$};
\end{tikzpicture}\\
\hline
\end{tabularx}

\end{document}