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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
\fill[violet] (12cm,0) rectangle +(4cm,-4.5cm);
\fill[violet!80] (12cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!70] (12.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (13cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[violet!60] (12cm,-4cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
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\fill[violet!40] (13.5cm,-4.5cm) rectangle+(0.5cm,0.5cm);
\fill[vert] (12cm,-4.5cm) rectangle +(4cm,-1.5cm);
% "Article"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Article}

\bigskip

\emph{par\\{\small Stéphane PASQUET}}
\end{center}
\end{minipage}
};
% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
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\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont \color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
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\node[below right,text=purple] at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
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\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
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\end{tikzpicture}
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% Subsections
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% Paragraph

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% Itemize, enumerate

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% footpage

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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Aire entre trois cercles\\ tangents}

\section{Objectifs}

Cet article a pour objectifs de construire trois cercles tangents de rayons différents et de calculer l'aire du domaine compris entre ces trois cercles.

\section{Construction}

Rappelons que deux cercles tangents sont deux cercles qui se coupent en un unique point. Ainsi, trois cercles $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ tangents sont tels que $\mathcal{C}_i\cap\mathcal{C}_j=\{M_i\}$, avec $i\neq j$, $i\in\llbracket 1~;~3\rrbracket$ et $j\in\llbracket 1~;~3\rrbracket$.

Notons $r_i$ et $O_i$ respectivement le rayon et le centre de $\mathcal{C}_i$, $i\in\llbracket 1~;~3\rrbracket$.

Construire $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ est aisé : il suffit de tracer le segment $[O_1O_2]$ de longueur $r_1+r_2$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw (0,0) node[below] {$O_1$} circle (1cm);
\draw (3,0) node[below] {$O_2$} circle (2cm);
\draw[<->] (0,0) -- (1,0) node[above,midway] {$r_1$};
\draw[<->] (1,0) -- (3,0) node[above,midway] {$r_2$};
\fill[red] (1,0) circle (1.5pt) node[below right] {$M_1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Nous cherchons donc à construire $\mathcal{C}_3$, de rayon $r_3$ de sorte qu'il soit tangent aux deux cercles. On doit alors avoir $O_1O_3=r_1+r_3$ et $O_2O_3=r_2+r_3$.

On peut ainsi construire le cercle de centre $O_1$ et de rayon $r_1+r_3$, puis le cercle de centre $O_2$ de rayon $r_2+r_3$. Ces deux cercles sont sécants en un point qui est $O_3$.

Pour construire $\mathcal{C}_3$, il suffit de tracer le cercle de centre $O_3$ passant par le point d'intersection de $[O_1O_3]$ et de $\mathcal{C}_1$ (par exemple).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw (0,0) node[below] {$O_1$} circle (1cm);
\draw (3,0) node[below] {$O_2$} circle (2cm);
\draw[<->] (0,0) -- (1,0) node[above,midway] {$r_1$};
\draw[<->] (1,0) -- (3,0) node[above,midway] {$r_2$};
\fill[red] (1,0) circle (1.5pt) node[below right] {$M_1$};
%
\draw[<->,purple] (0,0) -- (0,4) node[above,text=black] {$O_3$} node[midway,above,rotate=90] {$r_1+r_3$};
\draw[<->,purple] (3,0) -- (0,4) node[midway,above,rotate=-55] {$r_2+r_3$};
\draw (0,4) circle (3cm);
\fill[red] (0,1) circle (1.5pt) node[below left] {$M_3$};
\fill[red] (1.8,1.6) circle (1.5pt) node[below] {$M_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\section{Aire du domaine entre les trois cercles}

Ce qui nous intéresse est l'aire du domaine hachuré représenté ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\fill[pattern=north east lines,pattern color=purple] (0,0) -- (3,0) -- (0,4) -- cycle;
\filldraw[fill=white] (0,0) node[below] {$O_1$} circle (1cm);
\filldraw[fill=white] (3,0) node[below] {$O_2$} circle (2cm);
\filldraw[fill=white] (0,4) node [above] {$O_3$} circle (3cm);
\draw[violet,dashed] (0,0) -- (3,0) -- (0,4) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

Théoriquement, son aire est obtenue en soustrayant à l'aire du triangle $O_1O_2O_3$ la somme des aires des secteurs angulaires de centres $O_1$, $O_2$ et $O_3$. 

