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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
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\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[vert] (12cm,-4.5cm) rectangle +(4cm,-1.5cm);
% "Article"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Article}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
};
\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
};
\end{tikzpicture}
}
% Sections
\titleformat{\section}[block]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\fontsize{16}{14}\selectfont\color{violet}}
{\thesection}
{1em}
{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont}
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% Paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont\color{purple}}{\theparagraph}{1em}{}


% Itemize

\setlist[itemize,1]{label={\color{purple}\textbullet}}

% footpage

\cfoot{\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{white}\fcolorbox{violet}{violet}{\thepage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Le théorème des hexagones de Pappus}

\section*{\'Enoncé}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Nous nous proposons ici de démontrer le \emph{Théorème des hexagones de Pappus}, que l'on peut formuler ainsi :

\medskip

\og Soient A, B, C d'une part, D, E, F d'autre part, des points alignés. Soient alors X, Y et Z les intersections respectives de (AE) et (BD), (AF) et (DC), (CE) et (CD). Alors X, Y et Z sont alignés.  \fg{}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\tkzDefPoint(0,0){D}
\tkzDefPoint(7,0){F}
\tkzDefPointBy[homothety=center D ratio 0.7 ](F) \tkzGetPoint{E}
\tkzDefPoint(-0.5,3){A}
\tkzDefPoint(6,4){C}
\tkzDefPointBy[homothety=center A ratio 0.4 ](C) \tkzGetPoint{B}
\tkzDrawPoints(A,B,C,D,E,F)
\tkzDrawLine(A,C)
\tkzDrawLine(D,F)
\tkzLabelPoints(D,E,F)
\tkzLabelPoints[above](A,B,C)
\draw (A) -- (F) -- (B) -- (D) -- (C) -- (E) -- cycle;
\tkzInterLL(A,E)(B,D)\tkzGetPoint{X}
\tkzInterLL(A,F)(C,D)\tkzGetPoint{Y}
\tkzInterLL(C,E)(B,F)\tkzGetPoint{Z}
\tkzDrawPoints(X,Y,Z)
\tkzLabelPoints[above](Y)
\tkzLabelPoints[left](X)
\tkzLabelPoints[right](Z)
\tkzDrawLine[dashed,gray](X,Z)
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\section*{Démonstration}

Rappelons le \emph{théorème de Ménélaüs}, que nous allons utiliser :

\medskip

\og \emph{Soit ABC un triangle quelconque. D, E et F sont respectivement sur (BC), (AC) et (AB). Il sont alignés si et seulement si} $\frac{\overline{\text{DB}}}{\overline{\text{DC}}} \times \frac{\overline{\text{EC}}}{\overline{\text{EA}}}\times \frac{\overline{\text{FA}}}{\overline{\text{FB}}}=1$. \fg{} 

\bigskip

Pour démontrer le théorème des hexagones de Pappus, ajoutons trois points J, K et L :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoint(0,0){D}
\tkzDefPoint(7,0){F}
\tkzDefPointBy[homothety=center D ratio 0.7 ](F) \tkzGetPoint{E}
\tkzDefPoint(-0.5,3){A}
\tkzDefPoint(6,4){C}
\tkzDefPointBy[homothety=center A ratio 0.8 ](C) \tkzGetPoint{B}
\tkzDrawPoints(A,B,C,D,E,F)
\tkzDrawLine(A,C)
\tkzDrawLine(D,F)
\tkzLabelPoints(D,E,F)
\tkzLabelPoints[above](A,B,C)
\draw (A) -- (F) -- (B) -- (D) -- (C) -- (E) -- cycle;
\tkzInterLL(A,E)(B,D)\tkzGetPoint{X}
\tkzInterLL(A,F)(C,D)\tkzGetPoint{Y}
\tkzInterLL(C,E)(B,F)\tkzGetPoint{Z}
\tkzDrawPoints(X,Y,Z)
\tkzLabelPoints[above](Y)
\tkzLabelPoints[left](X)
\tkzLabelPoints[right](Z)
\tkzDrawLine[dashed,gray](X,Z)
\tkzDrawLine[add=0.25 and 0.7,dotted](E,C)
\tkzDrawLine(A,F)
\tkzDrawLine[add=0.25 and 0.7,dotted](D,B)
\tkzInterLL(E,C)(A,F)\tkzGetPoint{L}
\tkzInterLL(D,B)(E,C)\tkzGetPoint{J}
\tkzInterLL(D,B)(A,F)\tkzGetPoint{K}
\tkzDrawPoints[color=red](L,J,K)
\tkzLabelPoints[color=red](J,L)
\tkzLabelPoints[color=red,above](K)
\fill[opacity=0.1,fill=red] (J) -- (K) -- (L) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(0,\LenToUnit{\dimexpr\paperheight-2cm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=-90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
	\put(\LenToUnit{\dimexpr\paperwidth-1.5cm},0)
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\begin{scope}[rotate=90]
		\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!50] (12.5cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (12cm,-3.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
		\end{scope}
		\end{tikzpicture}
	}
}

D'après le théorème de Ménélaüs, on a :

\begin{itemize}
\item[\color{blue}$\bullet$] Les 3 côtés du triangle JKL sont coupés par la droite (AC) en A, B et C ; donc :
\[ 
\frac{\overline{\text{AK}}}{\overline{\text{AL}}}\times \frac{\overline{\text{BJ}}}{\overline{\text{BK}}}\times \frac{\overline{\text{CL}}}{\overline{\text{CJ}}}=1
\]

\item[\color{blue}$\bullet$] Les 3 côtés du triangle JKL sont coupés par la droite (DF) en E, E et F ; donc :
\[ 
\frac{\overline{\text{DJ}}}{\overline{\text{DK}}}\times \frac{\overline{\text{EL}}}{\overline{\text{EJ}}}\times \frac{\overline{\text{FK}}}{\overline{\text{FL}}}=1
\]

\item[\color{blue}$\bullet$] Les 3 côtés du triangle JKL sont coupés par la droite (BF) en B, Z et F ; donc :
\[ 
\frac{\overline{\text{BK}}}{\overline{\text{BJ}}}\times \frac{\overline{\text{ZJ}}}{\overline{\text{ZL}}}\times \frac{\overline{\text{FL}}}{\overline{\text{FK}}}=1
\]

\item[\color{blue}$\bullet$] Les 3 côtés du triangle JKL sont coupés par la droite (DC) en D, Y et C ; donc :
\[ 
\frac{\overline{\text{DK}}}{\overline{\text{DJ}}}\times \frac{\overline{\text{YL}}}{\overline{\text{YK}}}\times \frac{\overline{\text{CJ}}}{\overline{\text{CL}}}=1
\]

\item[\color{blue}$\bullet$] Les 3 côtés du triangle JKL sont coupés par la droite (AE) en A, X et E ; donc :
\[ 
\frac{\overline{\text{AL}}}{\overline{\text{AK}}}\times \frac{\overline{\text{XK}}}{\overline{\text{XJ}}}\times \frac{\overline{\text{EJ}}}{\overline{\text{EL}}}=1
\]
\end{itemize}

En multipliant les 5 égalités membre à membre, on obtient après simplification :
\[ 
\frac{\overline{\text{ZJ}}}{\overline{\text{ZL}}}\times \frac{\overline{\text{YL}}}{\overline{\text{YK}}}\times \frac{\overline{\text{XK}}}{\overline{\text{XJ}}}=1
\]
Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Ménélaüs, les trois points X, Y et Z sont alignés.
\end{document}