\`A ce stade, nous ne connaissons que $O_1O_2$, $O_2O_3$ et $O_1O_3$.

\`A l'aide de la formule de Héron, on peut déterminer l'aire du triangle $O_1O_2O_3$ et à l'aide de la formule d'Al-Kashi, nous pouvons trouver la mesure des angles $\widehat{O_2O_1O_3}$, $\widehat{O_1O_3O_2}$ et $\widehat{O_3O_2O_1}$.

\begin{itemize}
\item {\boldmath\textbf{Aire de $O_1O_2O_3$ :}}

$\mathcal{A}_T=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, avec $a=O_1O_2$, $b=O_2O_3$, $c=O_3O_1$ et $p=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$.

\item {\boldmath\textbf{Aire du secteur angulaire de centre $O_1$ :}}

Je note $\alpha_1=\widehat{O_1}$ dans le triangle $O_1O_2O_3$.

Avec les notations précédentes, on a : 
\[
b^2=a^2+c^2-2ac\cos\alpha_1\;,
\]
soit :
\[
\alpha_1=\arccos\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right).
\]
Ainsi, l'aire du secteur angulaire correspondant est égale à :
\[
\mathcal{A}_1=\dfrac{1}{2}\alpha_1r_1^2=\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)r_1^2.
\]
\emph{(Je conviens ici d'exprimer les angles en radians)}

\item {\boldmath\textbf{Aire des secteurs angulaires de centres $O_2$ et $O_3$ :}}

En notant $\alpha_2=\widehat{O_2}$ et $\alpha_3=\widehat{O_3}$ dans le triangle $O_1O_2O_3$, et en utilisant ce que nous venons de faire précédemment, on a :
\[
\alpha_2=\arccos\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\qquad\text{et}\qquad\alpha_3=\arccos\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right).
\]
Ainsi, l'aire des secteurs angulaires correspondant respectivement à $\alpha_2$ et $\alpha_3$ sont égales à :
\[
\mathcal{A}_2=\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)r_2^2\qquad\text{et}\qquad\mathcal{A}_3=\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)r_3^2.
\]

\item \textbf{Aire du secteur hachuré :}

\begin{align*}
\begin{split}
\mathcal{A} & = \mathcal{A}_T-\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_3\\
& = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}-\dfrac{1}{2}\left[\arccos\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)r_1^2\right.\\
& \hspace*{5em}\left.+\arccos\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)r_2^2+\arccos\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)r_3^2\right].
\end{split}
\end{align*}
\end{itemize}

\section{Application}

Sur le schéma fait en début de section 3, j'ai pris $r_k=k$ cm. On a alors :

$a=1+2=3$, $b=2+3=5$, $c=1+3=4$ et donc $p=\dfrac{1}{2}(3+5+4)=6$, ce qui donne :

\begin{align*}
\mathcal{A}&=\sqrt{6\times3\times1\times2}-\dfrac{1}{2}\left(1^2\times\arccos\dfrac{9+16-25}{2\times3\times4}+2^2\times\arccos\dfrac{9+25-16}{2\times3\times5}+3^2\times\arccos\dfrac{25+16-9}{2\times5\times4}\right)\\
\mathcal{A}& = 6-\dfrac{1}{2}\left(\arccos0+4\arccos\dfrac{3}{5}+9\arccos\dfrac{4}{5}\right)\\
\mathcal{A} & \approx 0,464~\text{cm}^2.
\end{align*}
\end{document}